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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第十三章 轴对称,13.1,轴对称,对称,现象无处不在，从自然景观到艺术作品,，从,建筑物,到交通标志,，甚至日常生活用品，都,可以,找到对称的例子，对称给我们带来美的感受！,引言,问题,1,如图，把一张纸对折，剪出一个图案（折,痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸，就得到了,美丽的窗花观察得到的窗花，你能发现它们有什么共,同的特点吗？,探索新知,请观察,如果,一个,平面,图形,沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做,轴对称图形,，这条直线就是它的,对称轴,这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称,猜字游戏,:,在艺术字中,有些汉字是轴对称的，你能猜一猜下列是哪些字的一半吗？,共同特征：,每,一对图形,沿着虚线折叠，左边的图形都能与右边的图形重合,问题,2,观察下面每对图形（如图），你能类比前面的内容概括出它们的共同特征吗？,思考,A,A,B,C,B,C,请观察,把,一个图形,沿着某一条直线折叠，如果它能够,与另一个图形重合,，那么就说这,两个图形,关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点,对称轴,对称点,A,A,B,C,B,C,思考,两者的联系：,把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称,成,轴对称的两个图形全等吗？如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形全等吗？这两个图形对称吗？,经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线,A,B,C,M,N,P,A,B,C,成轴对称的两个图形的性质：,如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线,轴对称图形的对称轴，,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线,如,图，,ABC,和,ABC,关于直线,MN,对称，点,A,B,C,分别是点,A,，,B,，,C,的对称点，线段,AA,，,BB,，,CC,与直线,MN,有什么关系？,A,B,C,M,N,P,A,B,C,思考,点,A,，,A,是对称点,，将,ABC,或,ABC,沿,MN,折叠后，点,A,和,A,重,合,AP=PA,MPA=,MPA,=,90.,即,MN,垂,直平,分,AA,.,同理,MN,垂,直平,分,BB,，,CC,.,下图是一个轴对称图形，你能发现什么结论？能说明理由吗？,A,B,l,A,B,思考,(,一,),线段的垂直平分线的性质,教师出示教材第,61,页探究,，,让学生测量,，,思考有什么发现？,如,图,，,直线,l,垂直平分线段,AB,，,P,1,，,P,2,，,P,3,是,l,上的点,，,分别量一量点,P,1,，,P,2,，,P,3,到点,A,与点,B,的距离,，,你有什么发现？,学生,回答,，,教师小结：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等,性质,的证明：,教师,讲解题意并在黑板上绘出图形：上述问题用数学语言可以这样表示：如图,，,设直线,MN,是线段,AB,的垂直平分线,，,点,C,是垂足,，,点,P,是直线,MN,上任意一点,，,连接,PA,，,PB,，,我们要证明的是,PA,PB.,教师,分析证明思路：图中有两个直角三角形,，,APC,和,BPC,，,只要证明这两个三角形全等,，,便可证得,PA,PB.,教师,要求学生自己写已知,，,求证,，,证明过程,学生,证明完后教师板书证明过程供学生对照,已知：,MNAB,，,垂足为点,C,，,AC,BC,，,点,P,是直线,MN,上任意一点求证：,PA,PB.,证明：在,APC,和,BPC,中,，,PC,PC(,公共边,),，,PC,A,PC,B,(,垂直的定义,),，,AC,BC(,已知,),，,APCBPC(SAS),PA,PB(,全等三角形的对应边相等,),因为点,P,是线段的垂直平分线上一点,，,于是就有：,线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等,(,二,),线段的垂直平分线的判定,你,能写出上面这个命题的逆命题吗？它是真命题吗？这个命题不是“如果,那么,”,的形式,，,要写出它的逆命题,，,需分析命题的条件和结论,，,将原命题写成“如果,那么,”,的形式,，,逆命题就容易写出鼓励学生找出原命题的条件和结论,原,命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”,，,结论是“这个点与这条线段两个端点的距离相等”,此时,，,逆命题就很容易写出来,“,如果有一个点与线段两个端点的距离相等,，,那么这个点在这条线段的垂直平分线上,”,写出,逆命题后,，,就想到判断它的真假如果真,，那么,需证明它；如果假,，那么,需用反例说明请同学们自行在练习册上完成,学生,给出了如下的四种证法,已知,：线段,AB,，,点,P,是平面内一点,，,且,PA,PB.,求证,：,P,点在线段,AB,的垂直平分线上,证法一过点,P,作已知线段,AB,的垂线,PC,.,PA,PB,，,PC,PC,，,RtPACRtPBC(HL),AC,BC,，,即,P,点在,AB,的垂直平分线上,证法二取,AB,的中点,C,，,过,P,，,C,作直线,PA,PB,，,PC,PC,，,AC,CB,，,APCBPC(SSS),PCA,PCB(,全等三角形的对应角相等,),又,PCA,PCB,180,，,PCA,PCB,90,，,即,PCAB,，,P,点在,AB,的垂直平分线上,证法三过,P,点作,APB,的平分线,PA,PB,，,1,2,，,PC,PC,，,APCBPC(SAS),AC,BC,，,PCA,PCB(,全等三角形的对应边相等,、,对应角相等,),又,PCA,PCB,180,，,PCA,PCB,90,，,P,点在线段,AB,的垂直平分线上,从,同学们的推理证明过程可知线段的垂直平分线的性质的逆命题是真命题,，,我们把它称为线段的垂直平分线的判定,要,作出线段的垂直平分线,，,根据垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点,，,在这条线段的垂直平分线上,，,那么我们必须找到两个与线段两个端点距离相等的点,，,这样才能确定已知线段的垂直平分线,下面,我们一同来写出已知、求作、作法,，,体会作法中每一步的依据,例,1,尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线,已知,：直线,AB,和,AB,外一点,C.(,如下图,),求,作：,AB,的垂线,，,使它经过点,C.,师：根据上面作法中的步骤,，,想一想,，,为什么直线,CF,就是所求作的垂线？与同伴进行交流,生：从作法的第,(2)(3),步可知,CD,CE,，,DF,EF,，,C,，,F,都在线段,DE,的垂直平分线上,(,线段的垂直平分线的判定,),CF,就是线段,DE,的垂直平分线,(,两点确定一条直线,),师：我们曾用刻度尺找线段的中点,，,当我们学习了线段的垂直平分线的作法时,，,一旦垂直平分线作出,，,线段与线段的垂直平分线的交点就是线段的中点,，,所以我们也用这种方法找线段的中点,1.,如图所示的每个图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴,课堂练习,2.,如图所示的每幅图形中的两个图案是轴对称的吗？