第七章一维波动方程的傅氏解

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数学物理方程 绪论,知之者，不如好知者，好知者，不如乐知者,。,做一个快乐的求知者,与大家共勉,数学物理方程与特殊函数,数学和物理的关系,课程的内容,数学和物理从来是没有分开过的,四种方法、三个方程、二个特殊函数,分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法,波动方程、热传导、拉普拉斯方程,贝,赛尔函数、勒让德函数,数学物理方程定义,用数学方程来描述一定的物理现象。,哈密尔顿算子，读作,del,拉普拉斯算子,高数知识回顾：,绪 论,常微分方程,只能描述质点唯一随时间的变化而发生改变的规律。,含有某未知多元函数的偏导数的方程称为,偏微分方程,。,表示物理量在空间或时间中变化规律的偏微分方程称为,数学物理方程,。,绪 论,数学物理方程的基本任务：,数学物理方程是以物理学、力学及工程技术中的具体问题为研究对象的，其基本任务有以下两个方面：,（,1,）建立描绘某类物理现象的数学模型，并提供这些问题的求解方法；,（,2,）通过理论分析，研究客观问题变化发展的一般规律。,绪 论,数学物理方程的定解问题：,泛定方程：,表达某类物理现象共同规律的数学表达式,偏微分方程。,定解条件,：伴随一个完整的物理过程发生的具体条件，一般包括,初始条件,与,边界条件,。,泛定方程,+,定解条件,=,数学物理方程的定解问题,绪 论,数学物理方程的显著特点,：,（,1,）它广泛地运用数学诸多领域的成果。自然现象是复杂的、多样的，数学物理方程中所研究的问题也是复杂的、多样的，所以要应用不同的数学工具来解决性质不同的问题。,（,2,）数学物理方程源于工程实际问题，自然现象本身所蕴含的内在规律，对人们寻求解决问题的思路有着重要的启迪。数学物理方程中的许多重要求解方法，都可以在自然现象中找到它们的来源。,数学物理方程的三个类型,二阶线性偏微分方程的一般形式,波动方程,双曲型,输运方程,抛物型,稳定场方程,椭圆型,第七章 一维波动方程的傅氏解,（,One dimension wave equation and its Fourier solution,）,.,学习要求,1,、理解弦振动方程的建立方法,2,、理解边值条件的意义,3,、理解初值条件的意义,4,、理解齐次方程混合问题的傅里叶解的解法,5,、理解傅氏解的意义,6,、了解其它波动方程的建立,7,、理解强迫振动方程的解法,一、弦振动方程的建立,1,实例：用运动方程描述吉它、杨琴等弹奏弦乐器的运动规律。,请认真观察下列乐器的弦，思考它有什么特点。,电吉它,阮,阮源于中亚，通过,龟兹,传入我国，在汉时称为秦琵琶，晋代阮咸擅弹此琴。,阮,音箱,圆形，十二个音柱，四弦，用假指甲或,拨片,弹，可用于独奏、重奏和歌舞伴奏或参加,民族乐队,演奏，有丰富的艺术表现力。,月琴,月琴,是从阮演变而来的,乐器,。自晋代起就在民间,流行,，约从,唐代,起就有月琴之名，取其形圆似月、声如琴。来陈旸,乐书,：“月琴，形圆项长，上按四弦十三品柱，象琴之徽，转轸应律，晋阮咸造也”。,筝,唐赵磷,因话录,记述：“筝，秦乐也，乃琴之流。古瑟五十弦，自黄帝令素女鼓瑟，帝悲不止，破之，自后瑟至二十五弦。,秦人,鼓瑟，兄弟争之，又破为二。筝之名自此始。”,柳 琴,最早的,柳琴,，构造较简单，只有两条丝弦，,7,个用,高粱,秆做成的,品位,，音域很窄，仅有一个半八度，还不便转调。当时的琴体较大，演奏时有一竹筒套在食指上，用,拇指,捏紧，靠手腕甩动而拨弦发音，演奏形式别具一格。后以竹套质脆易裂，使用挖空的,牛角,圆筒代替。,琵 琶,千呼万唤,始出来，犹抱琵琶半遮面。,转轴,拨弦三两声，未成曲调先有情。 弦弦掩抑声声思，似诉平生不得志。 低眉信手续续弹，说尽心中无限事。,轻拢慢捻,抹复挑，初为,霓裳,后六幺。 大弦嘈嘈如急雨，小弦切切如私语。 嘈嘈切切错杂弹，,大珠小珠落玉盘,。 间关莺语花底滑，,幽咽,泉,流冰,下难。,别有幽愁暗恨生，,此时无声胜有声,。,银瓶乍破水浆迸，铁骑突出刀枪鸣。,曲终收拨当心画，四弦一声如裂帛。,二胡,一根琴杆顶天立地，,两根琴弦连接东西。,内弦如男人，沉稳雄厚；,外弦如女人，高亢明亮。,在阴阳的融合中演绎着天地的绝唱,2,数学物理模型的建立,（,1,）紧拉弦：,静止的弦是一维的，弦上任意一点可用一维坐标来描写。,松驰弦,紧拉弦,（,2,）柔软弦：,弦在其横向可发生位置移动（振动）。