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单击此处编辑母版标题样式,编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2022/6/23,#,类型一,展示问题解决，逐步推进，探究解题过程,专题七 实践、操作与探究,目,录,类型二,展示操作过程，在操作中探究解题过程,展示问题解决，逐步推进，探究解题过程,一,探索研究性问题往往需要仔细理解题意,问题安排由易到难,解题方法承上启下,逐步引导学生思考新的问题,大胆进行分析、推理和归纳,即从特殊到一般去探究,以特殊去探究一般,从而获得结论,有时还要用已学的知识加以论证、探究所得结论,.,操作性问题是让学生按题目要求进行操作,考查学生的动手能力、想象能力和概括能力,.,题型讲解,方法点拨,解决,这类问题,注意运用分类讨论、类比猜想、验证归纳等数学思想方法,灵活地解决问题,.,在平时的学习中,要注重操作类习题的解题训练,提高思维的开放性,培养创新能力,.,此类问题解决一般有这样的几个步骤,:,第一步,:,审清题意,找准解题的切入点,.,第二步,:,建立数学模型,运用数学知识去分析、抽象、概括所给的实际问题,揭示其数学本质,并转化为我们所熟悉的数学问题,.,第三步,:,按照所建立的数学模型,综合运用相关知识和数学思想方法解决实践操作性问题,.,解题技巧,(2020,西安模拟,),问题提出,:,如图,在,Rt,ABC,中,AB=AC,D,为边,BC,上一点,(,不与点,B,C,重合,),将线段,AD,绕点,A,逆时针旋转,90,得到,AE,连接,EC,则线段,BC,DC,EC,之间满足的等量关系式为,.,例题,1,问题探索,:,如图,在,Rt,ABC,与,Rt,ADE,中,AB=AC,AD=AE,将,ADE,绕点,A,旋转,使点,D,落在,BC,边上,试探索线段,AD,BD,CD,之间,满足的等量关系,并证明你的结论,;,问题应用,:,如图,在四边形,ABCD,中,ABC=,ACB=,ADC=,45,.,若,BD=,9,CD=,3,求,AD,的长,.,分析：,(1),易证,BAD,CAE,得,BD=CE,;,(2),连接,EC,先证,BAD,CAE,得,ACE=,ABC=,45,再根据勾股定理,在,Rt,ECD,中,ED,2,=CE,2,+DC,2,得解,;,(3),作,AE,AD,交,DC,的延长线于点,E,连接,BE,证明,DE=,AD,BE=CD,BE,CD,在,Rt,BED,中,利用勾股定理求解即可,.,解,析：,问题提出,:,DC,+,EC=BC,.,问题探索,:,线段,AD,BD,CD,之间满足的等量关系是,BD,2,+CD,2,=,2,AD,2,证明,:,如图,连接,EC,BAC=,BAD+,DAC=,90,AB=AC,ABC=,ACB=,45,.,DAE=,CAE+,DAC=,90,BAD=,CAE.,在,BAD,和,CAE,中,BAD,CAE,(SAS),BD=CE,ACE=,ABC=,45,CE,DC.,DAE=,90,AD=AE,DE=,AD,在,Rt,ECD,中,ED,2,=CE,2,+DC,2,BD,2,+CD,2,=,2,AD,2,.,问题应用,:,如图,作,AE,AD,交,DC,的延长线于点,E,连接,BE,ABC=,ACB=,ADC=,45,EAD=,90,BAC=,90,AB=AC,AE=AD,DE=,AD,同理可证,:,BE=CD,BE,CD,在,Rt,BED,中,BD,2,=BE,2,+DE,2,2,AD,2,=BD,2,-CD,2,.,BD=,9,CD=,3,2,AD,2,=,9,2,-,3,2,=,72,AD=,6,.,【,高分点拨,】,仔细阅读题目条件,简单了解问题并思考问题的解决方案,然后利用转化思想将复杂问题简单化,进而解决问题,.,当堂检测,1,问题,提出,(1),如图,在,ABC,中,A=,120,AB=AC=,5,则,ABC,的外接圆半径,R,的,值为,;,(1),解,:,设点,O,是,ABC,外接圆的圆心,如图,.,OA=OB=OC.,AB=AC,AO,垂直平分,BC.,A=,120,BAO=,CAO=,60,ABO,是等边三角形,.,AB=OA=OB=,5,.,图,问题探究,(2),如图,O,的半径为,13,弦,AB=,24,M,是,AB,的中点,P,是,O,上一动点,求,PM,的最大值,;,(2),当,PM,AB,时,此时,PM,最大,连接,OA,如图,由垂径定理可知,AM=,AB=,12,.,OA=,13,在,Rt,AOM,中,由勾股定理可知,OM=,5,PM=OM+OP=,18,.,图,问题解决,（,3,）,如,图,所示,AB,AC,是某新区的三条规划路,其中,AB=,6 