理论力学第9章 动量矩定理及其应用

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,TSINGHUA UNIVERSITY,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,TSINGHUA,UNIVERSITY,范钦珊教育与教学工作室,理论力学,西安航空学院,赵银燕,教授,西安航空学院机械学院力学基础部,第,9,章 动量矩定理及其应用,第,3,篇 工程动力学基础,第,9,章 动量矩定理及其应用,动量定理和动量矩定理在数学上同属于一类方程，即矢量形式的微分方程。而质点系的动量和动量矩，可以理解为动量组成的系统（即动量系）的基本特征量,动量系的主矢和主矩。二者对时间的变化率分别等于外力系的两个基本特征量,力系的主矢和主矩。,本章主要研究质点系的动量矩定理和刚体平面运动微分方程。,9.2,动量矩定理及其守恒形式,9.3,相对质心的动量矩定理,9.4,刚体定轴转动微分方程与,平面运动微分方程,9.6,结论与讨论,第,9,章 动量矩定理及其应用,9.1,质点与刚体的动量矩,9.5,动量和动量矩定理在碰撞问题中的应用,？,谁最先到,达顶点,第,9,章 动量矩定理及其应用,？,没有尾桨的直升飞机是怎么飞起来的,第,9,章 动量矩定理及其应用,第,9,章 动量矩定理及其应用,返回,9.2,动量矩定理及其守恒形式,9.3,相对质心的动量矩定理,9.4,刚体定轴转动微分方程与,平面运动微分方程,9.6,结论与讨论,9.1,质点与刚体的动量矩,9.5,动量和动量矩定理在碰撞问题中的应用,9.1,质点与刚体的动量矩,质点系的动量矩,刚体的动量矩,刚体对轴的转动惯量,质点系的动量矩,称为质点的动量矩，也就是物理学中的角动量。,质点的动量矩是定位矢，其作用点在所选定的矩心,O,上。,9.1,质点与刚体的动量矩,考察由,n,个质点组成的质点系，如图所示。其中第,i,个质点的质量、位矢和速度分别为,m,i,、,r,i,、,v,i,。质点的动量对点,O,之矩为,质点系的动量矩,质点系的动量矩即是动量系的主矩，它是质点系中各质点的动量对点,O,之矩的矢量和：,质点系的动量矩是定位矢，其作用点在所选矩心,O,上。它是度量质点系整体运动的又一基本特征量。,质点与刚体的动量矩,质点系的动量矩,质点与刚体的动量矩,将质点系的动量矩矢量,L,O,向直角坐标系中个轴分别投影，即可得到质点系对于各轴的动量矩：,质点系对于各轴的动量矩为代数量，采用右手定则：右手握拳，四指与动量矩的转向一致，拇指指向与坐标轴正向一致者为正，反之为负。,质点与刚体的动量矩,刚体的动量矩,质点与刚体的动量矩,刚体的动量矩,作为特殊质点系的刚体，其动量矩与刚体的运动形式有关。,质点与刚体的动量矩,刚体的动量矩,平移刚体对,O,点的动量矩,设平移刚体的总质量为,m,，由于其运动特征是刚体上每一质点的速度均相等，即,v,i,=,v,，则有,这一结果表明，平移刚体可以看成是一质量集中在质心处的质点，只要确定刚体质心的矢径,r,C,，即可应用上式确定平移刚体对,O,点的动量矩。,设刚体饶定轴,z,转动，如图所示，其角速度与角加速度分别为,和,。刚体上第,i,个质点的质量为,m,i,，到轴,z,的距离为,r,i,，则刚体对定轴的动量矩为,质点与刚体的动量矩,刚体的动量矩,定轴转动刚体对转动轴的动量矩,J,z,称为刚体对轴,z,的转动惯量,(moment of inertial),。,质点与刚体的动量矩,刚体的动量矩,这表明：定轴转动刚体对于转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与角速度的乘积。