,弦：柔软的,杆：刚性的,（,3,）弹性弦：,弦有完全恢复形变的能力。,不折断,不变形,（,4,）均匀轻弦：,质量分布均匀且重力可以忽略。弦的质量与弦长成正比，比例常数为线质量密度。,我们有下列关于质量 与重力的表达式。,（,5,）小振动弦：,弦的振幅与弦长相比很小。,紧拉弦,柔软弦,弹性弦,均匀轻弦,小振动弦,3,振动方程的建立,（,1,）建立坐标系：,（,2,）确定分析对象：,在区间,(,x, x,+,x,),所对应的微小段弦。,（,3,）微小段弦的受力分析：,1,、外力；,2,、左边弦施加的弹力；,3,、右边弦施加的弹力。,F,单位,x,坐标长度所受的力,（,4,）根据运动定律建立运动方程：,（,5,）一级近似处理：,小振动,令：,则,得到弦振动方程,：,通过调弦的松紧调节,T,不同的弦,值不同。大弦,大，小弦,小。,a,是反映弦特征的物理量；,f,是反映弹奏强弱的物理量。,若,f=0,则有自由弦振动方程：,对于弦振动问题来说，一般弦的特定振动状态还依赖于初始时刻弦的状态和通过弦两端所受的外界影响。,（,1,）表征某过程初始时刻状态的条件称为,初始条件,。,（,2,）表征某过程的物理量在系统的边界上所满足的物理条件称为,边界条件,。,二、定解条件的提出,第一类边界条件：,只与函数在空间特定位置的值有关，与其导数无关。,在边界上直接给出了未知函数,u,的数值，即,第二类边界条件：,速度确定。,在边界上给出了未知函数,u,沿的外法线方向的方向导数，即,第三类边界条件：,位移和速度的组合。,在边界上给出了未知函数,u,与,u,沿的外法线方向的方向导数的线性组合的值，即,这里的 都是定义在边界上的已知函数，若 ，则称相应的边界条件为,齐次边界条件,，否则就称为,非齐次边界条件,。,偏微分方程中所含有的未知函数的最高阶偏导数的阶数，称为,偏微分方程的阶,。,如果一个偏微分方程中的每一项关于未知函数及其所有偏导数（包括高阶偏导数）都为,0,次或,1,次的，则称该方程为,线性偏微分方程,，否则就称之为,非线性偏微分方程,。,如果一个函数在研究区域中具有某偏微分方程中所需要的各阶连续偏导数，将它代入该方程中能使方程成为恒等式，则称这个函数为该方程在研究区域内的一个,解,或,古典解,。,初始条件与边界条件称为,定解条件,。由泛定方程与相应的定解条件构成的问题就称为数学物理中的,定解问题,。,（,1,）由泛定方程和初始条件构成的问题称为,初值问题,或,柯西（,Cauchy,）问题,。（没有边界条件）。,（,2,）由泛定方程和边界条件构成的问题称为,边值问题,。（没有初始条件）,（,3,）,既有初始条件、又有边界条件的定解问题称为,混合问题,。,(1),、边值条件（问题）：,（齐次）,(2),、初值条件（问题）：,弦振动的边界条件,(3),、混合问题：,2.0,预备知识常微分方程,二阶常系数线性方程的标准形式,2.0,预备知识常微分方程,特征根,(1),有两个不相等的实根,两个线性无关的特解,得,齐次方程的通解为,齐次方程,特征方程,2.0,预备知识常微分方程,(2),有两个相等的实根,齐次方程的通解为,特解为,(3),有一对共轭复根,齐次方程的通解为,特征根为,特解为,2.0,预备知识常微分方程,2.0,预备知识常微分方程,二阶常系数非齐次线性方程,对应齐次方程,通解结构,二,阶常系数非齐次线性方程,2.0,预备知识常微分方程,问题：研究一根长为,，两端（ ）固定的弦作微小振动的现象。给定初始位移和初始速度后，在无外力作用的情况下，求弦上任意一点处的位移，即求解下列定解问题,式中， 均为已知函数。,第二节、齐次方程混合问题的傅里叶解,这个定解问题的特点是：泛定方程是线性齐次的，边界条件也是齐次的。,求解这样的问题，可以运用叠加原理。如果能够找到泛定方程足够个数的特解，则可以利用它们的线性组合去求定解问题的解。,从物理学可知，乐器发出的声音可以分解成各种不同频率的单音，每个单音在振动时形成的波形是正弦曲线，其振幅依赖于时间,t,。,也就是说每个单音总可以表示成正弦形式，即：,这种形式的特点是：二元函数 是只含变量,x,的一元函数与只含变量,t,的一元函数的乘积，即它具有变量分离的形式。弦的振动也是波，它也应该具有上述的特点。,分离变量法的基本思想：把数学物理方程定解问题中未知的多元函数分解成若干个一元函数的乘积，从而把求解偏微分方程的定解问题转化为求解若干个常微分方程定解问题。,令：,代入泛定方程得：,重新组合变量得：,两边相等显然是不可能的，除非两边实际上是同一个常数，把这个常数记作,-,，,为一常数。