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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一般地，对于,n,N*,有,二项定理,:,二项展开式中的二项式系数指的是哪些？共有多少个？,下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过,杨辉三角,观察,n,为特殊值时，二项式系数有什么特点？,45,(,a,+,b,),1,(,a,+,b,),2,(,a,+,b,),3,(,a,+,b,),4,(,a,+,b,),5,(,a,+,b,),6,1,）请看系数有没有明显的规律？,2,）上下两行有什么关系吗？,3,）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗,?,每行两端都是,1 C,n,0,= C,n,n,=1,从第二行起，每行除,1,以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和,(,a,+,b,),1,(,a,+,b,),2,(,a,+,b,),3,(,a,+,b,),4,(,a,+,b,),5,(,a,+,b,),6,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,展开式的二项式系数依次是：,从函数角度看， 可看成是以,r,为自变量的函数,其定义域是：,当 时，其图象是右图中的,7,个孤立点,（,1,）对称性,与首末两端,“,等距离,”,的两个二项式系数相等,这一性质可直接由公式,得到,图象的对称轴,：,（,2,）增减性与最大值,由于,：,所以 相对于 的增减情况由 决定,由,：,可知，当 时，,二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。,因此，,当,n,为偶数时,，中间一项的二项式,系数,取得最大值；,当,n,为奇数时,，中间两项的二项式系数 、,相等，且同时取得最大值。,（,2,）增减性与最大值,（,3,）各二项式系数的和,在二项式定理中，令 ，则：,这就是说，,的展开式的各二项式系数的和等于,：,（,1,）,一般地， 展开式的二项式系数,有如下基本性质：,（,2,）,（,4,）,（,3,）,当,n,为偶数时， 最大,当,n,为奇数时，,=,且最大,（对称性）,第,0,行,1,第,1,行,1 1,第,2,行,1 2 1,第,3,行,1 3 3 1,第,4,行,1 4 6 1,第,5,行,1 5 1,第,6,行,1 6 15 6 1,第,n-1,行,1,1,第,n,行,1,1, , ,第,7,行,1 7 21 21 7 1,10,35,+,+,+,+,=,35,5,15,20,10,4,“,斜线和,”,=,1,2,5,第,5,行,1 5 10 10 5 1,第,6,行,1 6 15 20 15 6 1,第,7,行,1 7 21 35 35 21 7 1,第,1,行,1 1,第,0,行,1,第,2,行,1 2 1,第,3,行,1 3 3 1,第,4,行,1 4 6 4 1,1,3,8,13,21,34,如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？,第,8,行,1 8 28 56 70 56 28 8 1,从第三个数起，任一数都等于前两个数的和，,这就是著名的,斐波那契数列,，也称为兔子数列。,斐波那契,数,列,斐波那契,（,1170,1250）,意大利商人兼,数学,家,他,的,著作算,盘书,中,首先引入阿拉伯,数,字，,将,“,十,进制,”,介,绍给欧,洲人,认识,，,对欧,洲的,数学发展,有深,远,的影,响,。,例,1,证明：在,(a+b),n,展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。,在二项式定理中，令 ，则：,已知,求,:(1),；,(2),；,(3),;,(4),解,题型,:,求展开式中的特定项,例,2.,试判断在 的展开式中有无常数项？ 如果有，求出此常数项；如果没有，说明理由,.,解：设展开式中的第,r+1,项为常数项，则：,由题意可知，,故存在常数项且为第,7,项，,常数项,常数项即,x,0,项,练习：,0k12, kZ,当,k=0,、,6,时，,x,的幂为正整数,含,x,的正整数次幂的项共有,2,项,的展开式中，含,x,的正整数次幂的项,共有多少项？,例,4:,求,(x+2),10,（,x,2,-1,）展开式中含,x,10,项的系数为,.,179,变式：求,(1+x+x,2,)(1-x),10,展开式中含,x,项的系数,.,求两个,(,多个,),二项式乘积的展开式的特定项方法：,（,1,）先化简，化成一个二项式的展开式,;,（,2,）分析两个（多个）二项式的通项的字母的指数,利用找,伙伴,的方式解决,.,例,3,：求 展开式中的常数项,.,类型：求展开式中系数最大的项,方法,:,利用通项公式建立不等式组,变式练习：,在,(3,x,-,2,y,),20,的展开式中，求：,(1),二项式系数最大的项,;(2),系数绝对值最大的项,.,解,:(2),设系数绝对值最大的项是第,r+1,项,.,则,即,3(r+1)2(20-r),解得,2(21-,r,)3r,所以当,r=8,时，系数绝对值最大的项为,(1),二项式系数的三个性质,(2),数学思想：函数思想,a,单调性；,b,图象；,c,最值,.,小 结,
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