第1章 度量空间

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,1,章 度量空间,(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),.,.,3,;,2,;,0,0,1,:,.,为度量空间,上的一个度量,是,我们称,三角不等式,对称性,正定性,当且仅当,且满足条件,与之对应,都有为已确定的实数,中任意两个元素,若对于,是一个集合,设,X,d,X,d,y,z,d,x,y,d,x,z,d,y,x,d,x,y,d,y,x,x,y,d,x,y,d,x,y,d,y,x,X,X,+,=,=,=,o,o,o,离散距离空间,练习,1.2,度量空间中的一些基本概念,1.2.1,收敛点列与极限，度量空间的完备性,定义,1.2.1,设（,E,d,）是一度量空间， 及 。假设当,时，数列 ，就说点列 按距离,d,收敛于,x,，记作,此时，称 为,E,中的收敛点列，,x,称为点列 的极限点。,定理,2.2.1,在度量空间中，收敛点列的极限是唯一的。,定义,1.2.2,（,基本点列,）设 是度量空间（,E,d,）中的一个点列，若,满足,则称 是,E,中的基本点列。,定义,1.2.3,（,完备性,）若度量空间,E,中的基本点列都是收敛点列，则称,E,是完备的度量空间；设 ，若,A,按,E,的度量成为一个完备的度量空,间，则称,A,是,E,的一个完备子集。,引理,2.2.1,（闭球套定理） 设（,E,，,d,）是完备的度量空间，,是,E,中一套闭球，且满足,那么必存在唯一的点 ，满足,1.2.2,开集，闭集，邻域，聚点及有界集等概念,定义,1.2.4,设,A,为度量空间,E,的一个子集，若,A,中一切在,E,中收,敛的点列的极限仍属于,A,，则称,A,为,E,的一个,闭子集,，规定空,集 是闭子集。,闭子集,A,的余集,称为,E,的,开子集,。,定义,1.2.6,设（,E,，,d,）为度量空间， ，,r,是任一有,限实数，称集合 为,E,中的一个开球，记,为 。也把 叫做 的一个邻域或,r,环境,。,定理,1.2.3 U,为度量空间,E,的一个开子集，当且仅当有,（即,U,中每点都带其某邻域含于,U,）,定义,1.2.7,设 ，如果有 及 ，使,则称,M,是,E,中的有界集。,定理,1.2.4,若 为度量空间,E,中的收敛列，那么 是有界,集。,1.2.3,致密集，紧密概念及其性质,定义,1.2.8,设,A,是度量空间,E,的一个子集。若,A,中任一无穷,点列都含有基本子列，则称,A,是,E,的,致密子集,；若,A,中任一无,穷点列都含有在,A,中收敛的子列，则称,A,是,E,的,紧子集,。,定义,1.2.9,设,A,是,Ca,b,的一个子集。若对任何 ，都,有 ，使当 满足 时，对一切 都,成立着,则称,A,是,Ca,b,中的一个,等度连续函数集,。,1.2.4,稠密,定义,1.2.10,设（,E,d,）是一个度量空间，,M,，,A,是,E,中任意两,个子集。如果对任意 及任意 ，都存在 ，使,得不等式 成立，则称,A,在,M,中,稠密,。特别，如果,A,在,E,中稠密，则称,A,为,E,的一个稠密子集。,定理,1.2.8,Pa,b,是,Ca,b,的一,稠密子集,。,定义,1.2.11,若度量空间,X,中有可数的稠密子集，则称,X,为可,分空间,1.3,度量空间上的映射,1.3.1,映射以及度量空间上映射的连续性,定义,1.3.1,设,U,V,是两个集合， ， 。若有对应关,系 使对每一个 ，存在唯一的 ，,Tx,=y,，,则称,T,为,A,到,B,上的一个映射。,A,称为,T,的定义域，记为,D(T),，,y,称为,A,中元素,x,的像元素，像元素全体的集合称为映射,T,的像,集，记为,R(T),。若,R(T),B,，则称,T,为满射；若,A,中不同元素,的像也不同，这称,T,为单射；当,T,既是满射有是单射时，称,T,为单满射或,A,到,B,上的双射,。,定义,1.3.2,设 ， 是两个度量空间，,T,是由,U,中子集,A,到,V,中子集,B,的一个映射。设 ，若对任意点列,当 时，都有 ，则称,T,在 连,续。