km,AC=,3 km,BAC=,60,所对的圆心角为,60,.,新区管委会想在,路边建物资总站点,P,在,AB,AC,路边分别建物资分站点,E,F,也就是,分别在,线段,AB,和,AC,上选取点,P,E,F.,由于总站工作人员每天都要将物资在各,物资,站点,间按,P,E,F,P,的路径进行运输,因此,要在各物资站点之间规划道路,PE,EF,和,FP,.,为了,快捷、环保和节约成本,.,要使得线段,PE,EF,FP,之和最短,试,求,PE+EF+FP,的,最小值,(,各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计,),.,图,设,所在圆的圆心为,O,连接,AP,OP,分别以,AB,AC,所在的直线为对称轴,作出点,P,关于,AB,的对称点,M,点,P,关于,AC,的对称点,N,连接,MN,交,AB,于点,E,交,AC,于点,F,连接,PE,PF,如图,图,AM=AP=AN,MAB=,PAB,NAC=,PAC,BAC=,PAB+,PAC=,MAB+,NAC=,60,.,MAN=,120,.,设,AP=r,解,三角形易得,MN=,r.,PE=ME,PF=FN,PE+EF+PF=ME+EF+FN=MN=,r.,当,AP,最小时,PE+EF+PF,可取得最小值,.,AP+OP,OA,AP,OA-OP,即点,P,在,OA,上时,如,图,AP,可取得最小值,.,设,AB,的中点为,Q,连接,CQ,CB,如图,图,图,AQ=BQ=,3 km,=AC,.,BAC=,60,AQC,是等边三角形,.,AQ=QC=AC=BQ=,3km,AQC=,ACQ=,60,.,ABC=,QCB=,30,.,ACB=,ACQ+,QCB=,90,.,在,Rt,ABC,中,由勾股定理可知,BC=,3,km,.,由,题意可知,BOC=,60,OB=OC,OBC,是等边三角形,.,OBC=,60,OB=OC=BC=,3,km,.,ABO=,ABC+,CBO=,90,在,Rt,ABO,中,由勾股定理可知,OA=,3,km,.,此时,如图,OP=OB=,3,km,AP=OA-OP=,(3,-,3,)km,.,PE+EF+PF=MN=,r=,(3,-,9)km,即,PE+EF+PF,的最小值为,(3,-,9)km,.,图,展示操作过程，在操作中探究解题过程,二,实践操作类题目为考生创设了动手实验、操作探究的空间,有效地考查了实践、创新能力,为考生提供了展示个性思维及发散创新的平台,是中考命题改革的一道亮丽风景线,.,实践操作问题主要包括剪纸、折叠、展开、拼图、作图,(,不包括统计图表的制作,),、称重、测量、空间想象等,这类试题题目灵活、新颖,.,题型讲解,方法点拨,解答,操作性试题,关键是审清题意,学会运用图形的平移变换、翻折变换、旋转变换和位似变换,注意运用分类讨论、类比猜想、验证归纳等数学思想方法,.,在平时的学习中,要注重操作性习题的解题训练,提高思维的开放性,培养创新能力,要学会运用数学知识去分析、抽象、概括所给的实际问题,揭示其数学本质,并将其转化为我们所熟悉的数学问题,.,解题技巧,折纸是一项有趣的活动,同学们小时候都玩过折纸,可能折过小动物、小花、飞机、小船等,折纸活动也伴随着我们初中数学的学习,.,在折纸过程中,我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等,进一步发展空间观念,在经历借助图形思考问题的过程中,我们会初步建立几何直观,.,折纸往往从矩形纸片开始,今天,就