分类计数原理与分步计数原理3

制作人：滕宏银,*,江苏省江浦高级中学数学课件,问题：2002年夏季在韩国与日本举行的第17届世界杯足球赛共有32支队参赛。它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强，这16支队伍按确定的程序进行淘汰赛后，最后决出冠亚军，此外还决出了第三、第四名。问一共安排了多少场比赛？,10.1 分类计数原理与分步计数原理(1),1,要回答上述问题，就要用到排列、组合的知识，排列、组合是一个重要的数学方法，粗略地说，排列、组合就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法。,在运用排列、组合方法时，经常要用到分类计数原理与分步计数原理，下面我们举一些例子来说明这两个原理,10.1 分类计数原理与分步计数原理(1),10.1 分类计数原理与分步计数原理(1),从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车.一天中,火车有3班,汽车有2班,那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?,请看下面问题1：,画图分析,分析： 因为一天中乘火车有3种走法,乘汽车有2种走法,每一种走法都可以从甲地到乙地,所以共有3+2=5种不同走法,10.1 分类计数原理与分步计数原理(1),如图：,一般地，有如下原理：,分类计数原理：做一件事，完成它可以有,n,类办法，在第1类办法中有m,1,种不同的方法，在第2类办法中有m,2,种不同的方法，在第,n,类办法中有m,n,种不同的方法那么完成这件事共有,N,m,1,十,m,2,十十,m,n,种不同的方法,10.1 分类计数原理与分步计数原理(1),对于分类计数原理，我们应注意以下几点,.,（,1,）从分类计数原理中可以看出，各类之间相互独立，都能完成这件事，且各类方法数相加，所以分类计数原理又称加法原理；,（,2,）分类时，首先要根据问题的特点确定一个分类的标准，然后在确定的分类标准下进行分类,（,3,）完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法都是不同的方法,.,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？,再看下面问题2：,10.1 分类计数原理与分步计数原理(1),分析： 这里，从A村到B村有3种不同的走法，按这3种走法中的每一种走法到达B村后，再从B村到C村又有2种不同的走法因此，从A村经B村去C村共有 32,=,6种不同的走法,如图,所有走法,火车1汽车1 火车1汽车2 火车1汽车3 火车2汽车1 火车2汽车2 火车2汽车3,一般地，有如下原理：,分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第1步有m,1,种不同的方法，做第2步有m,2,种不同的方法，做第n步有m,n,种不同的方法那么完成这件事共有,10.1 分类计数原理与分步计数原理(1),Nm,1,m,2,m,n,种不同的方法,对于分步计数原理，我们还应注意以下几点.,（1）分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤完成了，这件事才算完成；,（2）分步时首先要根据问题的特点确定一个分步的标准；,（3）分步时还要注意满足完成一件事必须并且只需连续完成,n,个步骤后这件事才算完成.,例1,书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书.,(1),从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?,(2)从书架上的第1,2,3层各取1本书,有多少种不同的取法?,10.1 分类计数原理与分步计数原理(1),解：（1）从书架上任取1本书，有3类办法：第1类办法是从第1层取1本科技书，有4种方法；第2类办法是从第2层取1本漫画书，有3种方法；第3类办法是从第3层取1本文学书，有2种方法。,根据分类计数原理，不同取法的种数是,Nm,1,m,2,m,3,4329,答：从书架上任取1本书，有9种不同的取法。,（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，可以分成3个步骤完成：第1步从第1层取1本科技书，有4种方法；第2步从第2层取1本漫画书，有3种方法；第3步从第3层取1本文学书，有2种方法。,据分步计数原理，从书架的第1、2、3层各取1本书，不同取法的种数是,Nm,1,m,2,m,3,43224,答：从书架的第1、2、3层各取1本，有24种不同的取法。,例2、 一种号码锁有4个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码?,解：由于号码锁的每个拨号盘有从0到9这10个数字，每个拨号盘上的数字有10种取法。根据分步计数原理，4个拨号盘上各取1个数字组成的四位数字号码的个数是,N=10101010=10000,答：可以组成10000个四位数字号码。,10.1 分类计数原理与分步计数原理(1),例3、要从甲、乙丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？,解：从3名工人中选1名上日班和1名上晚班，可以看成是经过先选1名上日班，再选1名上晚班这两个步骤完成，先选1名上日班，共有3种选法；,上日班的工人选定后，上晚班的工人有2种选法。根据分步计数原理，所求的不同的选法数是,N=32=6,答：有6种不同的选法。,10.1 分类计数原理与分步计数原理(1),解题回顾： 分类计数原理与分步计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题。区别在于：分类计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步计数原理针对的是“分步”问题，各步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事。,10.1 分类计数原理与分步计数原理(1),