教学目标掌握线性变换的三种运算及

,*,返回,后页,前页,教学目标：,掌握线性变换的三种运算及,运算规律、可逆线性变换的逆变换的性质、,线性变换的多项式,6.2 线性变换的运算,授课题目,：,6.2 线性变换的运算,授课时数：,2,学时,教学重点与难点：,三种运算及算律,1,一. 线性变换的三种运算,记号:,L,(,V,) 线性空间,V,的一切线性变换所,组成的集合.,L,(,V,),是,V,的一个线性变换.,设,L,(,V,)，规定它们的和,+,为,(,+,)(,),(,)+,(,),V,.,1 加法,则,+,也是,V,的一个线性变换.,2,证,(+ )(,+)(,+)+ (,+),(,)+()+(,)+(),(,)+(,)+()+(),(+)(,)+(+)()，,(,+,)(,k,)=,(,k,)+,(,k,),=,k,(,)+,(,k,)=,k,(,(,)+,(,),=,k,(,+,)(,).,其中,是,V,中任意向量，,k,是,F,中的任意数.,3,设,L,(,V,),k,F, 定义,k,与,的数乘积,k,为,(,k,)(,) =,k,(,),V,.,2 数乘,容易验证，,k,也是,V,的一个线性变换.,L,(,V,)中的加法与数乘运算满足线性空间的八条,基本规律：,（2）,+,+,；,4,（3）,+,；,（4）对每个,L,(,V,)，定义它的负变换,-,为,(,-,)(,),-,(,)，,V,.,容易证明，,-,也是,V,的线性变换，且有,+(,-,),；,(5),k,（,+,）=,k,+,k,;,(6) (,k,+,l,),=,k,+,l,;,(7) (,kl,) =,k,(,l,);,5,其中,L,(,V,) ,是,V,的零变换，,k,l,F,.,(8) 1,=,.,这说明,L,(,V,)对上面定义的加法和数乘法构成数,域,F,上的一个线性空间.,还可规定,L,(,V,) 中的减法：,-,+（,-,）,6,线性空间的线性变换作为映射的特殊情形可以,定义乘法（映射的合成）.,则,也是,V,的线性变换.,3 乘法,设,L,(,V,)，定义它们的乘积,为,(,),(,(,),V,7,(,)(,k,),(,(,k,),(,k,(,) ,k,(,(,),k,(,)(,),证,对任意的,、,V,，,k,F,(,)(,+,),(,(,+,),(,(,)+,(,),(,(,)+,(,(,),(,)(,)+(,)(,);,8,1）结合律：,（,）,；,（,）,2）对于,k,F,，有,k,（,）（,k,）,（,k,）；,3）左、右分配律成立：,（,+,）,+,（,+,）,+,4）乘法有单位元,，使,；,与矩阵的乘法一样，线性变换的乘法满足：,9,6）乘法有零因子存在，即由,，,不能断定必有,或,.,因而，消去律不成立.,5）在一般情况下，,；,上面的,，,，,是,V,的线性变换，,是,零变换，,是,V,的单位变换，,k,是,F,中的数.,10,二,.,线性变换的逆变换,设,V,是数域,F,上的线性空间，如果,是,V,的可逆线性变换，那么它的逆,-,1,也是,V,的,线性变换.,证,对任意的,，,V,和,k,F,，有,-1,(,+,)=,-1,(,-1,)(,)+(,-1,(,),=,-1,(,(,-1,(,)+,-1,(,),=,-1,(,-1,(,)+,-1,(,)=,-1,(,)+,-1,(,).,11,-1,(,k,)=,-1,(,k,(,-1,)(,),=,-1,(,(,k,-1,(,),=,-1,(,k,-1,(,),=,k,-1,().,三、线性变换的多项式,由三个线性变换的乘法的结合律成立，可推得,n,(3)个线性变换乘法的结合律成立.,因此，我们可以合理地定义线性变换的n次幂:,1,. 线性变换的,幂,12,其中,N,表示正整数集,为恒等变换.,设,f,(,x,) =,a,0,+,a,1,x,+,a,n,x,n,F,x,L,(,V,),以,代替,x,，以,a,0,代替,a,0,，得到,V,的一个线性,变换：,f,(,),a,0,+,a,1,+,a,n,n,叫做,的多项式.,2,. 线性变换的多项式,13,如果在,F,x,中，,u,(,x,) =,f,(,x,) +,g,(,x,),v,(,x,) =,f,(,x,),g,(,x,). 则,u,(,) =,f,(,)+,g,(,),v,(,) =,f,(,),g,(,).,例,对于,R,2,中的线性变换,(,x,y,) = ( 0 ,x,) ,(,x,y,) = (,x, 0 ),(,x,y,) ,R,2,求,，,，,-,3,，,2,和,2,.,3,. 线性变换多项式的可代入性,14,2,(,x,y,)=,(,(,x,y,)=(,x, 0)=(,x, 0).,解对任意的(,x,y,) ,R,2,.,(,x,y,)=,(,(,x,y,)=,(,x, 0)=(0,x,);,(,x,y,)=,(,(,x,y,)=,(0 ,x,)=(0 , 0);,(,-,3,)(,x,y,)=,(,x,y,)+(,-,3,) (,x,y,),=(0 ,x,),-,(3,x, 0)=(,-,3,x,x,);,2,(,x,y,)=,(,(,x,y,)=,(0 ,x,)=(0 , 0);,15,（3）,2,，,，但,，,故线性变换的乘法不满足消去率.,（2）,，但,，,，,即线性变换的乘法有零因子.,（1）,，,故线性变换的乘法不满足交换律.,从这个例子中我们可以看出：,16,最后我们指出，由于在,L,(V)中引入了三种,运算，,L,(,V,)中一些较复杂的线性变换可以用较,简单的线性变换表示，正如一些较复杂的函数,可通过函数的运算用初等函数表示一样.,习题6.2,1.设,、,是线性空间,F,x,的线性变换，,(,f,(,x,),f,(,x,),(,f,(,x,),x f,(,x,)，,f,(,x,) ,F,x,.证明：（1）,，（2）,-,.,17,2.设,为线性空间V的两个线性变换.证明：,如果,-,=,，则对任意自然数,n,都有,n,-,n,=n,n-1,.,3.设,L,(,V,).如果,k,-1,(,) 0.但,k,(,)=0.,证明：,(,), ,k,-1,(,)(,k,0)线性无关.,18,