第2讲　概率 随机变量及其分布列

二 轮 数 学第 2讲 概 率 、 随 机 变 量 及 其 分 布 列 二 轮 数 学 考 向 分 析核 心 整 合热 点 精 讲阅 卷 评 析 二 轮 数 学 考 向 分 析考 情 纵 览 年 份考 点 2011 2012 2013 2014 2015 古 典 概 型 与 几 何概 型 4 14 5互 斥 事 件 、 相 互 独 立 事 件 和 独 立重 复 试 验 15 19(1) 4 18(2)条 件 概 率 19(1) 5离 散 型 随 机 变 量的 分 布 列 、 均 值 、方 差 19(2) 18 19(2) 19(3) 18 二 轮 数 学真 题 导 航 D 二 轮 数 学2.(2015新 课 标 全 国 卷 ,理 4)投 篮 测 试 中 ,每 人 投 3次 ,至 少 投 中 2次 才 能通 过 测 试 .已 知 某 同 学 每 次 投 篮 投 中 的 概 率 为 0.6,且 各 次 投 篮 是 否 投 中 相互 独 立 ,则 该 同 学 通 过 测 试 的 概 率 为 ( )(A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312A 二 轮 数 学 A 二 轮 数 学 二 轮 数 学 二 轮 数 学 二 轮 数 学 二 轮 数 学 二 轮 数 学 二 轮 数 学 二 轮 数 学备 考 指 要1.怎 么 考(1)几 何 概 型 很 少 考 查 ;古 典 概 型 可 以 单 独 考 查 也 可 以 与 计 数 原 理 、 统 计 等知 识 交 汇 考 查 .(2)条 件 概 率 ,正 态 分 布 ,互 斥 、 对 立 事 件 的 概 率 ,相 互 独 立 事 件 的 概 率 以 及独 立 重 复 试 验 .可 能 出 现 在 客 观 题 中 单 独 考 查 ,也 可 能 在 解 答 题 中 与 其 他 知识 、 综 合 考 查 ,难 度 不 大 .(3)以 实 际 问 题 为 背 景 ,多 与 统 计 结 合 考 查 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列 、 均 值 、方 差 ;多 以 解 答 题 形 式 呈 现 .2.怎 么 办 注 重 基 础 知 识 、 基 本 思 想 、 基 本 能 力 的 复 习 是 关 键 ,是 解 决 综 合 性 题 目 的基 础 .在 复 习 的 过 程 中 一 定 要 注 重 思 想 方 法 的 应 用 和 能 力 的 培 养 ,注 重 阅 读能 力 以 及 从 题 目 中 提 取 信 息 的 能 力 的 培 养 . 二 轮 数 学 核 心 整 合1.随 机 事 件 的 概 率(1)随 机 事 件 的 概 率 范 围 :0 P(A) 1;必 然 事 件 的 概 率 为 1;不 可 能 事 件的 概 率 为 0. 二 轮 数 学2.互 斥 事 件 与 对 立 事 件(1)对 立 事 件 是 互 斥 事 件 ,互 斥 事 件 未 必 是 对 立 事 件 ; 4.相 互 独 立 事 件 同 时 发 生 的 概 率 :若 A,B为 相 互 独 立 事 件 ,则P(AB)=P(A)P(B). 二 轮 数 学 二 轮 数 学 二 轮 数 学 a.曲 线 位 于 x轴 ,与 x轴 不 相 交 ;b.曲 线 是 单 峰 的 ,它 关 于 直 线 对 称 ;上 方 x= 二 轮 数 学 1 越 小 越 大 二 轮 数 学(2)正 态 分 布 的 三 个 常 用 数 据P( - X + )= ;P( -2 X +2 )= ;P( -3 X +3 )= .0.68260.95440.9974 二 轮 数 学温 馨 提 示 (1)事 件 互 斥 与 事 件 相 互 独 立 的 区 别事 件 互 斥 是 指 在 一 次 试 验 中 ,两 个 事 件 或 多 个 事 件 不 可 能 同 时 发 生 ,而 事件 的 相 互 独 立 不 要 求 事 件 是 在 一 次 试 验 中 ,只 要 它 们 互 不 影 响 就 可 以 称为 相 互 独 立 .