,定轴转动刚体对转动轴的动量矩,质点与刚体的动量矩,刚体对轴的转动惯量,质点与刚体的动量矩,刚体对轴的转动惯量,对于简单形状均质物体的转动惯量，有表可查。在计算时还要特别说明以下两点：,若已知刚体对某轴,z,的回转半径,z,和刚体的质量,m,，则其转动惯量可按下式计算,刚体对任一轴,z,的回转半径或惯性半径为,1.,回转半径（或称惯性半径）,质点与刚体的动量矩,刚体对轴的转动惯量,1.,回转半径（或称惯性半径）,即物体的转动惯量等于该物体的质量与回转,A,半径平,方的乘积。,上式表明，若将物体的质量全部集中于一点，并令该质点对于,z,轴的转动惯量等于物体的转动惯量，则质点到,z,轴垂直距离即为回转半径。,质点与刚体的动量矩,刚体对轴的转动惯量,2,平行移轴定理,若已知物体对于过质心轴的转动惯量，则可通过下列公式计算出对其他平行轴的转动惯量：,式中,J,z,表示刚体对任一轴,z,的转动惯量；,J,zC,为刚体对通过质心,C,且与,z,轴平行的轴,z,C,的转动惯量；,m,为刚体的质量；,d,为,z,与,z,C,轴之间的距离。,质点与刚体的动量矩,刚体对轴的转动惯量,2,平行移轴定理,上述关系称为,平行移轴定理,，它表明，,刚体对任一轴,z,的转动惯量，等于刚体对通过质心并与轴,z,平行的轴,z,C,的转动惯量，加上刚体质量与两轴间距离平方的乘积。,第,9,章 动量矩定理及其应用,返回,9.2,动量矩定理及其守恒形式,9.3,相对质心的动量矩定理,9.4,刚体定轴转动微分方程与,平面运动微分方程,9.6,结论与讨论,9.1,质点与刚体的动量矩,9.5,动量和动量矩定理在碰撞问题中的应用,9.2,动量矩定理与动量矩守恒,质点系相对固定点的动量矩定理,动量矩定理积分形式,动量矩定理的投影形式,动量矩定理,的,守恒形式,动量矩定理及其守恒形式,质点系相对固定点的动量矩定理,动量矩定理及其守恒形式,质点系,相对固定点,的动量矩定理,质点的动量矩定理：,式中,F,为作用在质点上的力；,M,O,为力对固定点,O,之矩。,对于质点系中的所有质点， 假设其第,i,个质点所受的力，可以分为内力和外力，分别用,F,i,i,和,F,e,i,表示，则有,将等号两侧对整个质点系中所有质点求和，得到,注意到微分和求和运算可以互换，以及内力必成对出现的特点，上式可简化为,这一结果表明，,质点系相对固定点的动量矩对时间的一阶导数等于作用在该质点系上的外力系对同一点的主矩,。这就是,质点系相对定点的动量矩定理,(theorem of the moment of momemtum with respect to a given point),。以后,如,不特,别,说明,，则,动量矩定理都是指对惯性参考系的固定点。,动量矩定理及其守恒形式,质点系,相对固定点,的动量矩定理,动量矩定理积分形式,动量矩定理及其守恒形式,将上述二式积分，得到,动量矩定理积分形式,动量矩定理及其守恒形式,以上二式均为质点系动量矩定理的积分形式，与上一章介绍的冲量定理一起，构成了用于解决碰撞问题的基本定理。,动量矩定理积分形式,动量矩定理及其守恒形式,动量矩定理与动量矩守恒,动量矩定理的投影形式,比照力对点之矩与力对轴之矩的关系，可以得到动量对点之矩在过该点之轴上的投影等于该动量对该轴之矩。,这就是质点系动量矩定理的投影形式，也就是质点系相对定轴的动量矩定理,动量矩定理与动量矩守恒,动量矩定理的投影形式,动量矩定理与动量矩守恒,动量矩定理,的,守恒形式,若外力矩,则,质点系对该点的动量矩,为常矢量,这表明,质点系对该点的动量矩守恒,动量矩定理与动量矩守恒,动量矩定理,的,守恒形式,当外力对某定轴的主矩等于零时，质点系对该轴的动量矩守恒。