,将边值条件代入,得：,得到：,联立坐标泛定方程：,这可以分离为关于,X,的常微分方程和关于,T,的常微分方程，且边界条件也同样进行分离,若对于的某些 值，常微分方程定解问题的非平凡解存在，则称这种 的取值为该问题的,固有值（或特征值）,；同时称相应的非平凡解为该问题的,固有函数（或特征函数）,。这样的问题通常叫做,施图姆,-,刘维尔（,Sturm-Liouville,）问题（或固有值问题）,。,二阶常系数微分方程：,特征方程：,根的三种情况：,得常系数微分方程的通解：,当,0,时，二阶常系数微分方程的解为：,代入边值条件得：,这样我们就求得了方程的特征值！,果然只能取特定的值,！,相应的特征函数为：,对应每一特征值,n,方程,的解为：,于是我们得到满足方程边界条件的可分离变量的一系列特解：,式中， 是任意常数。,由于初始条件式中的 与 是任意给定的，一般情况下，任何一个特解都不会满足初始条件式。但由于泛定方程是线性齐次的，根据叠加原理，级数,仍是泛定方程的解，并且同时满足边界条件。,为了选取 ，使得上式也满足初始条件，在上式及其关于,t,的导数式中，令 ，由初始条件得,方程右边是傅里叶正弦级数,这就提示我们把左边的展开为傅里叶正弦级数，然后比较傅里叶系数，得,傅里叶级数（补充）,傅里叶级数：,（,1,）设 是周期为 的周期函数，则,其中,（,2,）设 是周期为 的周期函数，则,其中,（,3,）当 为奇函数时，,为奇函数， 为偶函数。,正弦级数为,（,4,）当 为偶函数时，,为偶函数， 为奇函数。,余弦级数为,和 分别是函数 、 在区间,上的傅里叶正弦级数展开式的系数，即,，则可得原问题的解：,按上述公式计算出系数 和,注：该解称为古典解，在求解中我们假设无穷级数是收敛的。,如上的方法称为分离变量法，是齐次偏微分方程求解的一个有效方法。下面对该方法的步骤进行总结。,分离变量法求解的基本步骤,第一步：分离变量,X,(,x,),：,T,(,t,),：,第二步：求本征值和本征函数,X,(,x,),第三步：求,T,(,t,),的表达式,第四步：利用初始条件求得定解问题的解,分离变量流程图,固有值,（特征值）,问题,二、傅里叶解的物理意义,取级数的一般项，并作如下变形：,式中， 最大振幅,相位 频率,表示这样一个振动波，在所考察的弦上各点以同样的频率作简谐振动，各点的初相相同，其振幅与点的位置有关，此振动波在任一时刻的波形都是一条正弦曲线。（初相与最大振幅由初始条件确定，频率与初值无关）。,这种振动波还有一个特点，即在 范围内有 个点在整个过程中始终保持不动，即在 的那些点，这样的点在物理上称为 的,节点,。这说明,的振动是在 上的分段振动，人们把这种包含节点的振动波称为,驻波,。另外，驻波还在另外的一些点,处振幅达到最大值，这样的点叫做,波腹,。,是一系列驻波，它们的频率、相位和振幅都随,n,而异。因此，可以说原定解问题的级数解是由一系列频率不同（成倍增加）、相位不同、振幅不同的驻波叠加而成的，每一个驻波的波形由固有函数和初值确定，频率则由固有值确定，与初值无关。因此，分离变量法也称为,驻波法,。,o,l,n =,4,两端自由的均匀杆的自由纵振动,【,例题,1】,【,例题,2】,磁致伸缩换能器、鱼群探测换能器等器件的核心是两端自由的均匀杆，它作纵振动。研究两端自由棒的自由纵振动,即定解问题,【,解,】,设 并代入方程得,分析：方程与边界条件均为齐次，用分离变量法，根据分离变量法流程，分析如下,现用 遍除各项即得,经讨论，当 时有解,于是得固有值问题,当 时有解,由定解条件得 任意，于是有固有值和固有函数,现确定积分常数，由条件知,由第一式可得,而 只有,，因此第二式变为,于是有固有值和固有函数,现在需要求解,综上所述，该问题的固有值和固有函数分别为,当 时有解,当 时有解,其中 均为独立的任意常数。,由初始条件得,把右边的函数展成傅里叶余弦级数,比较两边的系数，得,由叠加原理，一般解为,例,设有一根长为,10,个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为 ，求弦做微小横向振动时的位移，其中 与弦的材料和张力有关,.,解 设位移函数为 ，则需要求解下列定解问题,【,例题,3】,因此，所求的解为：,=,例：,p181-1,解：所求问题是一维波动方程的混合问题，其傅氏解为：,其中,故,解：所求问题是一维波动方程的混合问题，其傅氏解为：,例：,p181-2,其中,故,练习求解两端固定弦的自由振动问题,其中,解为,其中,