如果是，试着找出它们的对称轴，并找出一对对称点,课堂练习,3.,如图,，在,ABC,中,，,AC,16 cm,，,DE,为,AB,的垂直平分线,，,BCE,的周长为,26 cm.,求,BC,的长,4.,有,A,，,B,，,C,三个村庄,(,如图,),，,现准备建一所学校,，,要求学校到三个村庄的距离相等,，,请你确定学校的位置,第十三章 轴对称,13.2,画轴对称图形,一、问题导入,我们前面学习了轴对称图形以及轴对称图形的一些相关的性质如果有一个图形和一条直线,，,如何画出这个图形关于这条直线对称的图形呢？这节课我们一起来学习作轴对称图形的方法,二、探究新知,活动,在一张半透明的纸的左边部分,，,画一只左脚印,，,把这张纸对折后描图,，,打开对折的纸,，,就能得到相应的右脚印这时,，,右脚印和左脚印成轴对称,，,折痕所在的直线就是它们的对称轴,，,并且连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分类似地,，,请你再将一个图形做一做,，,看看能否得到同样的结论,认真观察,，,左脚印和右脚印有什么关系？,(,成轴对称,),对称轴是折痕所在的直线,，,即直线,l,，,它与图中的线段,PP,是什么关系？,(,直线,l,垂直平分线段,PP),思考,1,如何画一个点的对称图形？,例,1,画出点,A,关于直线,l,的对称点,A.,画法：,(1),过点,A,作对称轴,l,的垂线,，,垂足为,B,；,(2),延长,AB,到,A,，,使得,BA,AB.,点,A,就是点,A,关于直线,l,的对称点,思考,2,如何画一条直线的对称图形？,例,2,已知线段,AB,，,画出,AB,关于直线,l,的对称线段,画法：,(1),画出点,A,关于直线,l,的对称点,A.,(2),画出点,B,关于直线,l,的对称点,B.,(3),连接点,A,和点,B,成线段,AB.,线段,AB,即为所求,思考,3,如果有一个图形和一条直线,，,如何画出与这个图形关于这条直线对称的图形呢？,例,3,如图,，,已知,ABC,和直线,l,，,画出与,ABC,关于直线,l,对称的图形,画法：,(1),过点,A,画直线,l,的垂线,，,垂足为,O,，,在垂线上截取,OA,OA,，,A,就是点,A,关于直线,l,的对称点,(2),同理,，,分别画出点,B,，,C,关于直线,l,的对称点,B,，,C.,(3),连接,AB,，,BC,，,CA,，,则,ABC,即为所求,三、课堂练习,1,.,教材第,68,页练习第,1,，,2,题,.,2.,下列图形,，,点,P,与,P,关于直线,MN,对称的图形是,(,D,),1,、前面我们学过了平面直角坐标系是有两条,重合并且相互,的数轴构成的。,2、对于坐标平面上的点我们可以用有序的数对,来,表示,，通常我们写这种有序数对时,，把,写在前面，,写在后面。,3,、我们怎么确定坐标平面内的点的坐标？,过,这个点分别作,x,轴和,y,轴的垂线段，垂足对应的数值分别就是这个点的横坐标和纵坐标，记做（,x,，,y,）。,温故知新,原点,垂直,横坐标,纵坐标,3,1,4,2,5,-2,-4,-1,-3,0,1,2,3,4,5,-4,-3,-2,-1,A (2,3),y,x,A(2,-3),作出点,A,关于,x,轴的对称点，并说出它的坐标。,3,1,4,2,5,-2,-4,-1,-3,0,1,2,3,4,5,-4,-3,-2,-1,A (2,3),x,y,A,(-2,3),作出点,A,关于,y,轴的对称点，并说出它的坐标。,如图，如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为,x,轴和,y,轴建立平面直角坐标系，对应于东直门的坐标，你能找到西直门的位置，说出西直门的坐标吗？,探究并归纳已知点关于坐标轴对称的,点的,坐标变化规律,(-3.5,4),x,y,1,1,O,A,B,C,D,E,A,B,C,D,E,x,y,1,1,O,2,3,4,0,-6,5,-1 -,2,在平面直角坐标系中，画出下列已知点及其关于,x,轴对称的点，把它们的坐标填入表格中,-1,关,于,x,轴对称的每对对称点的横坐标相等，纵坐标互为相反数。