资源描述
,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章 大数定律及中心极限定理,1,大数定律,2 中心极限定理,1,第五章,大数定律及中心极限定理,1,大数定律,大数定律的定义,切比晓夫大数定律,贝努里大数定律,辛钦大数定律,2,1 大数定律,第五章,大数定律及中心极限定理,问题：,测量一个工件时，由于测量具有误差，,为什么,以各次的平均值来作为测量的结果？而且只要测量的,次数足够多，总可以达到要求的精度？,我们把这问题给出数学表达：,这里反映了什么样的客观统计规律呢？,如果工件的真值为,3,1 大数定律,第五章,大数定律及中心极限定理,即大量测量值的算术平均值具有稳定性。,这就是大数定律所阐述的。,测量的经验就是：,4,1 大数定律,第五章,大数定律及中心极限定理,定义1,若对任意,想想：,数列的收敛性定义，比较数列与随机变量序列 收敛性的区别。,一、定义,5,第五章,大数定律及中心极限定理,定义2,对任意,1 大数定律,6,1 大数定律,第五章,大数定律及中心极限定理,定理1,回忆数列的性质，比较它们的相似和不同性。,7,1 大数定律,第五章,大数定律及中心极限定理,定理2,（,切比晓,夫,大数,定律,）,且具有相同的数学,期望及方差，,8,1 大数定律,第五章,大数定律及中心极限定理,由切比晓夫不等式得：,证：,思考：,能否把定理中独立性条件减弱？,9,第五章,大数定律及中心极限定理,定理3,（贝努里大数定律）(,Bernoulli,大数定律),证：,令,1 大数定律,10,第五章,大数定律及中心极限定理,由定理2有,该定理给出了频率的稳定性的严格的数学意义,1 大数定律,11,1 大数定律,第五章,大数定律及中心极限定理,注：,贝努里大数定律是辛钦大数定律的特殊情况。,定理4,（辛钦大数定律）,且具有数学期望,思考：,比较辛钦大数定律与,切比晓夫,大数定律条件的 差别及强弱。,12,第五章,大数定律及中心极限定理,2,中心极限定理,定义,独立同分布的中心极限定理,德莫佛-拉普拉斯定理,用频率估计概率时误差的估计,13,2 中心极限定理,第五章,大数定律及中心极限定理,一、定义,14,2 中心极限定理,第五章,大数定律及中心极限定理,定理1,(列维-林德伯格定理）（,Levy-Lindberg),（独 立同分布的中心极限定理）,中心极限定理说明了正态分布的重要地位，它也是统计学中处理大样本时的重要工具。,二、中心极限定理,15,第五章,大数定律及中心极限定理,由定理1有结论成立。,定理2,（德莫佛-拉普拉斯定理）,(,De Moivre-Laplace),证明：,由二项分布和两点分布的关系知,其中 相互独立且都服从于两点分布，且,2 中心极限定理,16,2 中心极限定理,第五章,大数定律及中心极限定理,推论：,说明：,这个公式给出了,n,较大时二项分布的概率 计算方法。,17,2 中心极限定理,第五章,大数定律及中心极限定理,例1,车间有200台车床，它们独立地工作着，开,工率为0.6,开工时耗电各为2千瓦，问供电所至少,要供给这个车间多少电力才能以不低于99.9%的概率保证这个车间正常生产。,设至少要供给这个车间,r,千瓦电才能以99.9%的概,率保证这个车间正常生产。由题意有,解：,记某时刻工作着的车床数为,X,，,则,X,B(200,0.6).,18,第五章,大数定律及中心极限定理,即供给282千瓦电就能以99.9%的概率保证这个车,间正常生产。,19,2 中心极限定理,第五章,大数定律及中心极限定理,用频率估计概率时误差的估计：,由上面的定理知,用这个关系式可解决许多计算问题。,20,2 中心极限定理,第五章,大数定律及中心极限定理,第一类问题是,第二类问题,是,问最少应做多少次试验？,这时只需求满足下式的最小的,n,第三类问题,是,21,2 中心极限定理,第五章,大数定律及中心极限定理,例2,今从良种率为1/6的种子中任取6000粒，问能,以0.99的概率保证在这6000粒种子中良种所占的,比例与1/6的差的绝对值不超过多少？相应的良种,粒数在哪个范围内？,解：,由德莫佛-拉普拉斯定理,22,第五章,大数定律及中心极限定理,故近似地有,23,2 中心极限定理,第五章,大数定律及中心极限定理,良种粒数,X,的范围为,24,2 中心极限定理,第五章,大数定律及中心极限定理,例3,系统由100个相互独立起作用的部件组成，每,个部件的损坏率为0.1。系统要正常工作，至少有,85个部件正常工作，求系统正常工作的概率。,解：,由德莫佛-拉普拉斯定理有,则,X,B(100,0.1)。,则整个系统能正常工作当且仅当,设,X,是损坏的部件数，,25,第五章,大数定律及中心极限定理,例4,一加法器同时收到20个噪声电压，,设它们是互相独立的随机变量，且都在区间(0,10)上,服从均匀分布，记,2 中心极限定理,26,一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的。假设每箱平均重50千克，标准差为5千克。若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977。,例5,解：,设最多可装,n,箱，保障不超载的概率大于0.977。,由中心极限定理有,第五章,大数定律及中心极限定理,2 中心极限定理,27,例5（续）,因此最多可装,98,箱，保障不超载的概率大于0.977。,第五章,大数定律及中心极限定理,28,1),了解大数定律的意义和内容，理解贝努里、辛,钦大数定律，了解切比晓夫大数定律。,第五章,小 结,要求：,1),大数定律的定义，贝努里、辛钦大数定律，切比,晓夫大数定律；,主要内容：,2),中心极限定理的定义，独立同分布的中心极限,理和德莫佛-拉普拉斯定理及应用。,2),理解中心极限定理的含义及其客观背景，要掌,握独立同分布的中心极限定理和德莫佛-拉普拉,斯定理， 会利用中心极限定理解决一般实际应,用问题。,29,
展开阅读全文