(2)独 立 重 复 试 验 的 条 件 .满 足 独 立 重 复 试 验 的 条 件 有 两 个 ,一 是 每 一 次 试 验 的 结 果 只 有 两 个 ,二 是在 相 同 条 件 下 ,试 验 可 以 重 复 .(3)正 态 分 布 的 计 算 主 要 是 通 过 3 原 则 以 及 正 态 曲 线 的 性 质 :曲 线 关 于x= 对 称 进 行 计 算 . 二 轮 数 学 热 点 精 讲热 点 一 古 典 概 型 与 几 何 概 型 二 轮 数 学 二 轮 数 学方 法 技 巧 (1) 有 关 古 典 概 型 的 概 率 问 题 ,关 键 是 正 确 求 出 基 本 事 件 总 数和 所 求 事 件 包 含 的 基 本 事 件 总 数 ,此 类 问 题 经 常 用 到 排 列 、 组 合 的 有 关 知识 ; 对 于 较 复 杂 的 题 目 要 注 意 正 确 分 类 ,分 类 时 应 不 重 不 漏 .(2) 当 试 验 的 结 果 构 成 的 区 域 为 长 度 、 面 积 、 体 积 、 弧 长 、 夹 角 等 时 ,应考 虑 使 用 几 何 概 型 求 解 ; 利 用 几 何 概 型 求 概 率 时 ,关 键 是 试 验 的 全 部 结 果构 成 的 区 域 和 事 件 发 生 的 区 域 的 确 定 ,有 时 需 要 设 出 变 量 ,在 坐 标 系 中 表 示所 需 要 的 区 域 . 二 轮 数 学 二 轮 数 学 二 轮 数 学热 点 二 相 互 独 立 事 件 和 独 立 重 复 试 验 二 轮 数 学(2)求 两 人 各 射 击 4次 ,甲 恰 好 击 中 目 标 2次 且 乙 恰 好 击 中 目 标 3次 的 概 率 ; 二 轮 数 学(3)假 设 每 人 连 续 2次 未 击 中 目 标 ,则 终 止 其 射 击 .问 :乙 恰 好 射 击 5次 后 ,被终 止 射 击 的 概 率 是 多 少 ? 二 轮 数 学方 法 技 巧 求 相 互 独 立 事 件 和 独 立 重 复 试 验 的 概 率 的 注 意 点 :(1)求 复 杂 事 件 的 概 率 ,要 正 确 分 析 复 杂 事 件 的 构 成 ,看 复 杂 事 件 能 转 化 为几 个 彼 此 互 斥 的 事 件 的 和 事 件 还 是 能 转 化 为 几 个 相 互 独 立 事 件 同 时 发 生的 积 事 件 ,然 后 用 相 应 概 率 公 式 求 解 .(2)一 个 复 杂 事 件 若 正 面 情 况 比 较 多 ,反 面 情 况 比 较 少 ,则 一 般 利 用 对 立 事件 概 率 公 式 进 行 求 解 .对 于 “ 至 少 ” “ 至 多 ” 等 问 题 经 常 也 用 这 种 方 法 求解 .(3)注 意 辨 别 独 立 重 复 试 验 的 基 本 特 征 : 在 每 次 试 验 中 ,试 验 结 果 只 有 发生 与 不 发 生 两 种 情 况 ; 在 每 次 试 验 中 ,事 件 发 生 的 概 率 相 同 . 二 轮 数 学 二 轮 数 学(2)求 该 选 手 至 多 进 入 第 三 轮 考 核 的 概 率 . 二 轮 数 学热 点 三 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列 、 均 值 、 方 差 二 轮 数 学(2)记 X为 甲 、 乙 、 丙 三 名 同 学 中 参 加 B高 校 自 主 招 生 考 试 的 人 数 ,求 X的分 布 列 及 数 学 期 望 . 