抽样方法之分层抽样

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数学必修3,分层抽样,珠海市实验中学高一数学组,数理统计是研究如何有效地收集，整理，分析受随机影响的数据，并对所考虑的问题作出推断或预测，直至为采取决策和行动提供依据和建议的一门学科。它是一门应用性很强的学科，凡是有大量数据出现的地方，都要用到数理统计。现在，数理统计的内容已异常丰富，成为数学中最活跃的学科之一。教科书选择了数理统计中最基本问题来介绍这门学科的思想与方法。,数理统计所要解决的问题是如何根据样本来推断总体，第一个问题就是采集样本，然后才能作统计推断。,注意以下四点：,（,1,）它要求被抽取样本的总体的个体数有限；,（,2,）它是从总体中逐个进行抽取；,（,3,）它是一种不放回抽样；,（,4,）,它是一种等概率抽样。,简单随机抽样是在特定总体中抽取样本，总体中每一个体被抽取的可能性是等同的，而且任何个体之间彼此被抽取的机会是独立的。如果用从个体数为,N,的总体中抽取一个容量为,n,的样本，那么每个个体被抽取的概卒等于,一般地，设一个总体的个体数为,N,，,如果通过逐个,不放回地,抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样。,1,、简单随机抽样,抽签法,随机抽样的方法：,随机数表法,练习,:,将全班同学按学号编号,制作相应的卡片号签,放入同一个箱子里均匀搅拌,从中抽出,15,个号签,就相应的,15,名学生对看足球比赛的喜爱程度,(,很喜爱、喜爱、一般、不喜爱、很不喜爱）进行调查。分析并说明整个抽签过程中每个同学被抽到的概率是相等的。,1,、抽签法,先,将,总体中的所有个体（共,N,个）编号（号码可以从,1,到,N,），,并把号码写在形状、大小相同的号签上（号签可以用小球、卡片、纸条等制作），然后将这些号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌。抽签时，每次从中抽出,1,个号签，连续抽取,n,次，就得到一个容量为,n,的样本。对个体编号时，也可以利用已有的编号。例如学生的学号，座位号等。,2,、用随机数表法进行抽取,随机抽样并不是随意或随便抽取，因为随意或随便抽取都会带有主观或客观的影响因素,（,1,）随机数表是统计工作者用计算机生成的随机数，并保证表中的每个位置上的数字是等可能出现的。,（,2,）随机数表并不是唯一的，因此可以任选一个数作为开始，读数的方向可以向左，也可以向右、向上、向下等等。,（,3,）用随机数表进行抽样的步骤：将总体中个体编号；选定开始的数字；获取样本号码。,（,4,）由于随机数表是等概率的，因此利用随机数表抽取样本保证了被抽取个体的概率是相等的。,抽签法,随机抽样的方法：,随机数表法,练习,:,将全班同学按学号编号,制作相应的卡片号签,放入同一个箱子里均匀搅拌,从中抽出,15,个号签,就相应的,15,名学生对看足球比赛的喜爱程度,(,很喜爱、喜爱、一般、不喜爱、很不喜爱）进行调查。,上述问题中抽取样本的方法用,随机数表法来进行！,规则,1,：从,95,页表中第,6,行第,5,列的两位数开始，依次向下读数，到头后再转向它左面的两位数号码，并向上读数，以此下去，直到取足样本。,（,2,）要抽样了解某年参加高考考生的语文考试成绩，我们可以,提出问题,（,1,）一个礼堂有,30,排座位，每排有,40,个座位。一次报告会礼堂坐满了听众。会后为听取意见留下了座位号为,20,的,30,名听众进行座谈。这里选用了哪种抽取样本的方法？写出抽取过程。,按照科目分类：文科、理科、艺术、体育和外语五个层次。,按照地区分类：大城市、中等城市、城镇、乡镇四个层次。,按照学校分类：重点、非重点两个层次。,为了了解高一年级,12000,名学生的数学成绩,需要抽取容量为,120,的样本,请用合适的方法抽取,.,解,:(1),对全体学生的数学成绩进行编号,:1,2,3,12000.,(2),分段,:,由于样本容量与总体容量的 比是,1:100,我们将总体平均分为,100,个部分,其中每一部分包含,100,个个体,.,(3),在第一部分即,1,号到,100,号用简单随机抽样,抽取一个号码,比如是,50.,(4),以,50,作为起始数,然后顺序抽取,150,250,350,.11950.,这样就得到容量为,100,的一个样本,.,由于每排的座位有,40,个，各排每个号码被抽取的概率都是,第,1,排被抽取前，其他各排中各号码被抽取哪率也是 ，也就是,说被抽取的概率是 ，每排的抽样也是简单随机抽样，因此这种,抽样的方法是系统抽样。