,例如,其中,C,1,为常数。,动量矩定理与动量矩守恒,动量矩定理,的,守恒形式,？,谁最先到,达顶点,动量矩定理与动量矩守恒,动量矩定理,的,守恒形式,第,9,章 动量矩定理及其应用,返回,9.2,动量矩定理及其守恒形式,9.3,相对质心的动量矩定理,9.4,刚体定轴转动微分方程与,平面运动微分方程,9.6,结论与讨论,9.1,质点与刚体的动量矩,9.5,动量和动量矩定理在碰撞问题中的应用,相对质心的动量矩定理,在质点系相对惯性参考系中固定点（或固定轴）的动量矩定理中，动量矩由系统的绝对运动所确定。,工程实际中往往需要研究质点系在任意状态下的动力学问题，这时需要建立相对任意动点和任意动系的动量矩定理。,这里只讨论质点系相对质心的动量矩定理，一方面是因为它有广泛的应用价值，另一方面相对于质点系的质心或通过质心的动轴，动量矩定理仍保持了简单的形式。,相对质心的动量矩定理,质点系相对质心的动量矩,质点系相对质心的动量矩定理,相对质心的动量矩定理,质点系相对质心的动量矩,相对质心的动量矩定理,质点系相对质心的动量矩,Oxyz,为固定坐标系，建立在质心,C,上随质心平移的动坐标系为,Cxyz,。质点系内第,i,个质点的质量为,m,i,，相对质心的位矢为,r,i,，相对质心的速度为,v,i,r,。,相对质心的动量矩定理,质点系相对质心的动量矩,质点系相对质心的动量矩,根据动量矩定义，质点系相对质心的动量矩应为,其中,v,i,为第,i,个质点的绝对速度。,则有,相对质心的动量矩定理,质点系相对质心的动量矩,可见，计算质点系相对质心的动量矩，用绝对速度和相对速度结果都是一样的。对于一般运动的质点系，通常可分解为随质心的平移和绕质心的转动，因此，用上式中的第二项计算质点系相对质心的动量矩更方便些。,质点系相对质心的动量矩,相对质心的动量矩定理,质点系相对质心的动量矩,质点系相对固定点的动量矩与,相对质心的动量矩之间的关系,质点系相对固定点的动量矩与质点系相对质心的动量矩之间存在确定的关系。,质点系相对固定点的动量矩为,注意到绝对位矢与相对位矢之间的关系,相对质心的动量矩定理,质点系相对质心的动量矩,质点系相对固定点的动量矩与,相对质心的动量矩之间的关系,这就是质点系相对固定点的动量矩与质点系相对质心的动量矩之间的关系。,相对质心的动量矩定理,质点系相对质心的动量矩定理,相对质心的动量矩定理,质点系相对质心的动量矩定理,根据上式和质点系对固定点的动量矩定理，,相对质心的动量矩定理,质点系相对质心的动量矩定理,这就是质点系相对质心的动量矩定理,(theorem of the moment of momentum with respect to the center of mass),，它表明：,质点系相对质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩,。该定理在形式上与质点系相对固定点的动量矩定理完全相同。,相对质心的动量矩定理,质点系相对质心的动量矩定理,需要注意的是，这里所涉及的随质心运动的动坐标系，一定是平移坐标系。定理只适用于质心这一特殊的动点，对其它动点，定理将出现附加项。,对于刚体，质心运动定理建立了外力与质心运动的关系；质点系相对质心的动量矩定理建立了外力与刚体在平移参考系内绕质心转动的关系；二者完全确定了刚体一般运动的动力学方程，为研究刚体系的动力学问题奠定了基础。