等差数列的证明和最值

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,等差数列的证明和最值,等差数列证明,等差数列最值,规律总结,结束,考查等差数列的定义，多以证明题的形式出现，要证明一个数列是等差数列的基本方法是证明,a,n,1,a,n,d,(,n,N,*,，,d,为常数,),或,2,a,n,1,a,n,a,n,2,成立对于实际问题，要结合题目的具体特点，灵活选取解答方法,得,2(,n,1),a,n,(,n,1),a,n,1,(,n,1),a,n,1,，,n,2,，,n,1,0.,2,a,n,a,n,1,a,n,1,.,数列,a,n,为等差数列,点评：,(1),是利用等差数列的定义进行证明；,(2),是通过等差中项进行证明体会两种方法各自的特点,由下列各表达式给出的数列,a,n,S,n,a,1,a,2,a,n,n,2,；,S,n,a,1,a,2,a,n,n,2,1,；,a,2,n+1,a,n,a,n,2,；,2,a,n,1,a,n,a,n,2,(,n,N,*,),其中表示等差数列的是,(,),A,B,C,D,答案：,A,规律总结：,1.,判断或证明数列,a,n,为等差数列，常见的方法有以下几种：,(1),利用定义：,a,n,1,a,n,d,(,n,N,*,),或,a,n,a,n,1,d,(,n,N,*,，,n,2),，其中,d,为常数；,(2),利用等差中项：,2,a,n,1,a,n,a,n,2,；,(3),利用通项公式：若数列,a,n,的通项公式为,a,n,dn,c,(,d,、,c,为常数,),，则数列,a,n,为等差数列,(,当,d,0,时，数列的通项公式是关于,n,的一次函数，该数列,a,n,为等差数列；当,d,0,时，数列,a,n,为常数列，也是等差数列,),；,(4),利用前,n,项和公式：若数列,a,n,的前,n,项和公式为,S,n,an,2,bn,(,a,、,b,为常数,),，则数列,a,n,为等差数列但要注意，证明数列为等差数列必须用定义或等差中项去证明；在选择题和填空题中，可用其他方法判断,2,若要证数列,a,n,不是等差数列，可证明,2,a,2,a,1,a,3,.,此题型常见有两类，一类是求数列中某项的最值问题；一类是求数列前,n,项和,S,n,的最值问题需要结合不等式、函数等知识综合解答,【,例,4,】,在等差数列,a,n,中，,a,1,25,，,S,9,S,17,，问此数列前几项的和最大？,分析一：,本题以数列为核心知识，在考查等差数列基本知识的同时，考查了数列求最值的方法,由已知列方程，得出,d,，从而将,S,n,转化为关于,n,的二次函数求最值,解法三：,由,a,1,25,，,S,9,S,17,，知此数列必递减，且,a,10,a,11,a,12,a,17,0,，又由等差数列性质有,a,10,a,17,a,11,a,16,a,12,a,15,a,13,a,14,，,4(,a,13,a,14,),0,，,数列递减，,a,13,a,14,，,a,13,0,a,14,，,故此数列前,13,项和,S,13,最大,分析四：,先求出,d,，然后利用,a,n,0,，,a,n,1,0,解,n,.,解法四：同解法一求得,d,2,，由,a,n,0,且,a,n,1,0,得,13,n,0,且为递减数列时，前,n,项和,S,n,有最大值；当,a,1,0,得,n,0,，,S,13,0,，,a,1,a,2,a,12,0,，,即,a,12,a,11,a,1,0.,以上两式相加得,(,a,1,a,12,),(,a,2,a,11,),(,a,12,a,1,)0,，由等差数列性质知，,12(,a,1,a,12,)0,，即,a,6,a,7,0.,同理，由,S,13,0,得,a,7,0,，,a,7,0.,以下同方法二,方法四：等差数列前,n,项和可表示为,S,n,An,2,Bn,(,A,0),，,又由第,(1),问可知：,d,0,，,S,13,0,，,A,0,，如图所示，设抛物线与,x,轴交于,x,0,，则,x,0,(12,13),，其对称轴为,x,(6,6.5),因此，当,n,(6,6.5),时取最大值，又,n,N,*,，,n,6,时，,S,n,最大,1,如果,p,q,r,s,，则,a,p,a,q,a,r,a,s,，一般地，,a,p,a,q,a,p,q,.,必须是两项相加，当然可以是,a,p,t,a,p,t,2,a,p,.,2,等差数列的通项公式通常是,n,的一次函数，除非公差,d,0.,3,等差数列的前,n,项和公式是,n,的二次函数，且常数项为,0.,若某数列的前,n,项和公式是,n,的常数项不为,0,的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列,