chap5控制系统的稳定性分析

,第五章 控制系统的稳定性分析,稳定性的基本概念,系统稳定的充要条件,Routh,稳定判据,Nyquist,稳定判据,Bode,稳定判据,系统的相对稳定性,稳定性的基本概念,稳定是控制系统正常工作的首要条件。控制系统在实际运行过程中，总会受到外界或内部一些因素的扰动，例如负载波动、系统参数的变化等。因此,如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施是控制理论的基本任务之一。,定义,如果系统受到有界扰动，不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能恢复到初始平衡状态，则这种系统称为,大范围稳定,的系统；,如果只有当扰动引起的初始偏差小于某一范围时，系统才能在取消扰动后恢复到初始平衡状态，否则就不能恢复到初始平衡状态，则这样的系统称为,小范围稳定,的系统；,大范围稳定,小范围稳定,不稳定,稳定性的基本概念,理解,注意,对于线性系统而言：,1、若稳定,它必然在大范围内和小范围内都稳定。只有非 线性系统才可能存在小范围稳定而大范围不稳定情况。,2、在有界输入作用下,其输出响应也是有界的。,3、稳定性是系统的一种固有特性，它只取决于系统本身的结构和参数，而与初始状态和外作用无关。,临界稳定,：若系统在扰动消失后，输出与原始的平衡状态间存在恒定的偏差或输出维持等幅振荡，则系统处于临界稳定状态。,系统稳定的充要条件,线性系统稳定性定义,：,线性控制系统处于某一平衡状态下受到扰动作用而偏离了原来的平衡状态，在干扰消失后系统又能够回到原来的平衡状态或者回到原平衡点附近，则称该系统是稳定的，否则，该系统就是不稳定的。,不稳定,稳定,R(S),C(S),系统,G(S),设系统的传递函数为,输入,:,系统稳定的充要条件,则系统输出为,则前一章分析可得,总结: 如果系统的闭环极点均位于左半s平面，则瞬态响应的暂态分量将随时间而衰减，系统是稳定的。只要有一个极点位于右半s平面，则对应的响应将是发散的，系统就不能正常稳定工作。,系统稳定的充要条件：,系统特征方程的根（即传递函数的极点）全部具有负实部。或者说，特征方程的根全部位于左半,s,平面。,特征根的三种情况及所对应时域解：,深入理解,系统稳定的充要条件,s,平面上实极点及稳定性,j,0,j,0,j,0,t,c(t),0,t,c(t),0,t,c(t),0,j,0,j,0,j,0,t,y(t),0,t,y(t),0,t,y(t),0,系统稳定的充要条件,s,平面上复极点及稳定性,j,0,t,y(t),0,j,0,t,y(t),0,S,平面虚轴上重极点及稳定性,系统稳定的充要条件,系统稳定的充要条件,1940年11月7日，一阵风引起了桥的晃动，而且晃动越来越大，直到整座桥断裂.,j,0,共振现象的解释,t,y(t),0,跨越华盛顿州塔科马峡谷的首座大桥，开通于1940年7月1日。只要有风，这座大桥就会晃动。,Routh,稳定判据,根据稳定的充要条件,求得特征方程的根就可判定系统的稳定性.但对于高阶系统求解方程的根比较困难。,希望能够不求解系统特征方程，仅根据特征方程的系数得到对系统稳定性的正确判断。,Routh稳定判据,就是根据,闭环传递函数特征方程式的各项系数,按一定的规则排列成,Routh表,，根据,表中第一列系数正负符号的变化情况,来判别系统的稳定性。,系统稳定（特征方程的根都位于复平面的左半平面）的,必要条件,为：,特征方程的系数不等于零且具有相同的符号,。,闭环特征方程,Routh,稳定判据,设系统的特征方程为,根据特征方程的各项系数排列成Routh表(n=5 为例)：,Routh稳定判据：,Routh表第一列元素符号一致且不等于0。,第一列元素,符号变化的次数就是正实部根的数目,。,Routh,稳定判据,例：已知系统的特征方程，试判断该系统稳定性。,解：,D(s)=s,4,+2s,3,+3s,2,+4s+5=0,Routh,表如下：,1,3 5,s,1,s,0,s,4,s,3,s,2,b,1,b,2,c,1,d,1,2,4,b,1,=,2,*3,-1,*4,2,=1,1,b,2,=,2,*5,-1,*,0,2,= 5,5,c,1,=,1,*4,-2,*5,1,=-6,-6,d,1,=,-6,*5,-1,*0,-6,= 5,5,特征方程有两个正实部根，系统不稳定。,例: 系统如图所示,试确定系统稳定时放大倍数,K,的取值范围。