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸,看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论,.,例题,2,实践操作,如图,将矩形纸片,ABCD,沿对角线,AC,翻折,使点,B,落在矩形,ABCD,所在平面内,BC,和,AD,相交于点,E,连接,BD.,解决问题,(1),在图,中,BD,和,AC,的位置关系为,;,将,AEC,剪下后展开,得到的图形是,;,(2),若图,中的矩形变为平行四边形,(,AB,BC,),如图,(1),中的结论,和结论,是否成立,?,若成立,请挑选其中的一个结论加以证明,若不成立,请说明理由,;,(3),小红沿对角线折叠一张矩形纸片,发现所得图形是轴对称图形,沿对称轴再次折叠后,得到的仍是轴对称图形,则小红折叠的矩形纸片的长、宽之比为,.,拓展应用,(4),在图,中,若,B=,30,AB=,4,当,ABD,恰好为直角三角形时,BC,的长度为,.,分析：,(1),由矩形及轴对称的性质可得,ACE,是等腰三角形,进而得出,BED,也是等腰三角形,再根据两等腰三角形的顶角相等得出底角也相等,从而由,ADB=,DAC,得到,BD,AC,;,由四边形,ABCD,是矩形可得,CF,AE,得,DAC=,ACF,由折叠可得,ACE=,ACF,则,DAC=,ACE,可得,AE=CE,则,CE=AF=AE=CF,得四边形,AECF,是菱形,.,(,2),思路与,(1),类似,.,(3),根据折叠的方式进行分类讨论,当第一次折叠时,ACB,与,ACD,可能重合也可能不重合,画图,由轴对称的性质解决问题,.,(4),当,ABD,为直角三角形时,所以根据哪个角为直角分类讨论,画出图形利用,30,角分别计算,.,解析：,(1),BD,AC,理由,:,矩形,ABCD,AD,BC,AD=BC,EAC=,ACB,由翻折可得,BC=BC,BCA=,ECA,EAC=,ECA=,(180,-,AEC,),AD=BC,AE=CE,BE=DE.,CBD=,ADB=,(180,-,BED,),又,由,AEC=,BED,ADB=,DAC,即,BD,AC.,菱形,.,理由,:,如图,设展开后点,E,的对应点为,F,四边形,ABCD,是矩形,CF,AE,DAC=,ACF,由折叠可得,ACE=,ACF,DAC=,ACE,AE=CE,又,AF=AE,CE=CF,CE=AF=AE=CF,四边形,AECF,是菱形,.,(2),结论仍成立,.,若,选择,证明,:,BC=AD,AE=CE,BE=DE.,CBD=,ADB.,AEC=,BED,ACB=,CAD,ADB=,DAC.,BD,AC.,若选择,证明,:,如,图,设展开后点,E,的对应点为,F,四边形,ABCD,是平行四边形,CF,AE,DAC=,ACF.,由折叠可得,ACE=,ACF,CE=CF,DAC=,ACE,.,AE=CE,AE=CF,四边形,AECF,是菱形,.,(3),如图,沿对角线,AC,折叠时,当,AB,在射线,AD,上时,可得,BAC=,DAC=,45,AB=AD,四边形,ABCD,是正方形,矩形长、宽之比为,11,.,如图,沿对角线,AC,折叠时,当,AB,在射线,AD,上时,依题意得,DAC=,FAE=,30,设,EF=ED=a,则,AF=AB=,a,AE=,2,a,所以,AD=AE+ED=,3,a,矩形长、宽之比为,1,.,小红折叠的矩形纸片的长、宽之比为,11,或,1,.,(4),如图,ABD=,90,时,BAD=,30,BA=,4,则,BC=AD=,AB=,8,.,如图,BAD=,90,时,BDA=,30,BC=AD,=,AB=,12,.,如图,BAD=,90,时,ABD=,30,BC=AD,=,AB=,4,.,如图,ADB=,90,时,BAD=,30,BC=AD,=,AB=,6,.,BC,的长度为,4,或,6,或,8,或,12,.,【,高分点拨,】,本题考查四边形的折叠、轴对称图形的性质等知识,解题的关键是正确理解和灵活运用图形折叠的性质,属于中考常考题型,.,当堂检测,2,问题背景,数学活动课上,老师将一副三角尺按图,所示位置摆放,分别作出,AOC,BOD,的平分线,OM,ON,