第2章密度矩阵

,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,1、密度矩阵,激活介质包含有大量的原子,(,或分子或其他微观粒子,),。在讨论激活介质辐射场的相互作用时，我们只能给定宏观条件,(,例如知道气体激光器中的放电电流、气体压强等,),。但是宏观条件确定之后，微观运动状态的各种可能性仍然很多，每一个原子可以处于一切可能的微观态，并不能被宏观条件所控制。所以，不能将激活介质当做一个整体而赋于确定的随时间而变化的波函数。这样，即使知道了介质的初始分布，也不可能求出以后某一时刻的波函数。,前言,但是在研究激活介质和辐射场相互作用的宏观性质时，可以利用统计规律性。由于在给定的宏观条件下，激活介质中原子的状态有一固定的初始分布。可以通过求得在给定的时间间隔和给定的空间体积内、原子系统被激发到两个能级中的一个或另一个，并且其速度分量在给定范围内的几率，再对构成激活介质的所有原子系统取平均值来求得介质对辐射场的影响。在这种情况下，即讨论量子力学系综的统计性质时，会涉及到两种平均：一种是按状态的平均，此为,量子力学平均,；另一种是将此结果再按微观态出现的几率求平均，即为,统计平均,。当同时涉及到这两种平均时，就可采用,密度矩阵,的方法来处理。,系统、系综纯态、混态,按统计物理系综的概念，把一个原子看做一个系统，大量的全同系统组成一个,系综,。若系综内的所有系统都处于相同的微观态,，则此系综为,纯系综,，纯系综的平均就是,态平均,。若系综的各系统处于不同的微观态，则此系综被称为,混合系综,。,假定系综是由,N,个系统组成，每一个系统由一个归一化的波函数,(,r, t),描述,(1),式中,u,n,(q),为完备正交归一本征函数系；,a,n,(t),为系统处于本征态,u,n,(q),的几率振幅。,纯态密度矩阵,现在考虑系统的某个物理可观察量,F,并求出它在系综表示中的最终平均值。首先考虑纯态的情况。这时，可以由量子力学中,所熟悉的方法求得可观察物理量,F,的平均值。,(2),式中,q,为广义坐标，,*,为波函数,的复数共轭量。,式,(2),的平均是量子力学固有统计性质的结果。,若将式,(1),代入式,(2),，得,(3),(4),算符,F,的矩阵元,令,(5),(6),从式,(5),可以看出，,nm,起着几率密度的作用，因此称,nm,的集合为密度矩阵，,nm,为密度矩阵元。以上就是纯态的密度矩阵。,混态密度矩阵多系统几率相等,当系综是由,N,个系统组成，且,N,个系统处于不同微观态的几率相同，每一个系统可以用一个归一化波函数来表示。若第,k,个原子系统的波函数用,k,(r, t),表示,(7),由上面讨论可知，对于第,k,个原子系统，其物理观察量,F,由,式,(2),决定。因为系综是由,N,个系统组成，则得到系综的可观察量的平均值为,(8),将式（,2,）、（,7,）代入式（8），得：,(9),交换求和次序,(10),nm,为密度矩阵元,(11),(12),混态密度矩阵多系统几率不等,对于,N,个系统构成的系综，如果各个系统处于不同微观态的几率不相等，则系综的宏观物理量的平均值就不能用简单的算术平均值而应该用统计平均值来代替。假如，第,k,个原子系统出现某一状态,k,的几率是,P,k,系综平均值,(13),nm,定义为：,(14),(15),只要求得系综的密度矩阵，任何宏观可观察量都可以由式,(15),计算,密度矩阵的主要性质,密度矩阵之迹等于,1,归一化的波函数,本征函数的正交性,可以得到,密度矩阵之迹等于,1,。对于由,N,个系统构成的系综，当各个系统处于不同微观态的几率不相等时，也可以证明,Tr,(,)=1,这一性质。