,关于,x,轴对称的每对对称点,的坐标变化规律：,x,y,1,1,O,A,B,C,D,E,A,B,C,D,E,发现规律,即,点,（,x,，,y,）,关于,x,轴对称,的点的坐标为,（,_,，,_,）,x,-,y,x,y,1,1,O,A,B,C,D,E,A,B,C,D,E,1,2,-2,-,3,6,-,5,-4 0,在平面直角坐标系中，画出下列已知点及其,关于,y,轴对称的点，把它们的坐标填入表格中,1,x,y,1,1,O,A,B,C,D,E,A,B,C,D,E,关于,y,轴对称的每对对称点,的坐标变化规律：,关于,y,轴对称的每对,对称点的,纵坐标相等，,横,坐标互为相反数。,发现规律：,即,点,（,x,，,y,）,关于,y,轴,对称 的点的坐标为,（,_,，,_,）,-,x,y,练习,1,分别写出下列各点关于,x,轴和,y,轴对称的点的坐标：,（,-,2,，,6,），（,1,，,-,2,），（,-,1,，,3,），（,-,4,，,-,2,），（,1,，,0,）,解：,关于,x,轴对称的点的坐标：,（,-2,，,-6,），（,1,，,2,），（,-1,，,-3,），（,-4,，,2,），（,1,，,0,）,关于,y,轴对称的点的坐标：,（,2,，,6,），（,-1,，,-2,），（,1,，,3,），（,4,，,-2,），（,-1,，,0,）,课堂练习,练习,2,已知,点,P,（,2,a,+,b,，,-,3,a,）,与点,P,（,8,，,b,+,2,）,若,点,P,、,点,P,关于,x,轴对称,，则,a,=,，,b,=,；,若,点,P,、,点,P,关于,y,轴对称,，则,a,=,，,b,=_.,课堂练习,4,-,2,0,2,6,运用变化规律作图,例,2,如图，四边形,ABCD,的四个顶点的坐标分别为,A,（,-,5,，,1,），,B,（,-,2,，,1,），,C,（,-,2,，,5,），,D,（,-,5,，,4,），,分别画出与四边形,ABCD,关,于,x,轴和,y,轴对称的图形,x,y,1,1,O,A,B,C,D,x,y,1,1,O,A,B,C,D,解：,点（,x,，,y,）关于,y,轴对称的点的坐标为,（,-,x,，,y,），因此四边形,ABCD,的顶点,A,，,B,，,C,，,D,关于,y,轴对称的点分别,为：,A,（,，,），,B,（,，,），,C,（,，,），,D,（,，,），,2 5,5 1,2 1,5 4,A,B,C,D,x,y,1,1,O,A,B,C,D,依次连接,就可得到与四边形,ABCD,关于,y,轴对称的四边形,A,B,C,D,A,B,B,C,C,D,D,A,A,B,C,D,A,D,C,B,请在图上画出四边形,ABCD,关于,x,轴对称的图形,例,2,A,（,-,5,，,1,），,B,（,-,2,，,1,），,C,（,-,2,，,5,），,D,（,-,5,，,4,）,总 结,（,1,）求出已知图形中一些特殊点（多边形的顶点）,的对称点的坐标。,（,2,）描出这些点。,（,3,）连线。,步骤简述为：,（,1,）求特殊点的对称点的坐标；,（,2,）描点；,（,3,）连线,画,一个图形关于,x,轴或,y,轴对称的图形的方法和步骤,：,课堂练习,练习,3,分别写出下列各点关于,x,轴和,y,轴对称的点,的坐标,（,3,，,6,）、（,-,7,，,9,）、（,6,，,-,1,）、（,0,，,10,）,解,：,关于,y,轴对称的点的坐标：,（,-3,，,6,），（,7,，,9,），（,-6,，,-1,），（,0,，,10,）,关于,x,轴对称的点的坐标：,（,3,，,-6,），（,-7,，,-9,），（,6,，,1,），（,0,，,-10,）,课堂练习,练习,4,以正方形,ABCD,的中心为原点建立平面,直角坐标系,点,A,的坐标为（,1,，,1,），写出点,B,，,C,，,D,的,坐标,A,（,1,，,1,）,B,C,D,O,y,x,1,、在平面直角坐标系中，关于,x,轴对称的点的坐标有什,么变化规律？如何判断两个点是否关于,x,轴对称？,2,、,在平面直角坐标系中，关于,y,轴对称的点的坐标有什么变,化规律？如何判断两个点是否关于,y,轴对称？,课堂小结,关于,x,轴对称的每对对称点的横坐标相等，纵坐标互为相反数。,关于,y,轴对称的每对对称点的纵坐标相等，横坐标互为相反数。