17量子力学简介

P.,23,/42,第十七章 量子力学简介,第 十七 章 量子力学简介,1. 玻尔量子理论的缺陷,17.1 .1 微观粒子的波粒二象性,17.1 微观粒子的波粒二象性和不确定关系,第17章,量子力学简介,玻尔量子理论成功地解释了原子的,稳定性,、,大小,及氢原子,光谱的规律性,.为人们认识微观世界和建立近代量子理论打下了基础.,玻尔理论是经典与量子的混合物，它保留了经典的确定性轨道，另一方面又假定量子化条件来限制电子的运动.它不能解释稍微复杂的问题，,正是这些困难，迎来了物理学的大革命,.,Louis de Broglie,1892-1987,The Nobel Prize in Physics 1929,注意：实物粒子的波动既不是机械波也不是电磁波，它被称为“,物质波,”,(matter wave),或“,德布罗意波,”,(de Broglie wave),.,2. 微观粒子的波粒二象性,德布罗意假设：不仅光具有波粒二象性，一切实物粒子如电子、原子、分子等也都具有,波粒二象性,.,德布罗意波波长的数量级,地球:,子弹:,宏观物质的德波罗意波长,均太小，难以观察其波动特性.,电子:,质量,m,0,= 9.1,10,-31,kg ，加速电压为,U,U,= 150 V,= 1 ,U,= 10000 V,=0.122 ,(a) 1927年Davisson和Germer以电子射线代替,x,射线进行了镍单晶体的衍射实验.,3. 物质波的实验证明,Clinton Joseph Davisson,1881-1958,The Nobel Prize in Physics 1937,Lester Halbert Germer,18961971,电子在晶体中衍射实验示意图,电子束,金箔,屏,电子枪,(b) Thomson的电子衍射实验,The Nobel Prize in Physics 1937,George Paget Thomson,1892-1975,(c) 电子双缝干涉实验图样,由于微观粒子具有波粒二象性，用经典概念(坐标、动量、能量、轨道等)描述其状态会受到限制.,17.1.2 不确定关系,(uncertainty relation),电子一个一个地通过单缝,长时间积累后也出现衍射图样,其中,x,为缝宽,p,为粒子的动量.,p,x,x,以衍射极小值的位置进行估算：,或,p,x,x,由单缝衍射公式:,粒子动量在,x,方向的分量,p,x,不再为零，而存在一个分布.,严格推导可以证明：在平均意义上,海森伯不确定关系,继续分析可得,结论：,对于微观粒子，,不能同时,用确定的位置和动量来描述.,The Nobel Prize in Physics 1932,W. Heisenberg,(1901-1976),1) 不确定关系是微观粒子波粒二象性的必然结果.,2) 不确定性不是实验误差，而是量子系统的内禀性质。它通过与实验装置的相互作用而表现出来.,3) 不能同时准确确定位置和动量.,4) 作用量子,h,给出了宏观与微观的界限.,例.,试比较电子和质量为10 g的子弹位置的不确定量，假设它们在,x,方向都以速度200 m/s运动，速度的不确定度在0.01%内.,电子:,解：,子弹:,17.2.1 概率波,1. 波包说：,认为粒子实为波包.,17.2 波函数的统计解释,3. 概率波,(probability wave),1926年Born提出粒子在空间位置出现的概率具有波动性的分布概率波.,电子束,金箔,屏,电子枪,问题:,不同波长的波在媒质中的群速度不同，波包在传播中会扩散，使粒子“发胖”；,波包在媒质界面上要反射和折射,.,波包说夸大了波动性一面，抹杀了粒子性一面.,2. 疏密波说：,认为波动是大量粒子分布在空间的一种疏密分布.,疏密波说夸大了粒子性一面，抹杀了波动性一面.,电子衍射,类 比,I,大处 到达光子数多,I,小处 到达光子数少,I,= 0 无光子到达,电子到达该处概率大,电子到达该处概率为零,电子到达该处概率小,光栅衍射,4. 波函数,(wave function),时刻,t,粒子出现在 附近d,V,体积内的概率为：,波函数必须满足的条件:,粒子在整个空间出现的概率为1.,归一化条件,(normalizing condition),标准条件,单值性、连续性、有限性,结论：,波函数在某一点的强度和该点找到电子的概率成正比，它是大量粒子形成总分布的一种统计规律.