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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,2,讲,图形的相似,1.,了解比例的性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、,艺术上的实例了解黄金分割,.,2.,通过具体实例认识图形的相似，了解相似多边形和相似,比,.,3.,掌握两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比,例,.,4.,了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比,等于相似比；面积比等于相似比的平方,.,5.,了解两个三角形相似的判定定理：两角分别相等的两个,三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边,对应成比例的两个三角形相似,.,6.,了解图形的位似，知道利用位似将一个图形放大或缩小,.,7.,会用图形的相似解决一些简单的实际问题,.,ad,bc,(,续表,),(,续表,),相似比,相似比的平方,相似比,(,续表,),相似三角形的判定与性质,例,1,：,(2015,年四川凉山州,),如图,5-2-1,，,O,的半径为,5,，,点,P,在,O,外，,PB,交,O,于,A,，,B,两点，,PC,交,O,于,D,，,C,两点,.,(1),求证：,PA,PB,PD,PC,；,求点,O,到,PC,的距离,.,图,5-2-1,思路分析,(1),先连接,AD,，,BC,，由圆内接四边形的性质，,可,知：,PAD,PCB,，,PDA,PBC,，故可得出,PAD,PCB,，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论,.,(2),由,PA,PB,PD,PC,，求出,CD,，根据垂径定理，可得点,O,到,PC,的距离,.,(1),证明：,连接,AD,，,BC,.,四边形,ABCD,内接于,O,，,PAD,PCB,，,PDA,PBC,.,(2),解：,连接,OD,，作,OE,DC,，垂足为,E,(,如图,5-2-2).,图,5-2-2,解得,DC,8,或,DC,11(,舍去,).,DE,4.,OD,5,，,OE,3,，即点,O,到,PC,的距离为,3.,【试题精选】,图,5-2-3,答案：,D,1.,(2015,年甘肃酒泉,),如图,523,，,D,，,E,分别是,ABC,的边,AB,，,BC,上的点，,DE,AC,，若,S,BDE,S,CDE,1,3,，则,S,DOE,S,AOC,的值为,(,),2.(2015,年山东淄博,),如图,5-2-,4,，在,ABC,中，点,P,是,BC,边上任意一点,(,点,P,与点,B,，,C,不重合,),，平行四边形,AFPE,的,顶点,F,，,E,分别在,AB,，,AC,上,.,已知,BC,2,，,S,ABC,1.,设,BP,x,，,平行四边形,AFPE,的面积为,y,.,(1),求,y,与,x,的函数关系式；,(2),上述函数有最大值或最小值吗？若有，则当,x,取何值时，,y,有这样的值，并求出该值；若没有，请说明理由,.,图,5-2-4,解：,(1),四边形,AFPE,是平行四边形，,PF,CA,.,解题技巧,(1),相似的判定方,法可类比全等三角形的判定方,法，找对应边,(,角,),时应遵循一定的对应原则，如长,(,大,),对长,(,大,),，,短,(,小,),对短,(,小,),，或找相等的边,(,角,),帮助确定,.(2),利用相似三角形,的性质可以证明有关线段成比例、角相,等，也可计算三角形中,边的长度或角的大小,.,关键要注意相似三角形的对应边的确认,及性质的综合运用，尤其是在运用相似图形的面积比等于相似,比的平方时，不要漏了,“,平方,”,.,相似三角形的综合应用,例,2,：,(20,15,年陕西,),晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，,小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞,.,小聪思考片刻，提,议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高,.,于是，两,人在灯下沿直线,NQ,移动，如图,5-2-5,，当小聪正好站在广场的,A,点,(,距,N,点,5,块地砖长,),时，其影长,AD,恰好为,1,块地砖长；当,小军正好站在广场的,B,点,(,距,N,点,9,块地砖长,),时，其影长,BF,恰好为,2,块地砖长,.,已知广场地面由边长为,0.8,米的正方形地砖,铺成，小聪的身高,AC,为,1.6,米，,MN,NQ,，,AC,NQ,，,BE,NQ,.,请你根据以上信息，求出小军身高,BE,的长,.(,结果精确到,0.01,米,),图,5-2-5,思路分析,先证明,CAD,MND,，利用相似三角形的性,质求得,MN,9.6,，再证明,EFB,MFN,，即可解答,.,解：,由题意，得,CAD,MND,90,，,CDA,MDN,.,MN,9.6,.,又,EBF,MNF,90,，,EFB,MFN,，,EB,1.75.,小军身高约为,1.75,米,.,思想方法,运用相似三角形解决实,际,问题时，关键是把实,际问题转化为求证相似三角形和利用相似比求线段的长,.,【试题精选】,3.