,点（,x,，,y,）关于,x,轴对称的点的坐标为（,_,，,_,）,点（,x,，,y,）关于,y,轴对称的点的坐标为（,_,，,_,）,x,-,y,-,x y,3,、说一说画一个图形关于,x,轴或,y,轴对称的图形的,方法和步骤,课堂小结,（,1,）求特殊点的对称点的坐标；,（,2,）描点；,（,3,）连线,第十三章 轴对称,13.3,等腰三角形,第,1,课时等腰三角形的性质,13.3.1,等腰三角形,预习提问？,1,、等腰三角形的定义,.,A,B,C,D,2,、等腰三角形是不是轴对称图形,?,探究,如图,把一张长方形的纸按图中虚线对折,将三角形部分剪下展开,得到的三角形有什么特点,?,腰,相等的两边,底,除腰外的一边,顶角,两腰的夹角,底角,腰与底的夹角,有两边相等的三角形叫做等腰三角形。,(,如,AB=AC,，,ABC,为等腰三角形,),概念：,想一想,1,、上面剪出的等腰三角形是轴对称图形吗？,2,、把剪出的等腰三角形,ABC,沿折痕对折，找出,其中重合的线段和角。,3,、由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角,形的哪些性质呢？说一说你的猜想。,A,B,C,D,重合的角：,重合的边：,B= C,，,BAD= CAD,，,ADB=ADC,AB=AC,，,BD=CD,性质,1,：,等腰三角形的两个底角相等,（简写为“,等边对等角,”）。,性质,2,：,等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合,（简称为“,三线合一,”）。,我们可以发现等腰三角形的性质,:,已知：如图，在,ABC,中，,AB=AC.,求证：,B=C.,A,B,C,D,1,2,证明：作顶角的平分线,AD.,在,BAD,和,CAD,中，,AB=AC,（已知）,1=2,（辅助线作法）,AD=AD,（公共边）,BADCAD,（,SAS,）,B=C,（全等三角形的对应角相等）,你还有其他的方法吗？,定理证明,第二种,第三种,A,B,C,D,A,B,C,D,作,ABC,的高线,AD,。,作,ABC,的中线,AD,。,AB=AC,B=C,定理的三种表示形式,等腰三角形的,两个底角相等,。,1,、文字语言,2,、符号语言,3,、图形语言,等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相,互,重合,.,性质,2,(,三线合一,),BD=CD,ADB=ADC=90.,A,B,C,D,1,2,结论,证明：作顶角的平分线,AD.,在,BAD,和,CAD,中,AB=AC,1=2,AD=AD,BADCAD .,练习,1,根据等腰三角形的性质定理,和推论，在,ABC,中，,AB=AC.,(1)ADBC,=,=,;,(2)AD,是中线，,，,=,；,（,3,）,AD,是角平分线，,，,=,。,A,B,C,D,BAD,CAD,BD,CD,BAD,CAD,AD,BC,AD,BC,BD,CD,如图，在,ABC,中，,AB=AC,，点,D,在,AC,上，且,BD=BC=AD.,求,ABC,各角的度数,.,解：,AB=AC,，,BD=BC=AD,ABC=C=BDC,A=ABD.,设,A=x,则,BDC=A+ABD=2x,从而,ABC=C=BDC=2x.,于是在,ABC,中，,有,A+ABC+C=x+2x+2x=180,，,解得,x=36,.,在,ABC,中，,A=36, ABC=C=72,.,例题讲解,练一练,1,、,等腰三角形的一个角是,40,，它的另外两个,角的度数是多少呢？,2,、,等腰三角形的一个角是,100,，它的另外两个,角的度数是多少呢？,3,、,等腰三角形的底边长为,7 cm,，一腰长的中线把周长分为两部分，其差为,3 cm,，则等腰三角形的腰长为多少？,概念：有两条边相等的三角形是等腰三角形,等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（或底边上的中线或底边上的高）所在直线是它的对称轴,1.,等腰三角形,2.,能根据等腰三角形的概念与性质求等腰三角形的边长、周长及已知一角求其他两角,.,小结,第,2,课时等腰三角形的判定,1.,理解并掌握等腰三角形的判定方法,2,.,运用等腰三角形的判定进行证明和计算,一、提出问题,出示教材第,77,页“思考”,学生思考,，,回答后教师提问：,在一般三角形中,，,如果有两个角相等,，,那么它们所对的边有什么关系？