,闭环传递函数,特征方程:,D(s)=s,3,+14s,2,+40s+40K=0,解：,Routh,稳定判据,Routh表:,1,40,s,3,s,2,14,40K,s,1,b,1,b,1,=,14,*40,-1,*40K,14,s,0,c,1,40K,系统稳定的条件:,0,560-40K0,40K0,14K0,试判断有几个特征方程根位于S=-1之右？,令,s=z-1,Routh,稳定判据,1、,首列中有1个元素为零，但所在行中存在非零元素。,如特征方程：,前面分析的为首列中没有元素是零的情况。,Routh判据表在分析中存在两种特殊情形。,这时可以用,无穷小正数,代替0，继续运算。,Routh表:,4,-,12,/,10,6,10,本例Routh表,首列,符号变化两次,，表示系统中有2个带正实部的根,系统不稳定,。,若,用,替代后符号没有变化表示,系统中有,纯虚根,存在。,如特征方程：,D(s)=s,3,+2s,2,+s+2=0,Routh表:,用,无穷小正数,代替0,2,首列用,替代后符号没有变化表明,系统中有一对纯虚根。,s,1,=-2,s,2.3,=j,2、,首列中有零元素且所在行其他元素均为零,。说明特征根中可能存在共轭虚根或共轭复根或符号相异的实根。,如特征方程：,这时可以由上,一行元素为系数,构成辅助,多项式,：,Routh表:,42,Routh表,首列,符号变化两次,，表示系统中有2个带正实部的根,由辅助多项式可解得存在1对共轭虚根，系统不稳定。,Routh,稳定判据,63,多项式对,s,求导：,所得系数取代全零行。,如特征方程：,Routh表:,上,一行元素为系数,构成辅助,多项式,：,多项式对,s,求导：,所得系数取代全零行。,4,6,3/2,2,2/3,2,Routh表首列,符号没有变化,表示系统中不存在带正实部的根,但由辅助多项式可解得存在2对共轭虚根,系统不稳定。,Nyquist,稳定判据,系统稳定的充要条件是所有稳定性判据的基础。 Routh稳定判据是时域中的有效判据。与此类似，Nyquist及Bode稳定判据是常用的频域稳定性判据。频域稳定判据的特点是,根据“开环”系统频率特性曲线，判定闭环系统的稳定性,。,Nyquist,稳定判据之基础：,围线映射,当复变量s沿S平面上的闭合曲线或闭合轨迹运动时，函数F(s)会将它映射为像平面上的闭合曲线。,s,s,平面,F,F(s),平面,例 F(s)=2s+1,S,j,0,1,j,-j,-1,jv,u,0,j2,-j2,-1,3,顺时针方向定义为闭合曲线的正方向,闭合曲线正方向右侧区域为包围区域.,即:顺时针,向右看。,Nyquist,稳定判据,F(s)=s/(s+2),F(s)=s/(s+1/2),X,X,Nyquist,稳定判据,C,F,jv,u,F(s),C,s,X,X,X,X,j,s,Z,i,P,k,Z,r,P,r,P,s,P,q,显然,如果闭合曲线,C,s,在,s,平面上包围了,F(s),的,Z,个零点,和,P,个极点,(但不经过任何一个零点和极点)，,C,s,上任一点,以顺时针方向,转动一圈时,，,复变函数,F,(,s,),的矢量相位增量为:,那么对应的映射曲线,C,F,在,F(s),平面上以顺时针包围原点,N=Z-P,圈。,设,Cauchy幅角定理：,若,N=Z-P0,表示,C,F,顺时针包围原点,N圈,；,若,N=Z-P=0,表示,C,F,顺时针旋转但不包围原点；,若,N=Z-P,1时，Nyquist,曲线逆时针包围,(-1，,j,0),点一圈，即,N=,1，,Z=N-P=,0,则闭环系统是稳定的。当,K0的部分；,3、,单位圆内部,L()0),正穿越,6、 在,L(,) 0的范围内,正穿越,对应于对数相频特曲线当,增大时从下向上穿越,180线(相位增大 )；,负穿越,对应于对数相频特曲线当,增大时从上向下穿越,180线(相位减小 )；,Bode,稳定判据,当,由0+变化时，在开环对数幅频特性曲线,L,(,)0,的频段内，若系统,开环,相频特性曲线,(,),对-180线的,正负穿越次数之差,为,P/2,（,P,为系统开环在右半,s,平面的极点数），则闭环系统稳定。,否则，闭环不稳定。,Bode,稳定判据,例：,已知某系统的开环传递函数 Bode图，试判断闭环系统的稳定性。,解：,由题意可知开环特征方程有两个右根，即P=2, 再,由Bode图可知：,正负穿越数之差为-1 ，所以,闭环系统不稳定。,Bode,稳定判据,例：,已知某系统的开环传递函数 Bode图，试判断闭环系统的稳定性。,解：,由题意可知开环特征方程有0个右根，即P=0, 再,由Bode图可知：,正负穿越数之差为0 ，所以,闭环系统稳定。