,（,1,）一个礼堂有,30,排座位，每排有,40,个座位。一次报告会礼堂坐满了听众。会后为听取意见留下了座位号为,20,的,30,名听众进行座谈。这里选用了哪种抽取样本的方法？写出抽取过程。,当总体的个数较多时，采用简单随机抽样太麻烦，这时将总体分成均衡的部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分中抽取,1,个个体，得到所需要的样本，这种抽样称为系统抽样。,2,系统抽样,系统抽样的步骤为：,（,1),先将总体中的,N,个体编号,.,有时可直接利用个体自身所带的号码,.,（,2,）确定分段间隔,k,。对编号均衡地分段，,是整数时， ；,不是整数时，从,N,中剔除一些个体，使得其为整数为止。,（,3,）第一段用简单随机抽样确定起始号码,l,。,（,4,）按照规则抽取样本：,l,；,l,k,；,l,2,k,；,l,nk,系统抽样时，将总体中的个体均分后的每一段进行抽样时，采用简单随机抽样；系统抽样每次抽样时，总体中各个个体被抽取的概率也是相等的,;,如总体的个体数不能被样本容量整除时，可以先用简单随机抽样从总体中剔除几个个体，然后再按系统抽样进行。需要说明的是整个抽样过程中每个个体被抽到的概率仍然相等。,系统抽样与简单随机抽样比较,有何优、缺点？,1,、系统抽样比简单随机抽样更容易实施；,2,、系统抽样的效果会受个体编号的影 响，而简单随机抽样的效果不受个体编号的影响；,3,、系统抽样比简单随机抽样的应用范围广。,3,分层抽样,当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比例进行抽样。其中所分成的各部分叫做层。,由于分层抽样的要求不同，各层的抽样的样本容量也不相同，所以，应当按照实际情况，合理地将样本容量分配到各个层，以确保抽样的合理性，研究时可以根据不同的要求来分层抽样。,分层抽样适用于总体由差异明显的几部分组成的情况，每一部分称为层，在每一层中实行简单随机抽样。这种方法较充分地利用了总体己有信息，是一种实用、操作性强的方法。,分层抽样的一个重要问题是一个总体如何分层。分层抽样中分多少层，要视具体情况而定。总的原则是：层内样本的差异要小，而层与层之间的差异尽可能地大，否则将失去分层的意义。,例,2,、一个单位的职工有,500,人，其中不到,35,岁的有,125,人，,35,49,岁的有,280,人，,50,岁以上的有,95,人。为了了解该单位职工年龄与身体状况的有关指标，从中抽取,100,名职工作为样本，应该怎样抽取？,分析：这总体具有某些特征，它可以分成几个不同的部分：不到,35,岁；,35,49,岁；,50,岁以上，把每一部分称为一个层，因此该总体可以分为,3,个层。由于抽取的样本为,100,，所以必须确定每一层的比例，在每一个层中实行简单随机抽样。,解：抽取人数与职工总数的比是,100,：,500,1,：,5,，则各年龄段（层）的职工人数依次是,125,：,280,：,95,25,：,56,：,19,，然后分别在各年龄段（层）运用简单随机抽样方法抽取。,答：在分层抽样时，不到,35,岁、,35,49,岁、,50,岁以上的三个年龄段分别抽取,25,人、,56,人和,19,人。,分层抽样的抽取步骤：,（,1,）总体与样本容量确定抽取的比例。,（,2,）由分层情况，确定各层抽取的样本数。,（,3,）各层的抽取数之和应等于样本容量。,（,4,）对于不能取整的数，求其近似值。,4,三种抽样方法的比较,一个电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为,12000,人，其中持各种态度的人数如下所示：,很喜爱 喜爱 一般 不喜爱,2400 4200 3800 1600,打算从中抽取,60,人进行详细调查，如何抽取？,5,课堂练习,6,、布置作业,教科书习题,2,1,第,4,、,5,、,6,题。,