,利用式（1）,(1),密度矩阵为厄米矩阵,表示第,k,个原子系统处于状态,u,n,（,或者能级,E,n,）,的几率，而几率必为正值，所以密度矩阵的对角元满足下式,密度矩阵为厄米矩阵。,密度矩阵的物理含义,从密度矩阵元的定义可知,纯态密度矩阵,的,对角元表示了这个系统处于本征态,u,n,的几率,。通常,混态密度矩阵,的对角元表示系综中的一个系统处于本征态,u,n,的平均几率。,非对角元的物理含义可以这样理解，若将第,k,个原子系统的几率振幅写成复数形式,纯态系统的密度矩阵元,nm,，,如图所示的复平面上表示。,图中矢量即为,nm,，,矢量与实轴间的夹角表示系统处于本征态,u,n,、,u,m,的几率振幅,的乘积的相位差，而矢量的模是由系统处于本征态,u,n,、u,m,的几率振幅的乘积所决定。,当系统为混合系统时：,对于给定的本征态,u,n,、,u,m,，,如果所有的值 是等几率的，而且当位相为 与 时，矢量的模 的数值分布是相同的，则 对系综的平均值为零，此时密度矩阵的非对角元,也就是说,若每一个系统的幅角是随机分布的，则,N,个系统组成的系综的,nm,=0,。,假若,N,个系统中的每一个系统的幅角不是随机分布或者不完全随机分布，则,nm,0,。所以,nm,表示了系统的幅角之间的混乱程度或相干性。后面将会看到,nm,愈大，相干性愈好，系综的极化强度也愈大。,2、密度矩阵的运动方程,如果原子系统的状态是随时间变化的，那么密度矩阵也是随时间变化的。下面就来求它的运动方程。,与时间有关的薛定谔方程为,左乘,u,m,*,，,并对变量,q,积分得,令,系统的哈密顿算符,H,的矩阵元,本征函数的正交归一性,复数共厄,密度矩阵的运动方程为,H,=H,-,H,如果,t=0,时的密度矩阵已知，便可由该式确定任何其他瞬间的密度矩阵。,3、,二能级原子系统的密度矩阵,在激光的半经典理论和量子理论中，都将介质粒子视为简单的二能级原子系统。也就是说，原子只有二个能级需要明显考虑，而其他能级的影响可以通过引进唯象阻尼项来加以概括。在此有必要单独讨论二能级原子系统的密度矩阵及其运动方程。,二能级原子系统的波函数,假设原子具有高、低两个能级，其能量本征值分别为,E,a,、,E,b,，,对应的归一化能量本征函数分别为,u,a,、,u,b,，,则原子波函数,(,r, t),为,(,r, t)=a(t),u,a,(q)+b(t),u,b,(q) (1),系数,a、b,其物理意义是： 、 分别表示在,t,时刻找到原子系统处于高能级,E,a,(,即,u,a,本征态)和低能级,E,b,(,即,u,b,本征态)的几率。如果在单位体积中有,N,V,个原子集合构成的系综，每个原子在时刻,t,处于高能级的几率为 ，单位体积中处在高能级上的原子数,N,2,为,单位体积中处在低能级上的原子数,N,1,为,二能级原子系统的密度矩阵,根据密度矩阵的定义，得,（2）,这时一个宏观可观察物理量的平均值为,（3）,某一物理量的平均值不仅取决于对角元,还和非对角元有关.前一部分表示了各本征态中相应的平均值,后一部分表示两个本征态之间的干涉效应对平均值的,贡献,.,孤立二能级原子系统,首先假设所讨论的二能级原子系统是孤立的，不受外界的影响,(,忽略自发辐射,),，并且假若原子原来处于,u,a,态,(,或,u,b,态,),，则它将始终停留在,u,a,态,(,或,u,b,态,),上。此时，孤立原子系统的波函数为,=,au,a,(q)+,bu,b,(q),波函数,(,r, t),应满足如下薛定谔方程,（4）,H,a,表明孤立原子系统不含时间因素的哈密顿算符。