【第一方案】高三数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明第七节 数学归纳法课件 （理）

第七节数学归纳法(理) 点 击 考 纲1.了 解 数 学 归 纳 法 的 原 理 2.能 用 数 学 归 纳 法 证 明 一 些 简 单 的 数 学 命 题 . 关 注 热 点1.利 用 数 学 归 纳 法 证 明 简 单 数 学 命 题 是 本 节 重点 ， 其 中 归 纳 猜 想 证 明 这 一 类 型 仍 是 高 考的 热 点 2.常 与 函 数 、 不 等 式 、 数 列 等 知 识 结 合 ， 在 知识 交 汇 处 命 题 . 1数学归纳法证 明 一 个 与 正 整 数 n有 关 的 命 题 ， 可 按 下 列 步骤 ： (1)(归 纳 奠 基 )证 明 当 n取 第 一 个 值 n0(n0 N*)时命 题 成 立 ；(2)(归 纳 递 推 )假 设 n k(kn0， k N*)时 命 题 成立 ， 证 明 当 时 命 题 也 成 立 只 要 完 成 这 两 个 步 骤 ， 就 可 以 断 定 命 题 对 从n0开 始 的 所 有 正 整 数 n都 成 立 n k 1 2数学归纳法的框图表示 1 第 一 个 值 n0是 否 一 定 为 1呢 ？提示：不一定，要看题目中n的要求，如当n3时，则第一个值n0应该为3.2 数 学 归 纳 法 的 两 个 步 骤 有 何 关 系 ？提示：数学归纳法中两个步骤体现了递推思想，第一步是递推基础，也叫归纳奠基，第二步是递推的依据，也叫归纳递推两者缺一不可另外，在第二步中证明nk1时命题成立，必须利用归纳假设，否则就不是数学归纳法 解析：因为n3，所以，第一步应检验n3.答案：C 解析：因为当n1时，an1a2，所以验证n1时，等式左端计算所得的项是1aa2.答案：C 答案：B 5 记 凸 k边 形 的 内 角 和 为 f(k)， 则 凸 k 1边 形的 内 角 和 f(k 1) f(k) _.解析：由凸k边形变为凸k1边形时，增加了一个三角形，故f(k1)f(k).答案： 【思路导引】按照数学归纳法的步骤进行 【方法探究】(1)用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少(2)由nk到nk1时，除等式两边变化的项外还要充分利用nk时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明提醒：第一，不要忘记归纳假设；第二，归纳假设后，可利用分析法和综合法 1 是 否 存 在 常 数 a， b， c使 等 式 1(n2 12)2(n2 22) n(n2 n2) an4 bn2 c对 一 切正 整 数 n成 立 ？ 并 证 明 你 的 结 论 已 知 数 列 an满 足 a1 0， a2 1， 当 n N*时 ， an 2 an 1 an.求 证 ： 数 列 an的 第 4m 1项(m N*)能 被 3整 除 【思路导引】本题若从递推式入手，设法求出通项公式，会相当困难，这时，可转向用数学归纳法证明【证明】(1)当m1时，a4m1a5a4a3(a3a2)(a2a1)(a2a1)2a2a13a22a1303.即当m1时，第4m1项能被3整除故命题成立 (2)假设当mk(k1，k N*)时，a4k1能被3整除，则当mk1时，a4(k1)1a4k5a4k4a4k32a4k3a4k22(a4k2a4k1)a4k23a4k22a4k1.显然，3a4k2能被3整除，又由假设知a4k1能被3整除 3a4k22a4k1能被3整除即当mk1时，a4(k1)1也能被3整除，命题也成立由(1)和(2)知，对于n N*，数列a n中的第4m1项能被3整除 【方法探究】用数学归纳法证明整除问题，由k过渡到k1时常使用“配凑法” 在证明nk1成立时，先将nk1时的原式进行分拆、重组或者添加项等方式进行整理，最终将其变成一个或多个部分的和，其中每个部分都能被约定的数(或式子)整除，从而由部分的整除性得出整体的整除性，最终证得nk1时也成立 2 试 证 当 n为 正 整 数 时 ， f(n) 32n 2 8n 9能 被 64整 除 解析：首先在命题f(k1)中分析出含有命题f(k)的表达式作为第一项，为了使两边恒等，用多减少加的方法把f(k1)中的其余项拆为第二项，而第二项也含有命题的性质 法一：(1)当n1时，f(1)348964，命题显然成立(2)假设当nk(k1，k