理论力学答案

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,也可以表示成,x,的函数,13,14,？,15,对,x,求导：,16,17,例,1.7,质量为,m,的质点在保守力作用下作直线运动，,求,:,(i),质点的稳定平衡位置；,(ii),质点在稳定平衡位,置附近作微小振动的周期；,(iii),质点从稳定平衡位置以速度,v,出发，求在下列情况下速度的数值范围：,(1),质点在平衡位置附近振动；,(2),质点逃逸至 ；,(3),质点逃逸至,+,。,解,:,(i),x,=-,a,为稳定平衡位置,x,=,a,为非稳定平衡位置,在平衡位置处应有：,18,(ii),质点在稳定平衡位置附近作微小振动的周期,19,(iii),质点从稳定平衡位置以速度,v,出发，求速度,v,的数值范围,20,1.5,解,轨道方程,21,（,2.6,）,（,2.7,）,将上述微分方程消去时间,t,，,得到,r,(,),*推到比内公式,22,（,2.9,）,（,2.6,）,（,2.10,）,二阶非线性微分方程,比内（,Binet,）公式,23,（,2.11b,）,（,2.15,）,适当选择极轴方向，使,0,=0,典型的圆锥曲线极坐标方程,力心（坐标原点）：圆锥曲线的焦点,F,e,：轨道的偏,/,离心率,p,：正焦弦（,QQ,）长度的一半,距离平方反比引力作用下的质点运动,24,例,2.3,质量为,m,的质点在 的有心力场中运动，求：,(i),圆轨道运动的周期；,(ii),质点作半径为,r,0,的圆周运动时的角动量；,(iii),对,r,=,r,0,的圆轨道，质点在径向有一微小偏离，求质点在,r,=,r,0,附近作微小振动的周期,T,。,解：,(i),(ii),(iii),作泰勒展开,25,(3),(4),0,(5),忽略二次方项,26,(6),(4),评注：,微振动周期还可以从能量方程出发计算,质点的机械能守恒方程：,(7),对时间求导：,?,先作泰勒展开再求导,27,0,微振动将,U,(,r,),在,r,=,r,0,附近展开：,(8),(8),式对时间求导：,与,(6),一致,?,(4),已由,d,E,/d,t,=0,得,28,2.8,解,代入得：,29,例,3.4,一质点置于光滑的水平桌面上，初速度为,v,0,。设桌面位于北纬,处，考虑地球的自转效应，证明质点的运动轨迹是一个圆，并求出圆半径和桌面所受到的力。,解：,以桌面为参考系,旋转的非惯性系,采用自然坐标系,(,),，则只需首先证明,是常量,(3.23),科氏惯性力,惯性离心力已包括在重力之内,30,(3),(4),(5),更正：,+,初始条件：,(6),(3) , (4),：,-,(7),从而证明了质点的轨迹是一个圆,由于,很小，半径,很大，在桌面范围内质点实际上沿直线运动。,(5) ,？,31,又：,已知质点作圆周运动，若以圆心为坐标原点，位置矢径 与,x,轴间的夹角为,，则：,桌面受到的力为：,F,N,更正,(8),第一项比重力小得多！,32,评注,本题用自然坐标系最恰当。但要写出地球自转角速度在自然坐标系中的表示式，则需要利用其它坐标系中的表示式来转换。要注意这种转换方法的运用。,质点作圆周运动的另一种证明方法：,用直角坐标系求解：,质点作匀速率圆周运动,(10),P82 (3.25),33,(10),类似地，,(10-1),(10-2),34,圆心在 半径为 的圆,匀速圆周运动,35,(10-3),以圆心为坐标原点：,代入得：,与自然坐标法得到的结果一致,36,比较：,直角坐标系：可以直接写出质点运动的微分方程，但求解时数学上比较繁琐些。,自然坐标系：数学上比较简洁，但角速度的表达式不能直接给出，需要通过直接坐标与自然坐标的关系转换一下。