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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.1,合情推理与演绎推理,第二章 推理与证明,2.1.1,合情推理,问题提出,1.,推理是人们思维活动的过程，在日常活动和科学研究中，我们必须要通过推理来思考问题,.,2.,推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，在一定的条件和背景下，我们常通过推理提出问题，发现结论，引出性质,.,3.,推理必须是,“,合乎情理,”,的，并遵循一定的逻辑规律,.,因此，研究、总结推理中合乎情理的逻辑规律，是一个需要我们探讨的课题,.,合情推理,探究（一）：归纳推理,思考,1,：,我们知道，三角形的内角和为,180,，四边形的内角和为,360,，五边形的内角和为,540,，,，由此归纳猜想，,n,边形的内角和为多少度？,(n,2),180,思考,2,：,二百多年前，德国数学家哥德巴赫在研究自然数时偶然发现：,6,3,3,，,8,3,5,，,10,3,7,，,12,5,7,，,14,7,7, 16,5,11,，,，于是他提出了一个猜想，你认为他猜想出一个什么结论？,任何一个不小于,6,的偶数都等于两个奇质数之和,.,思考,3,：,在逻辑上，上述推理称为,归纳推理,（简称,归纳,），那么归纳推理的含义是什么？,由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出,一般结论的推理,.,思考,4,：,归纳推理的思维过程大致分哪几个步骤？,实验、观察概括、推广,猜测一般结论,.,思考,5,：,一个口袋里装有许多球，每次从中取出一个球，先后取,20,次均为白球，由此能肯定袋中剩余的球都是白球吗？,思考,6,：,对于等式：,1,2,2,3,3,4,n(n,1),3n,2,3n,2,，当,n=1,，,2,，,3,时等式成立吗？能否由此断定这个等式对所有正整数,n,都成立？,思考,7,：,应用归纳推理可以发现一般结论，其不足之处是什么？,由归纳推理得出的结论不一定正确，其真实性有待进一步证明,.,探究（二）：类比推理,思考,1,：,据说我国古代工匠鲁班从带齿的草叶和蝗虫的齿牙受到启发，发明了锯；人们仿照鸟类的外形和它们在空中的飞行原理，发明了飞机；仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原理，发明了潜水艇；等等,.,这种在发明创造活动中运用的方法，称为,类比推理,.,你还能列举出这样的实例吗？,思考,2,：,科学家们发现火星具有一些与地球类似的特征，如火星也是围绕太阳运行、绕轴自转的行星，也有大气层，在一年中也有季节的变更，而且火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等,.,运用类比推理，你有什么猜想？其推理过程是怎样形成的？,猜想：,火星上也可能有生命存在,.,思考,3,：,球与圆在形状和概念上都有类似的地方，如二者都具有完美的对称性，都是到定点的距离等于定长的点的集合,.,对于圆，圆有切线，切线与圆只有一个公共点，圆心到切线的距离等于圆半径，平面内不共线的三个点确定一个圆,.,运用类比，你能推测球可能有哪些类似的性质？,球有切平面，切平面与球只有一个公共点，球心到切平面的距离等于球半径，空间中不共面的四个点确定一个球,.,思考,4,：,类比圆的特征，下表中球的相关特征分别是什么？,球的方程,(x,x,0,),2,(y,y,0,),2,(z,z,0,),2,r,2,与球心距离相等的两截面积相等，与球心距离不等的两截面积不等，距球心较近的截面积较大,.,球心与截面（非大圆）圆心的连线垂直于截面,球的体积,球的面积,圆的方程为,(x,x,0,),2,(,y,y,0,),2,r,2,与圆心距离相等的两弦相等，与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长,.,圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦,圆的面积,圆的周长,球的类似概念和性质,圆的概念和性质,思考,5,：,上述推理都是类比推理，一般地，类比推理的含义是什么？,由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理,.,思考,6,：,类比推理的思维过程大致分哪几个步骤？,观察、比较联想、类推猜测类似结论,.,思考,7,：,归纳推理和类比推理统称为,合情推理,，合情推理的过程大致是什么？,从具体问题出发观察、分析、比较、联想归纳、类比提出猜想,.,理论迁移,例,1,已知数列,a,n,满足：,a,1,1,，,且 （,nN,*,），试推测数,列,a,n,的通项公式，并判断其真实性,.,归纳：,.,例,2,类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想，并判断其真实性,.,C,A,B,A,C,B,P,定理：若,ACBC,，则,AC,2,BC,2,AB,2,；,类比：若,PAPB,，,PAPC,，,PBPC,，则,小结作业,1.,归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，应用归纳推理可以发现某类事物的一般规律，获得新结论，但它不能作为数学证明的方法,.,2.,类比推理是由特殊到特殊的推理，它可以由已经解决的问题和获得的结论出发，通过类比而提出新问题和作出新发现，但它也不能作为数学证明的方法,.,.,3.,由归纳推理和类比推理得到的结论只是一种猜想，所得的结论不一定正确，但可以为我们的研究提供一种思路和方向,.,作业：,P77,78,练习：,1,，,2,，,3.,归纳推理的应用（习题课）,知识回顾,1.,归纳推理的含义：,由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理,.,2.,归纳推理的思维过程：,实验、观察概括、推广,猜测一般结论,.,例,1,如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上,.,（,1,）每次只能移动,1,个金属片；,（,2,）较大的金属片不能放在较小的金属片上面,.,试推测：把,n,个金属片从,1,号针移到,3,号针，最少需要移动多少次？,1,2,3,2,n,1,次,例,2,平面上有,n,（,nN,*,，,n2,）条直线，其中任意两条都相交，任意三条不共点，试推测：这,n,条直线一共有多少个交点,.,例,3,已知数列 满足,:,试推测数,列 的通项公式,.,
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