N*)时，f(k)32k28k9能被64整除由于32(k1)28(k1)99(32k28k9)98k998(k1)99(32k28k9)64(k1)即f(k1)9f(k)64(k1) nk1时命题也成立根据(1)(2)可知，对任意的n N *，命题都成立 法二：(1)当n1时，f(1)348964，命题显然成立(2)假设当nk(k1，k N*)时，f(k)32k28k9能被64整除由归纳假设，设32k28k964m(m为大于或等于1的自然数)，将32k264m8k9代入到f(k1)中得f(k1)9(64m8k9)8(k1)964(9mk1)， nk1时命题成立根据(1)(2)可知，对任意的n N *，命题都成立. 【方法探究】“归纳猜想证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用其关键是归纳、猜想出公式 猜想f(n)n(n2)下面用数学归纳法证明：当n2时，等式S1S2Sn1n(Sn1)恒成立当n2时，由上面计算知，等式成立假设nk(k2)时，等式成立，即 (2009山东高考12分)等 比 数 列 an的 前 n项 和 为 Sn，已 知 对 任 意 的 n N*， 点 (n， Sn)均 在 函 数 y bxr(b0且 b1， b， r均 为 常 数 )的 图 象 上 (1)求 r的 值 ；(2)当 b 2时 ， 记 bn 2(log2an 1)(n N*)， 【评价探究】用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明提醒：用数学归纳法证明不等式的关键是由nk时成立得nk1时成立，主要方法有：放缩法；利用基本不等式法；作差比较法等 【考向分析】从 近 两 年 的 高 考 试 题 来 看 ，用 数 学 归 纳 法 证 明 与 正 整 数 有 关 的 不 等 式 以 及与 数 列 有 关 的 命 题 是 高 考 的 热 点 ， 题 型 为 解 答题 ， 主 要 考 查 用 数 学 归 纳 法 证 明 数 学 命 题 的 能力 ， 同 时 考 查 学 生 分 析 问 题 、 解 决 问 题 的 能 力 ，难 度 为 中 高 档 预 计 2012年 高 考 可 能 会 以 数 列 、 有 关 的 等 式或 不 等 式 的 证 明 为 主 要 考 点 ， 重 点 考 查 学 生 运用 数 学 归 纳 法 解 决 问 题 的 能 力 解析：可代入验证n4时，左边30，右边28，左边右边，n5时，左边55，右边47，左边右边，故选B.答案：B 2 (2010西安模拟)某 个 命 题 与 正 整 数 n有 关 ，若 n k(k N*)时 该 命 题 成 立 ， 那 么 可 推 得 当 n k 1时 该 命 题 也 成 立 ， 现 已 知 当 n 5时 该 命题 不 成 立 ， 那 么 可 推 得 ( )A 当 n 6时 该 命 题 不 成 立B 当 n 6时 该 命 题 成 立C 当 n 4时 该 命 题 不 成 立D 当 n 4时 该 命 题 成 立 解析：如果n4时命题成立，那么由题设，n5时命题也成立上面的判断作为一个命题，那么它的逆否命题是：如果n5时命题不成立，那么n4时命题也不成立原命题成立，它的逆否命题一定成立答案：C 3 用 数 学 归 纳 法 证 明 “ 1 2 22 2n 1 2n 1(n N*)” 的 过 程 中 ， 第 二 步 假 设 n k时 等 式 成 立 ， 则 当 n k 1时 应 得 到 ( )A 1 2 22 2k 2 2k 1 2k 1 1B 1 2 22 2k 2k 1 2k 1 2k 1C 1 2 22 2k 1 2k 1 2k 1 1D 1 2 22 2k 1 2k 2k 1 2k 解析：当nk时，等式为12222k12k1.那么当nk1时，左边12222k12k，因此只需在归纳假设两端同时添加2k，即12222k12k2k12k.答案：D 4 下 列 代 数 式 (其 中 k N*)能 被 9整 除 的 是 ( )A 6 67k B 2 7k 1C 2(2 7k 1) D 3(2 7k)解析：(1)当k1时，显然只有3(27k)能被9整除(2)假设当kn(n N*)时，命题成立，即3(27n)能被9整除，那么3(27n1)21(27n)36.这就是说，kn1时命题也成立由(1)(2)可知，命题对任何k N*都成立答案：D 答案：A