,学生猜想它们所对的边相等,即如果一个三角形有两个角相等,，,那么这两个角所对的边也相等,如何证明？,二、解决问题,教师引导提示,，,学生根据提示画出图形,，,并写出已知、求证,已知：在,ABC,中,，,B,C.,求证：,AB,AC.,与学生一起回顾等腰三角形中常添加的辅助线：底边上的高、顶角平分线、底边上的中线让学生逐一尝试,，,发现可以作,ADBC,，,或,AD,平分,BAC,，,但不能作,BC,边上的中线,学生口头证明后,，,选一种方法写出证明过程,如图,，,在,ABC,中,，,B,C,，,作,ABC,的角平分线,AD.,三、应用举例,1.,出示教材例,2.,引导学生根据命题画出图形,，,利用角平分线的性质及“等角对等边”来证明,学生讨论后,，,自己完成证明过程,例,2,求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边,，,那么这个三角形是等腰三角形,已知：,CAE,是,ABC,的外角,，,1,2,，,ADBC(,如图所示,),.,求证：,AB,AC.,分析：要证明,AB,AC.,可先证明,B,C.,因为,1,2,，,所以可以设法找出,B,，,C,与,1,，,2,的关系,证明：,ADBC,，,1,B(_),，,2,C(_),而已知,1,2,，,所以,B,C.,AB,AC(_),2,.,出示教材例,3.,让学生自学例,3.,例,3,已知等腰三角形底边长为,a,，,底边上的高的长为,h,，,求作这个等腰三角形,作法：,(1),作线段,AB,a.,(2),作线段,AB,的垂直平分线,MN,，,与,AB,相交于点,D.,(3),在,MN,上取一点,C,，,使,DC,h.,(4),连接,AC,，,BC,，,则,ABC,就是所求作的等腰三角形,四、课堂小结,1.,等腰三角形的判定方法是什么？,2,.,等腰三角形的性质与判定既有区别又有联系,，,你能总结一下吗？,第,1,课时等边三角形的性质和判定,13.3.2,等边三角形,教学目标,1,.,掌握等边三角形的定义,2,.,理解等边三角形的性质与判定,教学设计,一、问题引入,在等腰三角形中,，,如果底边与腰相等,，,会得到什么结论？,三条边都相等,二、自主探究,1.,等边三角形的定义,.,底边和腰相等的等腰三角形叫做等边三角形,2,.,思考：一个三角形的三个内角满足什么条件才是等边三角形？,三个角都相等,，,并且每一个角都等于,60.,教学设计,3,.,在,ABC,中,，,A,B,C,，,你能得到,AB,BC,CA,吗？为什么？,你从中能得到什么结论？,三个角都相等的三角形是等边三角形,4,.,在,ABC,中,，,AB,AC,，,A,60.,(1),求证：,ABC,是等边三角形,.,(2),如果把,A,60,改为,B,60,或,C,60,，,那么结论还成立吗？,(3),根据以上结论，你可以得到什么结论？,有一个角是,60,的等腰三角形是等边三角形,教学设计,三、应用举例,1,.,教材例,4.,例,4,如图,，,ABC,是等边三角形,，,DEBC,，,分别交,AB,，,AC,于点,D,，,E.,求证：,ADE,是等边三角形,证明：,ABC,是等边三角形,，,A,B,C.,DEBC,，,ADE,B,，,AED,C,，,A,ADE,AED,，,ADE,是等边三角形,教学设计,2,.,归纳：在判定三角形是等边三角形时：,(1),若三角形是一般三角形,，,只要找三个角相等或三条边相等；,(2),若三角形是等腰三角形,，,一般找一个角等于,60.,四、巩固练习,教材第,80,页练习第,1,，,2,题,补充题,：,1,.,如图,，,已知等边,ABC,，,点,D,，,E,，,F,分别是各边上的一点,，,且,AD,BE,CF.,求证：,DEF,是等边三角形,2,.,如图,，,已知等边,ABC,，,点,D,是,AC,的中点,，,且,CE,CD,，,DFBE.,求证：,BF,EF.,教学设计,第,2,题图,第,1,题图,第,2,课时含,30,角的直角三角形的性质,教学目标,掌握含,30,角的直角三角形的性质与应用,教学设计,一、情境导入,将两个含,30,角的三角尺摆放在一起,，,你能借助这个图形,，,找出,RtABC,的直角边,BC,与斜边,AB,之间的关系吗？