然后提出如下问题,:,求出,MON,的度数,.,特例研究,“兴趣小组”的同学决定从特例入手探究老师提出的问题,他们将三角尺分别按图,、图,所示的方式摆放,OM,和,ON,仍然是,AOC,和,BOD,的平分线,.,其中,按图,方式摆放时,可以看成是,ON,OD,OB,在同一直线上,.,按图,方式摆放时,AOC,和,BOD,相等,.,图,(,1),请你帮助“兴趣小组”进行计算,:,图,中,MON,的度数为,.,图,中,MON,的度数为,.,发现感悟,解决完图,、图,所示问题后,“兴趣小组”又对图,所示问题进行了讨论,.,小明,:,由于图,中,AOC,和,BOD,的和为,90,所以,我们容易得到,MOC,和,NOD,的和,这样就能求出,MON,的度数,.,小华,:,设,BOD,为,x,我们就能用含,x,的式子分别表示出,NOD,和,MOC,度数,这样也能求出,MON,的度数,.,(2),请你根据他们的谈话内容,求出图,中,MON,的度数,.,图,图,2,.,解,:(1),图,中,MON=,90,+,90,=,135,图,中,MON=,AOC+,BOD+,COD=,(,AOC+,BOD,),+,90,=,90,+,90,=,135,.,故答案为,135,135,.,(2),COD=,90,AOC+,BOD=,180,-,COD=,90,.,OM,和,ON,分别是,AOC,和,BOD,的平分线,MOC+,NOD=,AOC+,BOD=,(,AOC+,BOD,),=,45,.,MON=,(,MOC+,NOD,),+,COD=,45,+,90,=,135,.,类比拓展,受到“兴趣小组”的启发,“智慧小组”将三角尺按图,所示方式摆放,分别,作出,AOC,BOD,的平分线,OM,ON,他们认为也能求出,MON,的度数,.,(3),你同意“智慧小组”的看法吗,?,若同意,求出,MON,的度数,;,若,不同意,请说明理由,.,图,(3),同意,.,设,BOC=x,则,AOC=,180,- x,BOD=,90,- x,.,OM,和,ON,是,AOC,和,BOD,的平分线,MOC=,AOC=,(180,- x,),=,90,-,x,.,BON=,BOD=,(90,- x,),=,45,-,x,MON=,MOC+,BOC+,BON=,+,x,+,=,135,.,专题七 高效测评,1,.,(2021,郑州模拟,),【问题背景】,(1),如图,1,的图形我们把它称为“,8,字形”,请说理证明,A+,B=,C+,D.,【简单应用】,(2),如图,2,AP,CP,分别平分,BAD,BCD,若,ABC=,20,ADC=,26,求,P,的度数,.,可直接使用问题,(1),中的结论,【问题探究】,(3),如图,3,直线,AP,平分,BAD,的外角,FAD,CP,平分,BCD,的外角,BCE,若,ABC=,36,ADC=,16,猜想,P,的度数为,.,【拓展延伸】,(4),在图,4,中,若设,C=x,B=y,CAP=,CAB,CDP=,CDB,试问,P,与,C,B,之间的数量关系为,(,用,x,y,表示,P,),.,(5),在图,5,中,AP,平分,BAD,CP,平分,BCD,的外角,BCE,猜想,P,与,B,D,的关系,直接写出结论,:,.,1,.,解,:(1),证明,:,在,AOB,中,A+,B+,AOB=,180,在,COD,中,C+,D+,COD=,180,AOB=,COD,A+,B=,C+,D.,(2),如图,2,AP,CP,分别平分,BAD,BCD,1,=,2,3,=,4,由,(1),的结论得,+,得,2,P+,2,+,3,=,1,+,4,+,B+,D,P=,(,B+,D,),=,23,.,(3),如,图,AP,平分,BAD,的外角,FAD,CP,平分,BCD,的外角,BCE,1,=,2,3,=,4,PAD=,180,-,2,PCD=,180,-,3,.,P+,(180,-,1),=,D+,(180,-,3,),P+,1,=,B+,4,2,P=,B+,D,P=,(,B+,D,),=,(36,+,16),=,26,.,(4),同法可得,P=,x+,y.,(5),同法可得,P=,2,.,(2020,咸宁二模,),我们定义,:,如图,1,在,