,第,9,章 动量矩定理及其应用,返回,9.2,动量矩定理及其守恒形式,9.3,相对质心的动量矩定理,9.4,刚体定轴转动微分方程与,平面运动微分方程,9.6,结论与讨论,9.1,质点与刚体的动量矩,9.5,动量和动量矩定理在碰撞问题中的应用,刚体定轴转动微分方程与,平面运动微分方程,刚体定轴转动微分方程,刚体平面运动微分方程,刚体定轴转动微分方程与,平面运动微分方程,刚体定轴转动微分方程,刚体定轴转动微分方程与,平面运动微分方程,刚体定轴转动微分方程,可以直接得到刚体定轴转动微分方程。,设刚体绕定轴,z,转动，如图所示，其角速度与角加速度分别为,和,。刚体上第,i,个质点的质量为,m,i,，到轴,z,的距离为,r,i,，则刚体对定轴的动量矩为,其中，,J,z,为刚体对轴,z,的转动惯量,(moment of inertial),。,刚体定轴转动微分方程与,平面运动微分方程,刚体定轴转动微分方程,该式为刚体定轴转动微分方程。即刚体对定轴转动的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用在刚体上的主动力系对该轴之矩。由于工程上作定轴转动的刚体很普遍，所以上式具有重要意义。,刚体定轴转动微分方程与,平面运动微分方程,刚体定轴转动微分方程,例 题,1,刚体定轴转动微分方程与,平面运动微分方程,刚体定轴转动微分方程,图示钟摆简化模型中，已知均质细杆和均质圆盘的质量分别为,m,1,、,m,2,，杆长为,l,，圆盘直径为,d,。,试求：,钟摆作小摆动时的周期。,刚体定轴转动微分方程与,平面运动微分方程,分析受力，建立钟摆的运动微分方程,j,m,1,g,m,2,g,F,x,F,y,刚体定轴转动微分方程,例 题,1,解：,摆绕,O,轴作定轴转动。设,j,为任意时刻转过的角度，规定逆时针为正。根据定轴转动的微分方程,刚体定轴转动微分方程与,平面运动微分方程,刚体定轴转动微分方程,例 题,1,微小摆动时，有,化为标准形式，,摆的周期为,摆的周期为,根据物理学中关于转动惯量的定义,其中,J,O,1,和,J,O,2,分别为杆和圆盘对于转动轴的转动惯量。,刚体定轴转动微分方程与,平面运动微分方程,刚体定轴转动微分方程,例 题,1,j,m,1,m,2,均质圆轮半径为,R,、,质量为,m,。,圆轮在重物,P,带动下绕固定轴,O,转动，已知重物重量为,W,。,求,：重物下落的加速度,O,P,W,刚体定轴转动微分方程与,平面运动微分方程,刚体定轴转动微分方程,例 题,2,解：,设圆轮的角速度和角加速度分别为,和,，重物的加速度为,a,P,。,圆轮对,O,轴,的,动量矩,重物对,O,的,轴动量矩,系统对,O,的,轴总动量矩,P,O,W,a,P,刚体定轴转动微分方程与,平面运动微分方程,刚体定轴转动微分方程,例 题,2,解：,系统对,O,的,轴总动量矩,应用动量矩定理,P,O,W,a,P,刚体定轴转动微分方程与,平面运动微分方程,刚体定轴转动微分方程,例 题,2,解：,应用动量矩定理,a,P,=,R,P,O,W,a,P,刚体定轴转动微分方程与,平面运动微分方程,刚体定轴转动微分方程,例 题,2,刚体定轴转动微分方程与,平面运动微分方程,刚体平面运动微分方程,刚体定轴转动微分方程与,平面运动微分方程,刚体平面运动微分方程,本节将质心运动定理和相对质心动量矩定理应用于刚体平面运动动力学分析。所用方法与所得的结果不仅对刚体平面运动动力学，而且对现代多刚体系统动力学都有重要意义。,刚体平面运动微分方程,运动学中，确定作平面运动刚体的位置，可由基点的位置与刚体绕基点转动的转角确定。