波函数乃是,概率波,.,玻恩对波函数的统计解释：,波函数模的平方 代表时刻,t,，在 处,粒子出现的概率密度,(probability density),。,单色平面简谐波波动方程为：,用复指数形式表示：,一维方向运动的自由粒子的波函数：,（ x）只与坐标有关而与时间无关，称为振幅函数，通常也称为波函数,波函数不仅把粒子与波统一起来，同时以概率波(概率密度波)的形式描述粒子的运动状态.,17.2.2 态叠加原理,(principle of,superposition of states)：,为了理解态叠加原理的深刻含义，用电子的双缝干涉实验的结果来进行分析:,任一点出现的概率密度:,干涉项,Erwin Schrdinger,，,奥地利理论物理学家.在德布罗意物质波思想的基础上，引入波函数来描述微观客体，提出了薛定谔方程,(Schrdinger equation),作为量子力学的又一个基本假设来描述微观粒子的运动规律，并建立了微扰的量子理论量子力学的近似方法.他是量子力学的创始人之一.,17.3 薛定谔方程,The Nobel Prize in Physics 1933,Erwin Schrdinger,18871961,一、薛定谔方程的引入,1.一维自由粒子的波函数：,一维,自由粒子的薛定谔方程,2.一维粒子在外保守力场中运动时具有势能,V,3. 非自由粒子在三维空间中运动,引入,拉普拉斯算符,定义哈密顿算符,薛定谔方程,4. 多粒子体系的薛定谔方程,二、定态 不含时间的薛定谔方程,在薛定谔方程中，,V,通常也是时间的函数.现考虑,V,不显含时间的情况：,可令粒子的波函数为：,分离变量可得,要使该式恒成立，左右两边必须同等一个常数,E,.,薛定谔方程的解为,定态薛定谔方程,(stationary Schrdinger equation), 定态波函数,(stationary wave function),k,为积分常数,定态波函数描述的粒子具有的性质：,空间各处的几率密度不随时间变化,.,2) 一切力学量(不含时间,t,)的平均值不变.,定态,(stationary state),：,能量不随时间变化的状态.,2),方程的每一个解必有一个相应的能量,E,;,E,值称为体系的,能量本征值,（energy eigenvalue）;,相应于每个,E,值的解,也被称为,能量本征函数,（energy eigenfunction）;,定态Schrdinger方程的讨论：,1),Schrdinger,方程是描述微观粒子运动的基本方程，若 是方程的一个解，则 就对应一个粒子运动的稳定态；,3),波函数的单值、有限、连续的要求，能量,E,只能取某些分立值,能级或能带,;,4),Schrdinger,方程的,局限性,：,未反映电子自旋；,未满足相对论要求(相对论量子力学)；,未考虑粒子的产生和湮灭(量子场论).,17.4.1一维无限深方势阱,(Infinite potential well),问题,1. 势函数,2. 定态薛定谔方程,17.4 一维定态问题,(1)阱内：,令:,(2)阱外：,(3),分区求通解,阱内：,阱外：波函数的有界性,C,和,D,是待定常数,o,a,x,V,(x),(4) 由波函数自然条件和边界条件 定特解,1,0,可得能量的可能值为：,E,n,称为能量的本征值,显然：,* 能量取分立值(能级),能量量子化,(quantization),；,* 最,低能量：基态能量,* 当,n, ,时，量子化 连续；,令,n=,1,0,* 相邻两能级间隔,n,增大，相邻两能级间隔增大；,a,增大,(,宏观尺度,),则 ，,能量连续变化,经典情况；反之，出现量子尺寸效应。,2,0,与各能级相对应的波函数,本征函数,(eigenfunction),系,由归一化条件：,一维无限深势阱的能量本征函数,n, 0,，否则,0,；,主量子数,n,，,代表同一状态，取正值；,一个,n,对应一个波函数,n,，即对于粒子的一个可能态,一个“轨道”,.,3,0,概率密度,当,n, ,时，量子 经典,在坐标,x,处找到粒子的概率密度,在,x,1,x,2,区间内找到粒子的概率,