ABC,中,把,AB,绕点,A,顺时针旋转,(0,180),得到,AB,把,AC,绕点,A,逆时针旋转,得到,AC,连接,BC.,当,+=,180,时,我们,称,ABC,是,ABC,的“旋补三角形”,ABC,边,BC,上的中线,AD,叫做,ABC,的“旋补中线”,点,A,叫做“旋补中心”,.,特例感知,:,(1),在图,2,图,3,中,ABC,是,ABC,的“旋补三角形”,AD,是,ABC,的“旋补中线”,.,如图,2,当,ABC,为等边三角形时,AD,与,BC,的数量关系为,AD=,BC,;,如图,3,当,BAC=,90,BC=,8,时,则,AD,长为,.,猜想论证,:,(2),在图,1,中,当,ABC,为任意三角形时,猜想,AD,与,BC,的数量关系,并给予证明,.,2,.,解,:(1),如图,1,当,ABC,为等边三角形时,AD,与,BC,的数量关系为,AD=,BC,.,理由,:,ABC,是等边三角形,AB=BC=AC=AB=AC.,DB=DC,AD,BC.,BAC=,60,BAC+,BAC=,180,BAC=,120,B=,C=,30,AD=,AB=,BC.,故答案为,.,如图,2,当,BAC=,90,BC=,8,时,则,AD,长为,4,.,理由,:,BAC=,90,BAC+,BAC=,180,BAC=,BAC=,90,.,又,AB=AB,AC=AC,BAC,BAC,(SAS),BC=BC.,BD=DC,AD=,BC=,BC=,4,.,故答案为,4,.,(2),猜想,AD=,BC.,证明,:,如图,3,延长,AD,至点,Q,使,QD=AD,则,DQB,DAC,QB=AC,QB,AC,QBA+,BAC=,180,.,BAC+,BAC=,180,QBA=,BAC,又由题意得到,QB=AC=AC,AB=AB,AQB,BCA,(SAS),AQ=BC=,2,AD,即,AD=,BC.,3,.,(2020,烟台模拟,),【问题探究】,(1),如图,1,ABC,和,DEC,均为等腰直角三角形,ACB=,DCE=,90,点,B,D,E,在同一直线上,连接,AD,BD.,请探究,AD,与,BD,之间的位置关系,:,;,若,AC=BC=,DC=CE=,则线段,AD,的长为,;,【拓展延伸】,(2),如图,2,ABC,和,DEC,均为直角三角形,ACB=,DCE=,90,AC=,BC=,CD=,CE=,1,.,将,DCE,绕点,C,在平面内顺时针旋转,设,旋转角,BCD,为,(0,360,),作,直线,BD,连接,AD,当点,B,D,E,在同一直线上时,画,出图形,并求线段,AD,的长,.,3,.,解,:(1),ABC,和,DEC,均为等腰直角三角形,AC=BC,CE=CD,ABC=,DEC=,45,=,CDE.,ACB=,DCE=,90,ACD=,BCE,且,AC=BC,CE=CD,ACD,BCE,(SAS,),ADC=,BEC=,45,ADE=,ADC+,CDE=,90,AD,BD.,故答案为,AD,BD.,如图,1,过点,C,作,CF,AD,于点,F,ADC=,45,CF,AD,CD=,DF=CF=,1,AF=,=,3,AD=AF+DF=,4,故,答案为,4,.,(2),若点,D,在,BC,右侧,如图,2,过点,C,作,CF,AD,于点,F,ACB=,DCE=,90,AC,=,BC=,CD=,CE=,1,ACD=,BCE,=,=,ACD,BCE,ADC=,BEC.,CD=,CE=,1,DE=,=,2,.,ADC=,BEC,DCE=,CFD=,90,DCE,CFD,=,=,即,=,=,CF=,DF=,AF=,=,AD=DF+AF=,3,.,若点,D,在,BC,左侧,如图,3,过点,C,作,CF,AD,的延长线于,F,ACB=,DCE=,90,AC=,BC=,CD=,CE=,1,ACD=,BCE,=,=,ACD,BCE,ADC=,BEC,CED=,CDF.,CD=,CE=,1,DE=,=,2,.,CED=,CDF,DCE=,CFD=,90,DCE,CFD,=,=,即,=,=,CF=,DF=,AF=,=,AD=AF-DF=,2,.,4,.,(2020,苏州模拟,),如图,在,ABC,中,AB=AC=,3,BAC=,100