,37,3.7,解,在,O,系,(,平动的非惯性系,),中,:,其中：,切向分量方程：,即：,微小振动：,设解：,则：,38,由：,得：,代入,(2),得：,代入,(3),得：,39,3.10,解,以圆环为参考系,(,非惯性系,),，小环受力如图所示,(,惯性力未标出,):,其中：,切向方程：,40,积分：,滑动反向时：,对应于初始位置,41,3.14,解,在旋转的非惯性系中研究小环,m,的运动，如图所示,:,其中：,代入得,:,而,42,例,4.3,不可伸长的轻绳长,2,l,，两端分别系有质量为,m,的质点，中部则系有一质量为,m,的质点。这个由绳子联结的质点组置,解：,(i),任意时刻质点组内各质点的位置如图所示。,于光滑的水平桌面上。初始时刻绳子拉直，,m,以初速度,v,0,沿垂直于绳子的方向弹射。已知经过时间,t,后绳子两端的质点恰好相碰，求此时：,(i),m,移动的距离,b,；,(ii),绳中的张力,F,T,。,m,相对于,m,的速度：,(1),质点组在,xy,平面内不受外力作用，动量守恒：,y,方向：,(3),(2),43,(3),(ii),绳中的张力,F,T,(3),式对,t,求导,m,：,11,碰撞时刻,=/2,，代入得：,(4),由机械能,守恒求出,水平面光滑；绳子无伸长，内力不作功。因此机械能守恒：,44,(6),(1),(2),碰撞时刻,=/2,：,(5),(3),(4),45,4.6,解,如图所示，对大、小楔子组成的系统，水平方向不受外力，故系统质心不沿水平方向移动；竖直方向由于受重力作用，质心下移。图中,C,点为起始时刻系统的质心位置。,设任意时刻大、小楔子的质心位置分别为,x,1,，,x,2,，则：,小楔子相对于大楔子的速度：,小楔子完全滑到水平面时：,46,4.10,解,系统水平方向动量守恒：,水平面支持力不作功，系统机械能守恒：,47,例,5.6,一匀质薄板质量为,m,，长,2,a,宽,a,，可在铅直平面内绕悬点,O,无摩擦地摆动。求,:,(i),薄板在平衡位置附近作微小摆动的周期；,(ii),等值摆长和振动中心的位置；,(iii),设摆动的最大角度为,0,，求薄板摆动时悬挂点受到的力。,解：,取坐标系如图，转轴为,z,轴,重力矩是作用于平板的唯一力矩：,角动量定理的,z,分量方程：,平板对,O,点的角动量的,z,分量：,48,(i),薄板微振动周期,(ii),等值摆长和振动中心,摆长为,l,的单摆的周期：,即：,薄板的振动周期等同于摆长为,l,的单摆的周期，,l,称为薄板的,等值摆长,。,离开悬挂点等值摆长,l,处的点，称为薄板的,振动中心,。振动中心位矢：,49,等值摆长和振动中心的定义对任何刚体都适用：,J,O,:,刚体对,O,轴的转动惯量,d,:,质心离悬挂点,O,的距离,任何绕悬挂点摆动的刚体称为,复摆,。单摆称数学摆，复摆称为物理摆。,如果将,振动中心,O,作为悬挂点,，刚体摆动的周期与绕原悬挂点摆动的周期相同：,50,(iii),悬挂点受到的力,质心的加速度：,由质心定理：,51,也可利用机械能守恒方程得到：,52,薄板对悬挂点的作用力：,等值摆长和振动中心；,质心定理，角动量定理，机械能守恒,53,例,5.9,一质量为,m,的匀质棒，长,2,a,，一端置于光滑水平面上，另一端则靠在光滑铅直面上，与地面的夹角为,。若棒自此位置开始下滑，求：,(i),棒与地面间的夹角为多大时，棒将与墙面分离？,(ii),棒与墙分离后将如何运动？棒落地时的角速度有多大？,解：,棒的受力情况如图。