不定积分公式练习

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,常用微分公式,例2.,求,解:,例3.,求,解:,例4.,求,f,(,x,),=,x,2,+1,x,0.,解:,F,(,x,),=,而要使,F,(,x,)成为,f,(,x,)在R上的原函数，必须,F,(,x,)连续，从而,C,1,0，,C,2,1，因此满足条件的函数为,F,(,x,),=,故,例5,例6,例7,例8,解：,因为总成本是总成本变化率,y,的原函数，所以,已知当,x,=,0 时，,y,=1,000，,例9,某厂生产某种产品，每日生产的产品的总成,成本为,1000元，求总成本与日产量的函数关系。,因此有,C,=1000，,作业：,P137：5 (2)（5) (10) (15).,例2.,解：,观察,中间变量,u=x,2,+,1,但,u=x,2,+,1的导数为,u,=,2,x,在被积函数中添加2个因子,u,因此,例3.,解:,u,u,d,u,u,=,(,x,),例4.,解：,能想出原函数的形式吗？,记得这个公式吗？如何用这个公式？,例5.,求,解：,例6,解：,例7,求,解,例8,求,解,熟练以后就不需要进行,转化了,例9,求,解,例11 求,解,正弦余弦三角函数积分偶次幂降幂,齐次幂拆开,放在微分号,解,例12,求,例13 求,例14,求,解,例15,求,解,说明,当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.,例16,求,解,利用积化和差公式，得,解,类似地可推出,例17,求,解,+,x,x,dx,1,例18,解,dx,x,x,-,4,cos,4,2,sin,19,例,解,dx,x,x,x,+,ln,1,2,ln,21,例,解,dx,xe,x,x,x,+,+,),1,(,),1,(,22,例,例,1,解,例2,求,解,例3,求,解,令,注,三角代换的目的是化掉根式.,例,4,解,例1,求,解,令,考虑到被积函数中的根号是困难所在，故,例,2,解,例,3,解,例,4,解,例,5,解,配方,3.倒数代换,例1,求,令,解,例2,求,解,令,分母的次幂太高,例,3,解,例,4,解,例1,求积分,解,由万能公式,例3,求积分,解（一）,解（二）,变形万能公式,令,解（三）,不用万能公式.,结论,万能代换不一定是最佳方法, 故三角有理式的计算中先考虑其它手段, 不得已才用万能置换.,例4,求积分,解,例,5,解,例,6,解,例,7,解,利用恒等变换,5 双曲代换,积分中为了化掉根式还可用双曲代换.,令,例3,求积分,解,例4,求积分,解,若被积函数是幂函数和对数函数的乘积，就考虑设对数函数为 .,例5,求积分,解,令,若被积函数是幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设反三角函数为u.,例6,求积分,解,例7,求积分,解,复原法(回归法,循环法)!,例7,解,消去(超越函数)法!,例,8,解,递推关系可以由低次幂函数的积分计算出高次幂函数的积分.,例9,解,例10,求积分,解,用分部积分法，当,积分过程常要兼用换元法与分部积分法。,例11,求积分,解,解,解,两边同时对 求导, 得,连用分部积分法,解：,同理可求不定积分,例14.,解,例16,解,例,17,解,则,记,把真分式化为部分分式之和，再把上面的待定的常数确定，这种方法叫待定系数法,例1,通分比较分子：,代入特殊值来确定系数,取,取,取,并将 值代入,例2,例4,求积分,解,例6,求积分,解,令,例10,求积分,解,令,例11,求积分,解,令,说明,无理函数去根号时, 取根指数的,最小公倍数,.,例1,例2,三、其他典型例题,解：,解：,（分子是分母的导数）,凑导数法!,例3,解：方法1,例4,例5,u,x,=,sin,令,被积函数为余弦的奇函数,采用正弦换元,方法2,本例也可以直接采用凑微分的方法,例7,例8,例9,解,例10,解,例11,解,凑导数法!,例12,解,(倒代换,尽管可采用割换),例14,解,例15,解,凑整法,例16,解,例18,解,例19,解,例,20,解,凑导数法,双曲函数,例,21,解,例,22,解,例,23,解,