,D,是,BC,的中点,.,小明对图,进行了如下探究,:,在线段,AD,上任取一点,P,连接,PB.,将线段,PB,绕点,P,按逆时针方向旋转,80,点,B,的对应点是点,E,连接,BE,得到,BPE.,小明发现,随着点,P,在线段,AD,上位置的变化,点,E,的位置也在变化,点,E,可能在直线,AD,的左侧,也可能在直线,AD,上,还可能在直线,AD,的右侧,.,请你帮助小明继续探究,并解答下列问题,:,(1),当点,E,在直线,AD,上时,如图,所示,.,BEP=,;,连接,CE,直线,CE,与直线,AB,的位置关系是,;,(2),请在图,中画出,BPE,使点,E,在直线,AD,的右侧,连接,CE,试,判断直线,CE,与直线,AB,的位置关系,并说明理由,;,(3),当点,P,在线段,AD,上运动时,求,AE,的最小值,.,解,:(1),如图,1,中,BPE=,80,PB=PE,BEP=,PBE=,50,.,结论,:,AB,EC.,理由,:,AB=AC,BD=DC,AD,BC,BDE=,90,EBD=,90,-,50,=,40,.,AE,垂直平分线段,BC,EB=EC,ECB=,EBC=,40,.,AB=AC,BAC=,100,ABC=,ACB=,40,ABC=,ECB,AB,EC.,故答案为,50,AB,EC.,(2),如图,2,中,以,P,为圆心,PB,为半径作,P,连接,PC.,AD,垂直平分线段,BC,PB=PC,BCE=,BPE=,40,.,又,ABC=,40,AB,EC,.,(3),如图,3,中,作,AH,CE,于,H,点,E,在射线,CE,上运动,点,P,在线段,AD,上运动,当点,P,运动到与点,A,重合时,AE,的值最小,此时,AE,的最小值为,AB=,3,.,5,.,(2021,青岛二模,),问题背景,:,在,ABC,中,边,AB,上的动点,D,由,A,向,B,运动,(,与,A,B,不重合,),点,E,与点,D,同时出发,由点,C,沿,BC,的延长线方向运动,(,E,不与,C,重合,),连接,DE,交,AC,于点,F,点,H,是线段,AF,上一点,.,(1),初步尝试,:,如图,1,若,ABC,是等边三角形,DH,AC,且点,D,E,的运动速度相等,求证,:,HF=AH+CF,.,小,王同学发现可以由以下两种思路解决此问题,:,思路一,:,过点,D,作,DG,BC,交,AC,于点,G,先证,GH=AH,再证,GF=CF,从而证得结论成立,;,思路二,:,过点,E,作,EM,AC,交,AC,的延长线于点,M,先证,CM=AH,再证,HF=MF,从而证得结论成立,.,请你任选一种思路,完整地书写本小题的证明过程,(,如用两种方法作答,则以第一种方法评分,),.,(2),类比探究,:,如图,2,若在,ABC,中,ABC=,90,ADH=,BAC=,30,且点,D,E,的运动速度之比是,1,求,的值,.,(3),延伸拓展,:,如图,3,若在,ABC,中,AB=AC,ADH=,BAC=,36,记,=m,且点,D,E,的运动速度相等,试用含,m,的代数式表示,(,直接写出结果,不必写解答过程,),.,解,:(1),证明,(,选择思路一,):,过点,D,作,DG,BC,交,AC,于点,G,如图,1,则,ADG=,B,AGD=,ACB,ABC,是等边三角形,A=,B=,ACB=,60,ADG=,AGD=,A,ADG,是等边三角形,GD=AD=CE.,DH,AC,GH=AH,.,DG,BC,GDF=,CEF,DGF=,ECF.,在,GDF,和,CEF,中,GDF,CEF,(ASA,),GF=CF,GH+GF=AH+CF,即,HF=AH+CF.,(2),过点,D,作,DG,BC,交,AC,于点,G,如图,2,则,ADG=,B=,90,BAC=,ADH=,30,HGD=,HDG=,60,AH=GH=GD,AD=,GD,根据,题意得,AD=,CE,GD=CE.,DG,BC,GDF=,CEF,DGF=,ECF.,在,GDF,和,CEF,中,GDF,CEF,(ASA,),GF=CF,GH+GF=AH+CF,即,HF=AH+CF,=,2,.,(3),=,理由如下,:,过点,D,作,DG,BC,交,AC,