,二、探究新知,由题意可判定,ABD,是等边三角形,，,且,AC,为边,BD,上的高,，,可得,BC,CD,AB.,教,师归纳：,在直角三角形中,，,如果一个锐角等于,30,，,那么它所对的直角边等于斜边的一半,你能证明这一结论吗？,教学设计,教学设计,课堂练习,在,ABC,中,，,ACB,90,，,A,30,，,CDAB,，,AB,4,，,则,BC,_,，,BCD,_,，,BD,_,小明沿倾斜角为,30,的山坡从山脚步行到山顶,，,共走了,200 m,，,求山的高度,三、举例,分析,出示,教材例,5.,例,5,如图是屋架设计图的一部分,，,点,D,是斜梁,AB,的中点,，,立柱,BC,，,DE,垂直于横梁,AC,，,AB,7.4 m,，,A,30.,立柱,BC,，,DE,要多长,.,教学设计,课堂练习,1.,如图,，在,RtABC,中,，,A,30,，,ACB,90,，,BD,平分,ABC,，,求证：,AD,2DC.,2,如图,，在,ABC,中,，,AB,AC,，,C,30,，,ABAD,，,AD,2 cm,，,求,BC,的长,第十三章 轴对称,13.4,课题学习 最短路径问题,【学习目标】,能,利用轴对称和平移的知识解决路径最短的问题。,引言：,前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”,“,连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节 将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”,引入新知,探究一 将军饮马问题,问题,1,相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久,负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访,海伦，求教一个百思不得其解的问题：,从图中的,A,地出发，到一条笔直的河边,l,饮马，然,后到,B,地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程,最短？,探索新知,B,A,l,精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称,的知识,回答了这个问题这个问题后来被称为,“将军饮马问题”,你能将这个问题抽象为数学问题吗？,探索新知,B,A,l,追问,1,这是一个实际问题，你打算首先做什么？,将,A,，,B,两地抽象为两个点，将河,l,抽象为一条,直线,探索新知,B,A,l,（,1,）从,A,地出发，到河边,l,饮马，然后到,B,地；,（,2,）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与,A,，,B,连接起来的两条线段的长度之和，就是从,A,地到,饮马地点，再回到,B,地的路程之和；,探索新知,追问,2,你能用自己的语言说明这个问题的意思,，并,把它抽象为数学问题吗？,探索新知,追问,2,你能用自己的语言说明这个问题的意思，,并把它抽象为数学问题吗？,（,3,）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为,最短,的直线,l,上的点设,C,为直线,l,上的一个动点，,上面的,问题就转化为：当点,C,在,l,的什么位置时,，,AC,与,CB,的和最小（如图）,B,A,l,C,追问,1,对于问题,2,，如何,将点,B,“,移”到,l,的另一侧,B,处，满足直线,l,上的任意一点,C,，都保持,CB,与,CB,的长度,相等？,探索新知,问题,2,如图，点,A,，,B,在直线,l,的同侧，点,C,是直,线,l,上的一个动点，当点,C,在,l,的什么位置时，,AC,与,CB,的和最小？,B,l,A,追问,2,你能利用轴对称的,有关知识，找到上问中符合条,件的点,B,吗？