一维单原子链

,固体物理,Solid State Physics,西南科技大学,固体物理,Solid State Physics, 3.2,一维单原子链,第三章 晶格振动,3.2,一维单原子链,绝热近似,用一个均匀分布的负电荷产生的常量势场来描述电子对离子运动的影响,晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式,格波,格波的研究,先计算原子之间的相互作用力,根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程,将电子的运动和离子的运动分开,一维无限原子链,每个原子质量,m,，平衡时原子间距,a,原子之间的作用力,第,n,个原子离开平,衡位置的位移,第,n,个原子和第,n,1,个,原子间的相对位移,第,n,个原子和第,n,1,个原子间的距离,平衡位置时，两个原子间的互作用势能,发生相对位移 后，相互作用势能,常数,平衡条件,简谐近似,振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项,相邻原子间的作用力,恢复力常数,原子的运动方程,只考虑相邻原子的作用，第,n,个原子受到的作用力,第,n,个原子的运动方程,每一个原子 运动方程类似,方程的数目和原子数相同,方程解和振动频率,设方程组的解,naq,第,n,个原子振动相位因子,得到,应用三角公式,连续介质中的机械波,波数,格波方程,格波的意义：,晶体中的格波,格波和连续介质波具有完全类似的形式,一个格波表示的是所有原子同时做频率为,的振动,波长,格波的波形图,简谐近似下，格波是简谐平面波,向上的箭头代表原子沿,X,轴向右振动,向下的箭头代表原子沿,X,轴向左振动,格波波长,格波波矢,格波相速度,不同原子间相位差,格波方程,相邻原子的相位差,波矢的取值和布里渊区：,格波,相邻原子相位差,原子的振动状态相同,格波,1,的波矢,相邻原子相位差,格波,格波,2,的波矢,相邻原子的位相差,两种波矢,q,1,和,q,2,的格波中，原子的振动完全相同,波矢的取值,相邻原子的相位差取值,第一布里渊区,只研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题,其它区域不能提供新的物理内容,玻恩卡曼（,Born-Karman,）周期性边界条件,一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的，每个原子的振动形式都一样,实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两头的原子不能用中间原子的运动方程来描述,N,个原子头尾相接形成环链，保持所有原子等价特点,处理问题时考虑,到环链的循环性,N,很大，原子运动近似为直线运动,设第,n,个原子的位移,再增加,N,个原子之后,第,N+n,个原子的位移,则有,要求, h,为整数,波矢的取值范围,h N,个整数值，波矢,q ,取,N,个不同的分立值,第一布里渊区包含,N,个状态,每个波矢在第一布里渊区占的线度,第一布里渊区的线度,第一布里渊区状态数,波矢,格波的色散关系,频率是波数的偶函数,格波相速度,不同波长的格波传播速度不同,色散关系, q,空间的周期,频率极小值,频率极大值,只有频率在 之间的格波才能在晶体中传播，其它频率的格波被强烈衰减,低通滤波器,色散关系,格波,长波极限情况,当,格波的色散关系与连续介质中弹性波的一致,格波,短波极限情况,格波的色散关系与连续介质中弹性波的不一致,不同频率的格波传播速度不同,长波极限下,短波极限下,相邻两个原子振动相位差,晶格可看作是连续介质,相邻原子的振动相位相反,原子位移和简正坐标的关系,第,q,个格波引起第,n,个原子位移,第,n,个原子总的位移,令,原子坐标和简正坐标的变换,线性变换为么正变换,有,3N,个取值,动能和势能的形式,N,项独立的模式,动能的正则坐标表示,势能的正则坐标表示,原子位移 为实数,正交性,势能,系统复数形式的简正坐标,哈密顿量,将 代入得到,系统势能,实数形式的简正坐标,令,哈密顿量,能量本征值,本征态函数,当这种振动模处于 时，说明有 个声子,一个简正坐标对应一个谐振子方程，波函数是以简正坐标为宗量的谐振子波函数,声子,晶格振动的能量量子；,或格波的能量量子,声子是一种元激发，可与电子或光子发生作用,晶格振动的问题,声子系统问题的研究,每个振动模式在简谐近似条件下都是独立的,声子系统是无相互作用的声子气组成的系统,声子具有能量,_,动量，看作是准粒子,晶格振动,声子体系,