,Bode,稳定判据,例：,已知某系统的开环传递函数,试根据Bode图判断闭环系统,的稳定性。,解：,由开环传递函数可知开环特征方程无右根，P=0 ，再由Bode图可知L(,)0范围内,()和-线不相交即,正负穿越数之和为0，所以,闭环系统稳定。,Bode,稳定判据,例：,已知某系统的开环传递函数,试根据Bode图判断闭环系统的稳定性。,解：,开环传递函数的Nyquist图及Bode图如图所示，辅助圆如图中虚线所示。由开环传递函数可知开环在右半s平面无极点，即P=0，又由图可知开环相频特性曲线正负穿越数,N,+,-,N,-,=-1，所以,闭环,系统不稳定(实际,闭环系统右极点个数,Z,=,P,-,N,=2 )。,且从图中可以看出，不论,K,如何变化。开环频率特性上的穿越次数却不变化，系统总是不稳定的，表明系统为结构不稳定系统。,Bode,稳定判据,最小相位系统的,Bode,稳定判据：,开环频率特性,G,k,(S),在S右半平面无零点和极点的系统称为最小相位系统。,最小相位系统闭环稳定的充要条件可简化为：Nyquist图(开环频率特性曲线)不包围,(-1,j0),点,(因为若,N=0,且P=0,所以Z=0),。,幅值交界频率,c,(剪切频率、幅值穿越频率):,G,k,(j),轨迹与单位圆 交点处的频率。,相位交界频率 ,g,(相位穿越频率):,G,k,(j)轨迹与负实轴交点处的频率。,Nyquist图幅值和相位关系为：,当 时，,当 时，,当 时，,当 时，,Bode图幅值和相位关系为：,控制系统的相对稳定性,控制系统的相对稳定性,从,Nyquist,稳定判据可知，若系统开环传递函数没有右半平面极点且闭环系统是稳定的，则开环系统的,Nyquist,轨迹离,(-1,j0),点越远,则闭环系统的稳定程度越高。反之，,Nyquist,轨迹离,(-1,j0),点越近,则其闭环系统的稳定程度越低。,通过,Nyquist,轨迹对点,(-1,j0),的靠近程度,来度量，其,定量表示,为,相位裕量,和,幅值(增益)裕量,K,g,这就是通常所说的,相对稳定性,。,当频率特性曲线穿过,(-1,j0),点时，系统处于临界稳定状态。这时:,c,=,g,幅值裕量,相位裕量,幅值裕量物理意义,:,稳定系统在相位穿越频率处将幅值增加,K,g,倍（,Nyquist,图）或增加,K,g,分贝（Bode图系统,就,处于临界状态。若增加的倍数大于,K,g,倍或增加K,g,分,贝,，则,系统变为不稳定。,比如，若增加开环放大系数K，则对数幅频特性曲线将上升，而相角特性曲线不变，即开环放大系数太大，容易引起系统的不稳定。,相位裕量的物理意义,：稳定系统在幅值穿越频率,c,处将相角减小,度，则系统变为临界稳定；再减小就会变为不稳定。,控制系统的相对稳定性,控制系统的相对稳定性,例,设控制系统如图所示,当,k=10和k=100,时，试求系统的相位裕量和幅值裕量。,-,解：,当,k=10,时，开环系统伯德图如图所示。,相位裕量,幅值裕量,K,g,先求幅值穿越频率,c,先求相位穿越频率,g,相位穿越频率,g,处的相位为：,控制系统的相对稳定性,当,k=100,时，开环系统伯德图如图所示。,20dB,-20dB/dec,-40dB/dec,-60dB/dec,当,增益从k=10增大到k=100时，幅值特性,曲线上移20dB，相位特性曲线不变。,相位裕量,幅值裕量,K,g,相位穿越频率,g,处的相位为：,因此系统在k=10时是稳定的，在k=100时是不稳定的,控制系统的相对稳定性,例,某系统结构图如,图,所示。试确定当,k=10,时闭环系统的稳定性及使,相位裕量为30度时的开环放大系数,k,。,-,解：,当k=10时，开环传递函数为：,绘制Bode图：,1、 确定转角频率：10、40，在(1,20lg200),点画斜率为-20的斜线至,=10。,2、在=10-40间画斜率为-40的斜线；,3、在=40后画斜率为-60的斜线。,相位裕量,-20dB/dec,-40dB/dec,-60dB/dec,先求幅值穿越频率,c,控制系统的相对稳定性,幅值裕量,K,g,相位穿越频率,g,处的相位为：,因此系统在k=10时系统是不稳定的。,要使相位裕量达到30度，即,因此必须将原来幅频曲线下移，下移的分贝数为:,即降低开环增益，设新的开环放大系数为,K,a,，有：,控制系统的相对稳定性,例,某单位反馈系统的开环传递函数为 ，,试确定使相位裕量为45度时的系数,a,。,解：,控制系统的相对稳定性,