,探索新知,问题,2,如图，点,A,，,B,在直线,l,的同侧，点,C,是直,线,l,上的一个动点，当点,C,在,l,的什么位置时，,AC,与,CB,的和最小？,B,l,A,作法：,（,1,）作点,B,关于直线,l,的对称,点,B,；,（,2,）连接,AB,，与直线,l,相交,于点,C,则点,C,即为所求,探索新知,问题,2,如图，点,A,，,B,在直线,l,的同侧，点,C,是直,线,l,上的一个动点，当点,C,在,l,的什么位置时，,AC,与,CB,的和最小？,B,l,A,B,C,探索新知,问题,3,你能用所学的知识证明,AC,+,BC,最短吗？,B,l,A,B,C,证明：,如图，在直线,l,上任取一点,C,（与点,C,不,重合），连接,AC,，,BC,，,B,C,由轴对称的性质知，,BC,=,B,C,，,BC,=,B,C,AC,+,BC,=,AC,+,B,C,=,AB,，,AC,+,BC,=,AC,+,B,C,探索新知,问题,3,你能用所学的知识证明,AC,+,BC,最短吗？,B,l,A,B,C,C,探索新知,问题,3,你能用所学的知识证明,AC,+,BC,最短吗？,B,l,A,B,C,C,证明：,在,AB,C,中,，,AB,AC,+,B,C,，,AC,+,BC,AC,+,BC,即,AC,+,BC,最短,若直线,l,上任意一点（与点,C,不重合）与,A,，,B,两点的距离,和都大于,AC,+,BC,，就说明,AC,+,BC,最小,探索新知,B,l,A,B,C,C,追问,1,证明,AC,+,BC,最短时，为什么要在直线,l,上,任取一点,C,（与点,C,不重合），证明,AC,+,BC,AC,+,BC,？这里的“,C,”,的作用是什么？,探索新知,追问,2,回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的,过程、借助什么解决问题的？,B,l,A,B,C,C,运用新知,练习如图，一个旅游船从大桥,AB,的,P,处前往山,脚下的,Q,处接游客，然后将游客送往河岸,BC,上，再返,回,P,处，请画出旅游船的最短路径,A,B,C,P,Q,山,河岸,大桥,运用新知,基本思路：,由于两点之间线段最短，所以首先可连接,PQ,，线,段,PQ,为旅游船最短路径中的必经线路将河岸抽象为,一条直线,BC,，这样问题就转化为“点,P,，,Q,在直线,BC,的同侧，如何在,BC,上找,到一,点,R,，使,PR,与,QR,的和,最小,”,A,B,C,P,Q,山,河岸,大桥,探究,2,（造桥选址问题）如图，,A,和,B,两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥,MN,，桥造在何处可使从,A,到,B,的路径,AMNB,最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。,）,分析：由于河岸宽度是固定的，因此当,AM+NB,最小时，,AM+MN+NB,最小，这样，问题就进一步转化为：当点,N,在直线,b,的什么位置时，,AM+NB,最小？可以通过将,AM,沿与河岸垂直的方向平移，点,M,移动到点,N,，点,A,移动到点,A,，则,AA,MN,，,AM+NB,A,N+NB,，当,A,B,在一条直线上时，根据“两点之间，线段最短”，可得,A,N+NB,的值最小，则路径,AMNB,最短。,解：在直线,a,上取任意一点,M,，作,M,N,b于点,N,，平移,AM,，使点,M,移动到点,N,的位置，点,A,移动到点,A,的位置，连接,A,B,交直线,b,于点,N,，过点,N,作,MN,a于点,M,，则路径,AMNB,最短,。,理由如下：如图，点,M,为直线,a,上任意一点（不与点,M,重合），,线段AN是线段AM平移得到的，,AAMN，ANAM,AM+MN+BNAN+AA+BN,.,MN,/,AA且MNAA,MN可以看作是AA经过平移得到的,ANAM,AM+NB,A,N+NB,.,根据两点之间线段最短，得A,N+NB,A,B,AN+BN,AM+NB,AM+BN,.,MNMN,AM+MN+NB,AM+MN+NB，,即路径AMNB最短。,
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