,本征值方程,（6）,将,u,a,*,、,u,b,*,分别左乘上式各项，对整个空间坐标积分,（7）,（8）,解出上述运动,方程,，得,（9）,由此可以看出：孤立原子系统处于某一本征态,u,a,(,或,u,b,),的几率,P(a),或,P(b),将不随时间而变化，其值由加在波函数上的初始条件决定。,辐射场中的二能级原子系统,当原子处于电场强度为,E(z,，,t),的辐射场中时，则它将不再是孤立的。原子和辐射场之间存在着相互作用微扰能。在偶极近似下，其微扰能,H,1,为,H,1,=-,pE,(10),p,是单个原子的电偶极矩。这时总的能量算符,H,为,H=,H,a,+H,1,(11),当在哈密顿算符中加入了一项微扰算符时，其结果并不是改变用做波函数,的本征函数集，而是使其组合方式随时间而变化，即,a(t),、,b(t),随时间而变化。这时含时薛定谔方程变为,将,=,au,a,+,bu,b,代入上式，得,(12),可以求出系数,a(t),、,b(t),随时间变化时所应满足的方程它的表达式如下,(13),Back,上式已考虑到,(14),上式的成立是因为,H,1,=-,pE,，,p=,er,，,并且,r,是奇函数，将以上关系代入则得,式（,14,）表示微扰算符在本征态上的平均值等于零，原子无固有偶极矩。,用,V(t),表示二能级间与时间有关的微扰矩阵元。,可以通过适当地选取,u,a,和,u,b,的位相因子，使上面的积分为实数，得到,(15),(17),(16),则式（13）可以表示为：,以上讨论中忽略了激光上能级的自发辐射以及除了这两个能级以外的其他能级对这两个能级的影响。下面将通过唯象的方法把这两个能级与其他能级之间的跃迁也包括进去。这种跃迁可能是纯辐射的，也可能是由碰撞所引起的，但无论是哪一种，它们的效果都是使这两个主要考虑的能级具有有限的寿命。显然，当应用上述考虑来处理激光器时，这样的效应作为松弛机构与受激辐射相竞争；而对低能级，则有助于维持粒子数反转，而且它们还在决定跃迁的均匀线宽中起重要作用。,能级,衰减,的影响,当需要考虑上述影响时，可以按照韦斯科夫和威格纳的方法，把衰减常数,a,、,b,引入波函数，以计入这种衰减机构。这时哈密顿算符和含时薛定谔方程变为,H,为未考虑对能级的上述影响时的哈密顿算符。算符,的定义为,(18),由于上述原因波函数将按指数规律衰减，原子系统处于高能级,E,a,的几率随之衰减，衰减的寿命为,a,的倒数，故,a,又称为衰减常数。同样衰减常数,b,表示原子处于能级,E,b,的几率衰减的状况，衰减的寿命为,b,的倒数。这时本征值方程变为,(19),将上式代,入,式（,12,）,，但哈密顿算符用 代替，由此得,将上式展开，并用,u,a,*,、,u,b,*,分别左乘上式各项，然后对整个空间坐标积分，利用,u,a,、,u,b,函数得正交归一性及本征值方程（,19,），可得,(20),式,(20),是二能级原子系统在外界辐射场微扰下，同时又考虑粒子的自发弛豫以及其他能级的存在时几率振幅随时间变化的运动方程。,下面进一步以密度矩阵的形式来表达这一运动方程。,(21),首先考虑单个原子系统的情况。对于单个原子,上面是单个原子系统的情况，当进一步考虑由,N,个相同的原子系统所构成的宏观系综时，为求得整个系综的宏观统计行为，可以对上述四个方程式中各项取系综平均值。当系综是由,N,个系统构成并且各个系统处于不同微观态的几率相等时，可以用,多原子系统,代替,aa,*,以及用,ab,、,ba,、,bb,分别代替,ab,*,、,a*b,、,b*b,，,这样密度矩阵元满足得运动方程为,(22),可见,代表某一能级几率的对角元的时间变化率与非对角元有关,而非对角元有关的时间变化率与对角元有关,相互影响及关联,表示了本征态间的,相干性质,.,w,0,为原子在,a、b,两个能级间跃迁谱线的角频率,(23),ab,为两个能级的平均衰减率，定义为,(24),可以将上述密度矩阵元的运动方程归结为一个简便的矩阵方程来表示,(25),为密度矩阵；,H,为能量矩阵；,为衰减矩阵。