设,t,时刻棒与地面间的夹角为,质心定理：,对质心的角动量定理：,(1),(2),棒与墙面未脱离时的约束方程：,棒与墙面脱离后,(4),不成立，,(5),依然成立,54,初始条件：,5,个方程，,5,个未知数：,(i),棒没有脱离墙面时,(4),(5),(3),(2),(1),(7),(8),(1),(2),55,(8),式也可以通过机械能守恒方程求得：,棒与墙脱离的条件是：,(1),(6),(8),(7),(ii),棒脱离墙面后,在棒即将脱离墙面的时刻：,棒逆时针转动：,(9),(8),(9),56,棒脱离墙面后运动的初始条件,(5),(9),棒脱离墙面后，,x,方向无外力作用,运动过程中棒的机械能守恒：,(10),(11),57,棒落地时,=0,：,棒脱离墙面后，质心的速度为：,即：棒脱离墙面后，质心以速度,v,C,运动，同时棒以角速度,转动。,评注：,棒脱离墙面后的运动情况的另一种求解方法,(2),58,整理得：,初始条件：棒与墙脱离时 ，积分,(10),技巧！,59,例,5.12,一半径为,r,质量为,m,的匀质圆盘，其对称轴由一相距为,d,的铅直轴驱动，圆盘竖直地在水平面上无滑动地滚动。圆盘以,恒定,的角速度,绕驱动轴转动，求圆盘对水平面的正压力。,解：,取活动坐标系,Oxyz,如图,i ,圆盘前进的方向,坐标原点,O,是与圆盘刚性联结的固定点。,60,61,62,5.14,解,建立坐标系如图。,z,轴为对称面法线，故为惯量主轴。,其中：,63,绕,y,轴转动时：,转轴由对角线转变为,y,轴的过程中，对角线被释放，,y,轴被固定，,y,轴对薄板有冲力作用，但此冲力对薄板的冲力矩为零，故薄板对,y,轴的角动量守恒：,64,【,重点,】,例,6.4,滑轮组,(,质量不计,),悬挂三个重物如图，试分别求出三个重物加速度的大小。,解：,力学系由,A, B,m,1,m,2,m,3,组成，作一维运动，需,5,个坐标变量；,存在,3,个约束：,A,固定不动；,m,1,和,B,用长度为,l,的绳子连接；,m,2,和,m,3,用长度为,l,的绳子连接。故只有两个独立变量。,设滑轮,A,、,B,边缘半周长分别为,s,1,和,s,2,，得约束关系：,更正,微分得各重物速度：,满足条件：,理想约束；保守力作用,65,代入拉格朗日方程：,(6.29),66,67,评注：,用拉格朗日方程求解问题的基本步骤,分析约束关系，引入独立变量，写出体系中各质点的坐标变量与广义坐标之间的函数关系。,仿照牛顿力学的方法，用各质点的速度分量写出体系的动能表示式，然后变为用广义坐标和广义速度表示的形式。,对保守力学系，用各质点的坐标变量写出体系的势能表示式，然后变为用广义坐标表示的形式。,写出用广义坐标和广义速度表示的拉氏函数。,对应于各个广义坐标，写出拉格朗日方程。,求解方程组。,68,例,6.6,质量为,m,，半径为,r,的匀质圆柱体沿一斜劈的斜面无滑动地滚下，斜劈放置在光滑的水平面上。写出：,(i),柱体和斜劈系统的拉格朗日函数；,(ii),柱体自静止沿斜面滚动了,n,圈后，斜劈的速度,v,和柱体滚动的角速度,。,解：,取坐标系如图。,s,69,(i),柱体和斜劈系统的拉格朗日函数,其中不包含,x,，,故,x,是循环坐标，相应的广义动量积分为：,(6.24),容易看出，这实际上是系统在,x,方向的动量守恒式。,(ii),斜劈的速度,v,和柱体滚动的角速度,(4),70,拉格朗日方程组：,m,(4),斜劈速度：,71,m,柱体滚动的角速度：,72,例,6.9,一质量为,m,，半径为,r,的圆柱体置于斜面上，柱轴用轻绳跨过光滑滑轮与质量为,m,的重物相连结。重物自静止开始下落，求其下落的加速度和下落,h,距离后的速度。,解：,建立图示坐标系，设绳长为,l,，则,与广义坐标,y,对应的广义动量：,73,力学系只在重力场,(,保守场,),中运动，动能是广义速度的二次齐次函数,(,稳定约束,),，故,由正则方程得：,74,6.7,如图建立坐标系,由拉格朗日方程 得：,绳子完全释放时，,y,=,l,75,