,取质心,C,为基点，其坐标为,x,C,、,y,C,，,设,D,为刚体上任意一点，,CD,与,x,轴的夹角为,j,则刚体的位置可由,x,C,、,y,C,和,j,确定。,x,C,y,C,刚体定轴转动微分方程与,平面运动微分方程,刚体平面运动微分方程,刚体平面运动微分方程,将刚体的运动分解为随质心的平移和绕质心的转动两部分。当刚体具有质量对称面、且质量对称面平行于运动平面时，则在固连于质心的平移参考系中，刚体对质心的动量矩为,其中,J,C,为刚体对通过质心,C,且与运动平面垂直的轴的转动惯量，,为角速度。,x,C,y,C,刚体定轴转动微分方程与,平面运动微分方程,刚体平面运动微分方程,刚体平面运动微分方程,当作用于刚体上的力系等价于质量对称面内的一个平面力系时，对刚体平面运动，应用质心运动定理和相对质心动量矩定理 ，有,x,C,y,C,刚体定轴转动微分方程与,平面运动微分方程,刚体平面运动微分方程,这两个方程都是刚体平面运动的微分方程。,或者,需要指出的是，如果上述投影方程中各式等号的左侧各项均恒等于零，则得到静力学中平面力系的平衡方程，即外力系的主矢、主矩均等于零。因此，质点系动量定理与动量矩定理，不但完全确定了刚体一般运动的动力学方程，而且还完成了对刚体平面运动的特例,平衡情形的静力学描述。,刚体定轴转动微分方程与,平面运动微分方程,刚体平面运动微分方程,刚体平面运动微分方程,例 题,3,半径为,r,的匀质圆盘从静止开始，沿倾角为,的斜面无滑动的滚下。,试求：,1,圆轮滚至任意位置时的质心加速度,a,C,；,2,圆轮在斜面上不打滑的最小静摩擦因数。,刚体定轴转动微分方程与,平面运动微分方程,刚体平面运动微分方程,a,C,解：,分析圆轮受力,圆轮作平面运动。根据刚体平面运动微分方程，有,F,F,N,刚体定轴转动微分方程与,平面运动微分方程,刚体平面运动微分方程,例 题,3,1,确定圆轮质心的加速度,刚体定轴转动微分方程与,平面运动微分方程,刚体平面运动微分方程,例 题,3,运动学补充关系,a,C,F,F,N,刚体定轴转动微分方程与,平面运动微分方程,刚体平面运动微分方程,例 题,3,解：,2,确定圆轮在斜面上不滑动的最小静摩擦因数,此即圆轮在斜面上不滑动的最小静摩擦因数。,a,C,F,F,N,刚体定轴转动微分方程与,平面运动微分方程,刚体平面运动微分方程,例 题,3,3.,本例讨论,如果圆轮可以在斜面上滑动，本例将如何求解？补充方程将如何建立？,a,C,F,F,N,刚体定轴转动微分方程与,平面运动微分方程,刚体平面运动微分方程,例 题,4,均质杆,AB,长为,l,，放置于铅垂平面内，杆一端,A,靠在光滑的铅垂墙上，另一端,B,放在光滑的水平面上，与水平面的夹角为,0,。然后，令杆由静止状态滑下。,求：,杆在任意位置时的角加速度。,F,A,F,B,m,g,解：,分析,受力,杆作平面运动，按平面运动微分方程可列出,刚体定轴转动微分方程与,平面运动微分方程,刚体平面运动微分方程,例 题,4,刚体定轴转动微分方程与,平面运动微分方程,刚体平面运动微分方程,例 题,4,解：,杆作平面运动，受力如图。按平面运动微分方程可列出,式中有五个未知量，如果要求得全部未知量，还需两个运动学补充方程。显然，这一方法比较麻烦。如果应用相对特殊瞬心的动量矩定理，求解就比较方便。,F,A,F,B,m,g,相对特殊瞬心的动量矩定理：,平面运动过程中，如果刚体的质心,C,到速度瞬心,C,*,的距离保持不变时，则质点系相对速度瞬心的动量矩对时间的导数等于质点系外力对同一点的主矩，即,C,*,注意到杆的质心到速度瞬心的距离恒等于,l,/2,，故可应用相对特殊瞬心的动量矩定理。