于点,G,如图,3,则,ADG=,B,AGD=,ACB,AB=AC,BAC=,36,ACB=,B=,ADG=,AGD=,72,.,ADH=,BAC=,36,AH=DH,DHG=,72,=,AGD,DG=DH=AH,ADG,ABC,ADG,DGH,=,=m,=,=,=m,DGH,ABC,=,=m,=m,.,DG,BC,DFG,EFC,=,=m,=m,即,=m,=,=,=,+,1,=,.,6,.,(2021,南京模拟,)(1),发现,:,如图,1,点,A,为线段,BC,外一动点,且,BC=a,AB=b,.,填空,:,当,点,A,位于,时,线段,AC,的长取得最大值,且,最大值为,(,用含,a,b,的式子表示,),.,(2),应用,:,点,A,为线段,BC,外一动点,且,BC=,4,AB=,1,如,图,2,分别以,AB,AC,为边,作,等边三角形,ABD,和等边三角形,ACE,连接,CD,BE.,请找出图中与,BE,相等的线段,并说明理由,;,直接写出线段,BE,长的最大值,.,(,3),拓展,:,如图,3,在平面直角坐标系中,点,A,的坐标为,(2,0,),点,B,的坐标为,(6,0,),点,P,为线段,AB,外一动点,且,PA=,2,PM=PB,BPM=,90,请,直接写出线段,AM,长的最大值及此时点,P,的坐标,.,解,:(1),点,A,为线段,BC,外一动点,且,BC=a,AB=b,当点,A,位于,CB,的延长线上时,线段,AC,的长取得最大值,且,最大值为,BC+AB=a+b.,故答案为,:,CB,的延长线上,a+b.,(2),CD=BE,理由,:,ABD,与,ACE,是等边三角形,AD=AB,AC=AE,BAD=,CAE=,60,BAD+,BAC=,CAE+,BAC,即,CAD=,EAB.,在,CAD,与,EAB,中,CAD,EAB,(SAS),CD=BE.,线段,BE,长的最大值,=,线段,CD,的最大值,由,(1),知,当线段,CD,的长取得最大值时,点,D,在,CB,的延长线上,线段,BE,长的最大值为,BD+BC=AB+BC=,5,.,(3),如图,1,将,APM,绕着点,P,顺时针旋转,90,得到,PBN,连接,AN,则,APN,是等腰直角三角形,PN=PA=,2,BN=AM.,A,的坐标为,(2,0),点,B,的坐标为,(6,0),OA=,2,OB=,6,AB=,4,线段,AM,长的最大值,=,线段,BN,长的最大值,当,N,在线段,BA,的延长线时,线段,BN,取得最大值,最大值,=AB+AN.,AN=,AP=,2,最大值为,2,+,4,.,如图,2,过,P,作,PE,x,轴于,E,APN,是等腰直角三角形,PE=AE=,OE=BO-AB-AE=,6,-,4,-,=,2,-,P,(2,-,),.,如图,3,中,根据对称性可知当点,P,在第四象限,P,(2,-,-,),时,也满足条件,.,综上所述,满足条件的点,P,坐标,(2,-,),或,(2,-,-,),AM,的最大值为,2,+,4,.,7,.,问题,:,已知,均为锐角,tan,=,tan,=,求,+,的度数,.,探究,:(1),用,6,个小正方形构造如图所示的网格图,(,每个小正方形的边长均为,1),请借助这个网格图求出,+,的度数,;,延伸,:(2),设经过图中,M,P,H,三点的圆弧与,AH,交于,R,求,的弧长,.,解,:(1),如图,连接,AM,MH,由网格图可知,:,AMH,是等腰直角三角形,即,AM=MH,MHP=,MHA=+,在,Rt,AMH,中,tan,MHA=,tan(,+,),=,=,1,+=,45,.,(2),如图,连接,MR,过点,R,作,RT,MH,于点,T,由图可得,MPH=,90,MH,是经过,M,P,H,三点的圆弧所在圆的直径,MRH=,90,.,又,+=,45,即,MHA=,45,RT,MH,MRH,MTR,HTR,都是等腰直角三角形,MT=HT=TR=,MH,MTR=,90,在,Rt,MPH,中,MP=,1,PH=,2,由勾股定理,得,MH=,MT=,=,=,.,答,:,的弧长为,.,
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