(2014,年陕西,),某天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳,帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情,况下，先在河岸边选择了一点,B,(,点,B,与河对岸岸边的一棵树的,底部点,D,所确定的直线垂直于河岸,).,小明在点,B,面向树的方,向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点,D,处，,如图,5-2-6,，这时小亮测得小明眼睛距离地面的距离,AB,1.7,米；,小明站在原地转动,180,后蹲下，并保持原来的观察姿态,(,除,身体重心下移外，其他姿态均不变,),，这时视线通过帽檐落在了,DB,延长线上的点,E,处，此时小亮测得,BE,9.6,米，小明的眼,睛距地面的距离,CB,1.2,米,.,根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽,BD,是多少,米？,图,5-2-6,解：,由题意知，,BAD,BCE,.,ABD,ABE,90,，,BAD,BCE,.,河流的宽,BD,是,13.6,米,.,图形的位似,4.(2015,年湖北十堰,),在平面直角坐标系中，已知点,A,(,4,2),，,),则点,A,的对应点,A,的坐标是,(,A.(,2,1),B.(,8,4),C.(,8,4),或,(8,，,4),D.(,2,1),或,(2,，,1),答案：,D,5.(2015,年福建漳州,),如图,5-2-,7,，在,1010,的正方形网格中，,点,A,，,B,，,C,，,D,均在格点上，以点,A,为位似中心画四边形,AB,C,D,，使它与四边形,ABCD,位似，且相似比为,2.,(1),在图中画出四边形,AB,C,D,；,(2),填空：,AC,D,是,_,三角形,.,图,5-2-7,解：,(1),如图,D71.,图,D71,(2),等腰直角,AC,2,4,2,8,2,16,64,80,，,AD,2,6,2,2,2,36,4,40,，,C,D,2,6,2,2,2,36,4,40,，,AD,C,D,，,AD,2,C,D,2,AC,2,.,AC,D,是等腰直角三角形,.,易错陷阱,在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点,为位似中心，相似比为,k,，那么位似图形对应点的坐标比等于,k,，即几何图形的位似图形可能有两个,.,解题技巧,画位似图形的一般步骤为：,确定位似中心；,分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；,根据相,似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；,顺次连接上述,各点，得到放大或缩小的图形,.,名师点评,位似图形一,定是相似图形，但相似图形不一定,是位似图形，位似图形是相似图形的特例,.,位似图形的性质也就,是相似图形的性质：相似图形的对应边、对应高、对应周长比,都等于相似比，而面积的比等于相似比的平方,.,到的图形是,(,),图,5-2-8,A.,B.,C.,D.,答案：,A,2.(2015,年广东,),若两个相似三角形的周长比为,23,，则它,们的面积比是,_.,答案：,49,3.(2013,年广东,),如图,5-2-,9,，在矩形,ABCD,中，以对角线,BD,为一边构造另一个矩形,BDEF,，使得另一边,EF,过原矩形的顶点,C,.,(1),设,Rt,CBD,的面积为,S,1,，,Rt,BFC,的面积为,S,2,，,Rt,DCE,的面积为,S,3,，则,S,1,_,S,2,S,3,；,(,用“”“”“”,填空,),(2),写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明,.,图,5-2-9,(1),(2),BCD,CFB,DEC,.,证明,BCD,DEC,.,证明：,EDC,BDC,90,，,CBD,BDC,90,，,EDC,CBD,.,又,BCD,DEC,90,，,BCD,DEC,.,4.(2014,年广东,),如图,5-2-,10,，在,ABC,中，,AB,AC,，,AD,BC,于点,D,，,BC,10 cm,，,AD,8 cm.,点,P,从点,B,出发，在线,段,BC,上以每秒,3 cm,的速度向点,C,匀速运动，与此同时，垂直,于,AD,的直线,m,从底边,BC,出发，以每秒,2 cm,的速度沿,DA,方,向匀速平移，分别交,AB,，,AC,，,AD,于,E,，,F,，,H,，当点,P,到达点,C,时，点,P,与直线,m,同时停止运动，设运动时间为,t,秒,(,t,0).,(1),当,t,2,时，连接,DE,，,DF,，求证：四边形,AEDF,为菱形；,(2),在整个运动过程中，所形成的,PEF,的面积存在最大值，,当,PEF,的面积最大时，求线段,BP,的长；,(3),是否存在某一时刻,t,，使,PEF,为直角三角形？若存在，,请求出此时刻,t,的值；若不存在，请说明理由,.,图,5-2-10,(1),证明：,当,t,2,时，,DH,AH,4,，则,H,为,AD,的中点，,如图,D72.,图,D72,又,EF,AD,，,EF,为,AD,的垂直平分线,.,AE,DE,，,AF,DF,.,AB,AC,，,AD,BC,于点,D,，,AD,BC,，,B,C,.,EF,BC,.,AEF,B,，,AFE,C,.,AEF,AFE,.,AE,AF,.,AE,AF,DE,DF,，即四边形,AEDF,为菱形,.,(2),解：,如图,D73,，由,(1),知，,EF,BC,，,AEF,ABC,.,图,D73,当,t,2,秒时，,S,PEF,存在最大值，最大值为,10 cm,2,，此,时,BP,3,t,6 cm.,(3),解：,存在,.,理由如下：,若点,E,为直角顶点，如答图,D74,，,此时,PE,AD,，,PE,DH,2,t,，,BP,3,t,.,此种情形不存在；,图,D74,若点,F,为直角顶点，如答图,D75,，,此时,PF,AD,，,PF,DH,2,t,，,BP,3,t,，,CP,10,3,t,.,图,D75,若点,P,为直角顶点，如答图,D76.,图,D76,过点,E,作,EM,BC,于点,M,，过点,F,作,FN,BC,于点,N,，则,EM,FN,DH,2,t,，,EM,FN,AD,.,
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