这时，,刚体定轴转动微分方程与,平面运动微分方程,刚体平面运动微分方程,例 题,4,v,B,v,A,对上式积分可以得到杆的角速度，进而可以比较方便地求出其余未知量。,刚体定轴转动微分方程与,平面运动微分方程,刚体平面运动微分方程,例 题,4,C,*,v,B,v,A,第,9,章 动量矩定理及其应用,返回,9.2,动量矩定理及其守恒形式,9.3,相对质心的动量矩定理,9.4,刚体定轴转动微分方程与,平面运动微分方程,9.6,结论与讨论,9.1,质点与刚体的动量矩,9.5,动量和动量矩定理在碰撞问题中的应用,9.6,结论与讨论,几个需要注意的关系,与碰撞有关的问题,结论与讨论,几个需要注意的关系,结论与讨论,几个需要注意的关系,质点系的外力系,(,F,1,F,2, ,F,n,),和动量系,(,m,1,v,1,m,2,v,2, ,m,n,v,n,),是质点系动力学的两个重要矢量系。事实上，二者数学意义上是完全相同的矢量系。因而，它们的基本特征量均是主矢和主矩，其运算法则、投影方式以及对点之矩和对轴之矩的关系都是相同的。,外力系与动量系,作用在质点系上的外力系,力系及其基本特征量,结论与讨论,几个需要注意的关系,外力系与动量系,作用在质点系上的动量系,动量系及其基本特征量,结论与讨论,几个需要注意的关系,外力系与动量系,之一：,质点系动量定理与相对定点或定轴动量矩定理,之二：,质点系动量定理与相对质心,(,平移系,),动量矩定理,之三：,刚体平面运动微分方程,结论与讨论,几个需要注意的关系,外力系与动量系,之一：,质点系动量定理与相对定点或定轴动量矩定理,质点系动量定理,质点系相对定点动量矩定理,质点系相对定轴动量矩定理,结论与讨论,几个需要注意的关系,定轴转动的特殊情形,外力系与动量系,之二：,质点系动量定理与相对质心,(,平移系,),动量矩定理,质点系动量定理,质点系相对质心,(,平移系,),动量矩定理,描述质点系质心的运动,描述质点系相对质心的运动,结论与讨论,几个需要注意的关系,外力系与动量系,之三：,刚体平面运动微分方程,动量定理和相对质,心动量矩定理描述平面运动刚体的总体运动。,描述刚体质心的运动,描述刚体相对质心,(,平移系,),的转动,结论与讨论,几个需要注意的关系,外力系与动量系,之三：,刚体平面运动微分方程,动量定理和相对质心动量矩定理描述平面运动刚体的总体运动。,动力学,静力学,静力学是动力学的特殊情形,结论与讨论,几个需要注意的关系,外力系与动量系,外力系与动量系的主矢和主矩分别对应相关,结论与讨论,几个需要注意的关系,外力系与动量系,结论与讨论,几个需要注意的关系,刚体定轴转动运动微分方程与,质点系相对定轴的动量矩定理,请读者仔细分析对比,例题,1,和,例题,2,，前者是刚体定轴转动的问题；后者是质点系的问题。求解这两种问题时，采用了不同的方法。,例题,2,中，实际上是刚体系的情形，而且这一刚体系以定轴转动的圆盘为主体，因而，用对定轴的动量矩定理求解比较方便。定轴转动的微分方程源于对定轴的动量矩定理，但是因为用到了定轴转动的运动关系，又有其特殊性。正确地认识、理解和区分两类既联系又有区别的定理，对正确地解决工程问题是十分重要的。,结论与讨论,几个需要注意的关系,转动惯量与回转半径,刚体的转动惯量,刚体对轴的转动惯量还可用回转半径或惯性半径（,inertial radius,）表示。回转半径,z,与转动惯量,J,z,的关系为,回转半径的含义是，若将刚体的质量,m,集中在距离,z,轴为,z,的圆周上，其转动惯量与原刚体的转动惯量相等。,本章作业,9,2,9,4,9,9,9,15,9,18,谢 谢 大 家,返回,