二 轮 数 学 二 轮 数 学方 法 技 巧 (1)求 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列 的 关 键 是 正 确 理 解 随 机 变 量取 每 一 个 值 所 表 示 的 具 体 事 件 ,然 后 综 合 应 用 各 类 求 概 率 的 公 式 求 出 概 率 .(2)求 随 机 变 量 的 期 望 的 关 键 是 正 确 求 出 随 机 变 量 的 分 布 列 ,若 随 机 变 量 服从 二 项 分 布 ,则 可 直 接 使 用 公 式 求 解 .(3)对 于 两 点 分 布 、 二 项 分 布 、 超 几 何 分 布 的 期 望 、 方 差 可 直 接 代 入 相 关公 式 求 解 ;对 于 一 般 类 型 的 随 机 事 件 的 期 望 与 方 差 需 列 出 概 率 分 布 列 ,用 期望 、 方 差 公 式 求 解 . 二 轮 数 学 二 轮 数 学 二 轮 数 学(2)求 这 50名 考 生 成 绩 在 22,30内 的 人 数 ;解 ： (2)由 题 频 率 分 布 直 方 图 知 ,后 两 组 频 率 为 (0.03+0.02) 4=0.2,人 数 为 0.2 50=10,即 该 校 这 50名 考 生 听 力 成 绩 在 22,30内 的 人 数 为10. 二 轮 数 学 二 轮 数 学 二 轮 数 学备 选 例 题【 例 1】 (2015山 东 卷 )若 n是 一 个 三 位 正 整 数 ,且 n的 个 位 数 字 大 于 十 位 数 字 ,十 位 数 字 大 于 百 位 数 字 ,则 称 n为 “ 三 位 递 增 数 ” (如 137,359,567等 ).在 某 次 数 学 趣 味 活 动 中 ,每 位 参 加 者 需 从 所 有 的 “ 三 位 递 增 数 ” 中 随 机 抽 取1个 数 ,且 只 能 抽 取 一 次 .得 分 规 则 如 下 :若 抽 取 的 “ 三 位 递 增 数 ” 的 三 个 数字 之 积 不 能 被 5整 除 ,参 加 者 得 0分 ;若 能 被 5整 除 ,但 不 能 被 10整 除 ,得 -1分 ;若 能 被 10整 除 ,得 1分 .(1)写 出 所 有 个 位 数 字 是 5的 “ 三 位 递 增 数 ” ; 二 轮 数 学(2)若 甲 参 加 活 动 ,求 甲 得 分 X的 分 布 列 和 数 学 期 望 E(X). 二 轮 数 学 解 : (1)根 据 投 篮 统 计 数 据 ,在 10场 比 赛 中 ,李 明 投 篮 命 中 率 超 过 0.6的 场 次有 5场 ,分 别 是 主 场 2,主 场 3,主 场 5,客 场 2,客 场 4.所 以 在 随 机 选 择 的 一 场 比 赛 中 ,李 明 的 投 篮 命 中 率 超 过 0.6的 概 率 是 0.5. 二 轮 数 学 二 轮 数 学 二 轮 数 学 阅 卷 评 析 二 轮 数 学 二 轮 数 学 二 轮 数 学 二 轮 数 学【 答 题 启 示 】1.要 理 解 正 态 分 布 中 的 两 个 重 要 参 数 , 的 含 义 ,根 据 具 体 题 目 能 确 定 它们 的 值 ,确 定 三 个 区 间 (范 围 ):( - , + ,( -2 , +2 ,( -3 , +3 与 已 知 概 率 值 的 关 系 ,充 分 利 用 密 度 曲 线 的 对 称 性 解 决 问 题 .2.熟 悉 常 见 特 殊 分 布 列 ,记 忆 它 们 的 期 望 与 方 差 ,简 化 解 题 过 程 如 本 题 (2)问 题 中 . 二 轮 数 学点 击 进 入 专 题 组 合 练