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福 州 大 学,36,方向导数的概念,复习,二元函数,在点,可微,，则,二元函数,在点,处的,梯度,为,方向导数存在,偏导数存在,可微,连续,方向：,f,(,x , y,),变化率最大的方向,模 :,f,(,x , y,),的最大变化率之值,二元函数,在点,处的,梯度,为,方向导数存在,偏导数存在,可微,连续,方向：,f,(,x , y,),变化率最大的方向,模 :,f,(,x , y,),的最大变化率之值,第七节 多元函数微分学的几何应用,一、空间曲线的切线与法平面,二、曲面的切平面与法线,三、全微分的几何意义,五、梯度,在场论中的意义,第六章,四、曲面,z,=,f,(,x,y,)在点,M,处的法向量,的方向余弦,一、,空间,曲线的切线与法平面,空间曲线,切线,：割线的极限位置.,设空间曲线,的方程为：,(1)式中的三个函数均可导.,法平面,：过切点且垂直于过该点切线的平面.,0,1. 曲线方程为,参数方程,的情况,考察割线趋近于极限位置切线的过程,故上式分母同除以 得,割线 的方程为,曲线,在,M,0,处的,切线方程,此处,要求,如个别为0, 则理解为分子为 0 .,不全为0,切线的方向向量:,称为曲线的,切向量,.,因此得,法平面方程,也是法平面的法向量,切线方程,法平面方程,参数式情况:,空间光滑曲线,切向量,若空间曲线方程为,法平面方程为,特殊地：,参数式情况:,空间光滑曲线,切向量,2. 曲线为,一般式,的情况,光滑曲线,当, 且有,时,可表示为,(,即 书P,104,情形2,),曲线,的,切向量,为,在点,处,在点,处的,切向量,为,曲线,空间曲线方程为,切线方程为,法平面方程为,(,一般式,的情况),则在点,有,结论：,解1,(,直接利用公式,),切线方程为,得,法平面方程为,由切向量,将所给方程的两边对,x,求导并移项,得,解2,采用推导法,所求切线方程为,法平面方程为,二、,曲面的切平面与法线,若 有光滑曲面,通过其上定点,对应点,M,切线方程为,不全为,0 .,则,在,且,点,M,的,切向量,为,任意,引一条光滑曲线,这里，,此平面称为,在该点的,切平面,.,上过点,M,的任何曲线在该点的切线都,在同一平面上.,1. 切平面：,法线方程,（通过,M,点并垂直于切平面的直线）,切平面方程,此时, 为函数,F,(,x,y,z,)在点,M,处的,梯度,曲面,在点,M,的,法向量,2.,曲面,在,M,处的 (一个),法向量,:,M,处切平面的法向量,解,令,切平面方程,法线方程,曲面,时,则在点,故当函数,法线方程,令,3.,特别,当光滑曲面,的方程为,显式,在点,有连续偏导数时,切平面方程,解,切平面方程为,法线方程为,(,即 书P,100,例2,),解,设 为曲面上的切点,切平面方程为,依题意，切平面方程平行于已知平面，得,因为 是曲面上的切点，,所求切点为,满足方程,因为 是曲面上的切点，,所求切点为,满足方程,切平面方程(1),切平面方程(2),在点,处的,切向量,为,曲线,补充,*三、全微分的几何意义,切平面上点的竖坐标的增量,曲面 在 处的切平面方程为：,(书 P,74-75,),四、曲面,z,=,f,(,x,y,),在点,M,处的法向量的方向余弦,曲面在,M,处的(一个)法向量,：,M,处切平面的法向量,其中,？,1.,n,方向向上,(与,Z,轴正向夹角为锐角)，设其方向角为 ,则,曲面,或,2.,n,方向向下,(与,Z,轴正向夹角为钝角)，设其方,向角为 ,则,其中,？,曲面,或,指向外侧,的法向量,指向内侧,的法向量,还如：书习题P,107,6,柱面,内,外,五、梯度,在场论中的意义： 等量面与等高线,1.三元函数 确定空间的数量场,表示等量面.,函数在一点的,梯度,垂直于该点等量面(或等量线) ,称为函数,f,的,等量线(等高线),.,则,L,*,上点,P,处的法向量为,同样, 对应函数,有,等值面,(,等量面,),当各偏导数不同时为零时,其上,点,P,处的法向量为,指向,函数增大的方向.,2. 梯度的几何意义,等高线的画法,播放,例如,注： 如果每两条等高线的高差均相等，则,xoy,面上等高线,越密,的地方对应的那部分曲面就,越“陡”,二、曲面的切平面与法线,（求法向量的方向余弦时注意,符号,）,提示,一、空间曲线的切线与法平面,（当空间曲线方程为一般式时，求切向量注意采用,推导法,）,1. 空间曲线的切线与法平面,切线方程,法平面方程,1),参数式情况.,空间光滑曲线,切向量,内容小结,2.空间曲线方程为,切线方程为,法平面方程为,(一般式,的情况),则在点,有,空间光滑曲面,曲面,在点,法线方程,1),隐式情况,.,的,法向量,切平面方程,3. 曲面的切平面与法线,空间光滑曲面,切平面方程,法线方程,2),显式情况.,法线的,方向余弦,法向量,思考题,思考题解答,设切点,依题意知 n/,切点满足曲面和平面方程,确定正数,使曲面,在点,解:,二曲面在,M,点的法向量分别为,二曲面在点,M,相切, 故,又点,M,在球面上,于是有,相切.,与球面, 因此有,练习,练 习 题,练习题答案,等高线的画法,等高线的画法,等高线的画法,等高线的画法,等高线的画法,等高线的画法,等高线的画法,等高线的画法,等高线的画法,等高线的画法,
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