若,T,在,A,上每一点都连续，则称,T,为,A,到,B,的连续映射。,定理,1.3.1,在度量空间（,E,d,）中，若 ， ，,那么,1.3.2,压缩映射原理及其应用,定义,1.3.3,设（,E,d,）是度量空间，,T,是,E,到,E,的一个映射。,如果存在 ，使得 ，都有,，则称,T,是,E,上的一个压缩映射。,定义,1.3.4,设,T,是从集合,E,到集合,E,的映射，如果存在,满足 ，则称,x,为,T,的一个不动点。,（压缩映射原理）设,X,是完备的度量空间，,T,是,X,上的压缩映射，那么,T,有且只有一个不动点（也就是说，方程 ，有且只有一个解）。,证明：设是,X,中任意一点。令,我们证明 点列是,X,中柯西点列，事实上，,（,2,）,由三点不等式，当,n,m,时，,。,。,因,0, ,1,，所以 ,1,，于是得到,（,n,m,） （,3,）,所以当 时， ，即 是,X,中柯西点列，由,X,完备，存在 ，使 ，又由三点不等式和条件（,1,），我们有,上面不等式右端当 时趋向于,0,，所以 ，即 。,下证唯一性。如果又有 ，使 ，则由条件（,1,），,因 ,1,，所以必须 ，即 。证毕。,压缩映射原理在分析、微分方程、积分方程、代数方程解的存在和唯一性定理证明中起了重要作用。下文介绍隐函数存在定理以及常微分方程解的存在性和唯一性定理（,Picard,）。,1.4,度量空间的完备化,定义,1.4.1,设,(,X,d,),与,(,W,p,),都是度量空间，如果有,X,到,W,的,满射,T,，满足,则称,T,为从,(,X,d,),到,(,W,p,),上的,等距同构映射,，并称,(,X,d,),与,(,W,p,),为等距同构的独立空间，简称为,X,与,W,等距同构。,定理,1.4.1,对每个度量空间,(,X,d,),，必有一个完备的度量,空间,(,Y,p,),，使,X,与,Y,的某个稠密子集,(,W,p,),等距同构。并且,(,Y,p,),在等距的意义下是唯一的。,1.5,线性空间,线性空间,定义,1.6.1,设,E,为一集合，加入在,E,中规划了线性运算元,素的加法以及实（或复）数域,K,与,E,中元素的乘法运算，满,足下列条件：,E,关于（）称为交换群。即对任意一对因素 ，都,存在 ，使,x+y,=u,，称,u,为,x,y,的和。这个运算适合,：,x+y,=,y+x, (,x+y)+z,=,x+(y+z,), E,中存在唯一的元素 （称它为零元素），使对 ，成立着, 对于,E,中每一个元素,x,，存在唯一的元素 满足,称 为,x,的负元素，记为,x,；, 对任何 即任何实（或复）数 ，存在元素,使,v=ax,，,v,称为,a,和,x,的数积。这个数积运算适合：,1x=x,a(bx,)=(,ab)x,(,a+b)x,=,ax+bx,a(x+y,)=,ax+ay,则称,E,为是（或复）数域,K,上的线性空间或者向量空间。其,中的元素也称为向量,。,2.,线性组合、生成集、基、空间的维数以及凸集等概念,如果,E,是线性空间， ，则对于任意,n,个,数 ，称 为向量组 的一个线,性组合。,如果,M,中的每个元不能用,M,中其它元的线性组合来表出，,则称,M,为,E,中一个线性无关组；若,M,是,E,中线性无关组，则称,M,为,E,的一个基；若,M,是,E,的一个基，且,M,的势为 ，则称 为,E,的维数；特别，若 是有限数，则称,E,为,有限维空间；反之，若 不是有限集，则称,E,为无限维空,间。,定理,1.6.1,任意线性空间 都有基，且所有的基都有,相同的维数。,定义,1.6.2,设,E,为线性空间，,A,为,E,中一子集。若,及 ，都有 ，则称,A,为,E,中的一个凸,集。,3.,线性空间上的映射,定义,1.6.3,设,X,，,Y,分别是数域,K,（实或复）上的线性空间，,T,是,X,到,Y,的一个映射，线性空间上的映射有称为算子。如果,T,满足条件：,则称,T,是,X,到,Y,的线性算子（即线性映射）；若上述条件不全,成立，则称,T,是非线性算子。,1.6,线性度量空间,定义,1.7.1,设（,X,d,）是一度量空间，且,X,又是一实（或,复）数域,K,上的线性空间，如果,X,中的线性运算按度量,d,连,续，即满足：,则称（,X,d,）是一个线性度量空间。,