,、,H,及,的表示式分别为,气体中原子之间的弹性碰撞或固体中声子间和原子间的弹性碰撞可以使得,ab,与对角元无关地发生衰变。具体地讲，如果在某种相互作用下，能级仅仅发生微小位移，而没有状态变化，,ab,的衰减速率将会增大，而,a,、,b,并没有改变。这一效应可用,p,来描述，这时需用,=,ab,+,p,(26),代替,ab,而代入,ab,的运动方程，则有,(27),外界的激励,的影响,在以上讨论中没有考虑外界的激励。但实际激光器中，外界的激励是存在的。下面将讨论外界存在激励时密度矩阵的运动方程。,假设在时刻,t,0,、,位置,z,处，有一个原子被激励到,a,能级，此时此地的密度矩阵为,随着时间的推移，,按其运动,方程式,(25),变化。若到,t,时刻再来考察该点情况，并将,t,时刻、,z,位置处的密度矩阵记为,(,a,，,z,，,t,0,，,t),。,在单位体积中激励到,a,态的几率为,a,(z,，,t,0,),，,若要计算考察时间,t,之前被激励到,a,态的所有原子的贡献，则需对激发时间求积分。于是得到描写系综在时刻,t,的总的密度矩阵,(,a,，,z,，,t),为,元密度矩阵,、,全密度矩阵,(28),对,t,求导数,代入式（25）,(29),利用初始条件,假定算符,H,与,t,0,无关，则上式可以简化为：,(30),注意：在式(29)中，积分号内的,为,(,a, z, t,0, t)，,与式(30)中的,(,a,，z，t),是,不同的。,对于在时刻,t,0,被激发到,b,态的原子，可以重复上述计算，得到,(,b,，z，t),的运动方程式。,如果,a,态和,b,态都能被激发，则系综在,t,时刻的总密度矩阵,为,(,z,，t),称为单位体积的密度矩阵,(或,全密度矩阵,)。相应地，将,(,a,z,t,0,t),称为,元密度矩阵,。密度矩阵的运动方程式为,(31),密度矩阵的运动方程为,为激发矩阵,(32),密度矩阵与电极化强度的关系,下面将说明介质的密度矩阵与宏观电极化强度之间的关系。单个原子系统和辐射场的相互作用的微扰能矩阵元,V(t),为,H,1,=-,pE,(33),单个原子系统的电偶极矩,原子的线度与光波波长相比小得多，因此在原子线度内，电场近似认为是不变的。,(34),为与能级,a,、,b,间跃迁相对应的电偶极矩矩阵元。,原子系统电偶极矩的平均值为,(35),对于系综来讲，设介质单位体积中的原子数目为,N,V,，,则单位体积中的原子电偶极矩之和为,由式(36)可以看出，,当与能级,a、b,间跃迁相对应的电偶极矩矩阵元,为已知的情况下，通过密度矩阵运动,方程式,(32),，求出非对角元,ab,和,ba,，,介质的电极化强度,P,将随之确定。,(36),根据自洽场方程，就可以讨论激光的振荡和频率特性,4、密度矩阵的矢量模型,密度矩阵的运动方程,假定二能级原子中电场不依赖于原子坐标，则微扰能算符矩阵元简化为,将,V(t),舍去,c.c,部分(转动波近似)，并作一些数学运算，得,(6),若假设一个新的矢量：,R=R,1,e,l,+ R,2,e,2,+ R,3,e,3,，它在三个坐标轴上的分量分别为,R,1,、R,2,、R,3,，,其 定义为,(7),(8),(9),(10),(11),将式(6)代入式(11)，并分别使其实部、虚部相等可得,(12),(13),(14),对式(9)微分,并利用密度矩阵运动方程,在上述推导中,作了如下假定,(15),这时方程(12)、(13)、(14)就可合并，得出,R,矢量的运动方程,(16),上式即为与密度矩阵运动方程等价的光学布洛赫方程，表示了由密度矩阵元所构成的虚构矢量,R,在抽象空间(,e,1, e,2, e,3,),中，绕着有效场,作角速度为,|,|,按顺时针方向的旋进运动，其矢量的模值逐渐衰减。在,R,的各分量中包含了原子系综的密度矩阵元,在,分量中包含了入射光场的特性,方程反映了外场作用下原子状态随时间的变化.,因为,R,3,=,aa,-,bb,，,因此,R,矢量在,e,3,轴上的投影的大小反映了介质粒子数反转密度的大小。,当,共振,时,n,=,0,(17),(18),驰豫过程,非相干作用,外场作用,相干作用,可以看出，此时密度矩阵的矢量,R,将绕,e,1,作旋进动。如考虑是电子，,0，,这样矢量,R,将绕,e,1,轴作逆时针方向旋进。如果初始,R,3,(t=0)=1，,表示,aa,-,bb,=1，,粒子处于上能级。而当 时，,R,3,(t)=-1，,表示粒子已经跃迁到低能级，也就反映产生了完全的受激辐射。,非,共振,时,n,0,则矢量绕有效场作旋进，此时旋进的角频率为,，,依顺时针方向旋进。对于电子，为逆时针方向旋进，此时永远存在,e,1,分量。这样它就永远不可能发生完全的跃迁，,R,矢量旋进运动如图所示,上述用虚构矢量,R,的这种几何表述给出了处理这类二能级系统的电磁跃迁的一种方法，尤其适合于辐射场很强而不能使用微忧理论处理时的情况。,拉比强信号理论,上节讨论了密度矩阵的矢量模型用虚构矢量,R,就可处理强光与介质的相互作用。除此之外，强光与介质的作用还可采用拉比强信号理论来获得精确解。,1、首先讨论单色辐射场很弱时,，采用微扰法来求解。前面的讨论中已得出外场为微扰场时，二能级原子系统的几率振幅,当外场很微弱时，,波函数,可以表示为,(1),波函数运动方程,(2),H=H,a,+H,1,(3),H,1,=-,pE,(4),将(1)、(,3)、(,4)三式代入式(2)，利用本征函数的正交性，可得,(5),若原子初始处于激发态即,a(0)=1, b(0)=0，,则由于辐射场的作用，原子会有一定的几率跃迁到基态能级，其几率幅可由式(5)所表示的微分方程组求解而得。,(6),一阶近似,(7),受激辐射几率,(8),进一步讨论，若原子初始处于基态能级，可以得出与式(8)相同的受激吸收几率，可见受激吸收几率等于受激辐射几率。受激跃迁几率与失谐量的关系曲线如图25所示。,当存在衰减时，则可以将衰减常数引入，则得出,(9),(10),这时，受激辐射几率只要将式(8)修正为,若需要更精确的讨论，则可以求出,a,(2),(t),、,b,(2),(t),，,最后,a,(t)= a,(0),(t)+ a,(1),(t)+,a,(2),(t)+,b(t)= b,(0),(t)+ b,(1),(t)+,b,(2),(t)+,2、若单色辐射场很强时,，就不能采用上述的微扰解。这时可以采用如下方法讨论：将,式(5),中第二式再微分一次，并将第一式代入得,(11),设特解为,(12),代入式（11），得到,(13),(14),式（11）的通解为,把上式代入式,（5）,中的第二式，得到,(15),若原子初始处于基态，即,a(0)=0,b(0)=1,，,则可以求出系数,A、B,(16),(17),称为拉比反转频率,共振时，,n,=,0,(18),当,时，原子系统跃迁当高能级，这就是,脉冲，使,粒子数完全反转。同样，若初始处于上能级，经过同样的时间，原子系统跃迁到低能级，产生完全的受激辐射。结果与,密度矩阵的,矢量模型,得到的结果一致.,当考虑存在衰减时，也可以求解得到跃迁几率。,