第三节+极、柱坐标系下分离变量法

数学物理方程 第二章分离变量法,No.,77,第三节 极、柱坐标系下的分离变量法,在圆形域和柱形域内，用分离变量法求解定解问题时，应选用极坐标系。这样，不仅能简单地表达边界条件，更重要的是可以达到变量分离的目的。,为方便起见，引入拉普拉斯算子,而在极、柱坐标系下，拉普拉斯算子分别为,2.3,极、柱坐标系下的分离变量法,补充内容：,证明：,证明：由 得,及,所以,于是,上面两式相加得,一、圆内问题,例,1,半径为 的圆板，上，下面绝热，圆周温度分布为 ，求温恒状态下的温度分布。,解：,定解问题为,(,提示：把非齐次边件条件看作初始条件）,设解为 ，代入方程,(2.3.1),得,同除以 得,方程,(2.3.1),被分离成两个常微分方程,如何确定固有值问题,?,这里没有齐次边界条件。我们补充一点,对于固有值问题的边界条件，除三类,齐次边界条件以外，还可以根据问题的性质取边界条件，称其为自然边界条件，如解的周期性，解的有界性等。这里由于圆板温度,u,具有周期性。故固有值问题为,特征方程,（,1,）,当 时， ，方程的通解为,要满足自然边界条件,只有,故在 时,只得零解。,（,2,）,当 时， ， 方程的通解为,由 得,即,所以 ，,固有值,，相应的,固有函数,为,（,3,）,当 时，,，方程的通解为,由 得,要使上式成立，只有,即，,固有值,相应的固有函数为,总之：,固有值,相应的,固有函数,为,将 代入方程,(2.3.3),得,这是欧拉方程,解为,(,事实上令,引入微分算子,一般,所以，方程化为,特征方程,n =,0,时，,由解的有界性,于是,由解的叠加性，得级数形式解,其中,，,由,所以,例,2,求解圆环域内泊松方程的边值问题,解：,以圆为边界的定解问题，应采用极坐标系,令,问题化为,(2.3.6),(2.3.7),自然边界条件：,设 代入,(2.3.6),对应的齐次方程,方程,(2.3.6),被分离成两个常微分方程,固有值问题为,由例,1,知，固有值,相应的固有函数为,设解为固有函数级数,其中 为待定函数。,代入非齐次方程,(2.3.6),，得,比较系数得,由边界条件,(2.3.7),得,方程,(2.3.9),、,(2.3.10),是欧拉方程,其解分别为,由边界条件,(2.3.11),、,(2.3.12),得,下面只需确定 ，用常数变易法求得特解,事实上设对应齐次方程的通解为,令,故通解为,由边界条件 得,即,所以,因此定解问题的解为,下面介绍一种很有实用价值的特解法,特解法的基本思想,是，对泊松方程,不论边界条件如何给出，先设法求得方程的一,个特解,w,，即,然后，令,u,=,v,+,w,，这样将,泊松方程 化为拉普斯方程，即,这样，通过泊松方程的特解，将泊松方程的边值问题转化为拉普斯方程的边值问题。而对后者则是前面已解决的问题了。,再考察上例,特解法：求,w,使,观察知,化为极坐标,令,u=v+w,，将泊松方程的边值问题转化为拉普斯方程的边值问题,用分离变量法，仿例，可求得解。,例,求圆内波动方程的混合问题,(2.3.13),(2.3.14),(2.3.15),解：,设变量分离形式解,代入方程,(2.3.13),得,同除以,可取,于是，得到三个常微分方程：,由 得固有值,相应的固有函数为,再解固有值问题,令 则,把,代入方程得,即,这是,n,阶贝塞尔方程,。,通解为,所以,此时,由,R,（,r,）,=,0,得,为求非零解， ，只需,即,固有值,相应的固有函数为,将 代入 的方程,(2.3.16),得,通解,由解的叠加性,得,二重级数形式解,其中,由初始条件得,由三角函数的正交性，可得,傅氏系数,上面三个级数是,第一类贝塞尔级数,。,由贝塞尔函数系的正交性得,由 得,由三角函数的正交性，可得,傅氏系数,由贝塞尔函数的正交性，得,类似 。,二、圆柱内的问题,例,1,考察圆圆柱体内的电势分布。,设柱内电势,u,满足,圆柱侧面 和上底,z,=,l,接地（即电势为零），下底,z,= 0,电势为,求柱内电势分布。,解：,定解问题为,设解 代入方程,(2.3.19),得,同除以 得,取,得到三个常微分方程,由,得固有值,相应的,固有函数为,由,知固有值,相应的固有函数为,将 代入方程,(2.3.24),得,通解为,由解的叠加性,得到级数形式解,其中,由非齐次边界条件,由三角函数系的正交性得,再由贝塞尔函数系的正交性得,由 得,由三角级数系数为零得,再由贝塞尔级数系数为零得,所以,得定解问题的解。,将 代入,(2.3.25),例,2,解定解问题,解：,设 代入方程,(2.3.28),同除以 得,可取,得到三个常微分方程,由,得固有值 ，相应的固有函数为,由齐次边界条件,(2.3.29),得固有值问题,固有值为,相应的固有函数为,将固有值代入 方程,得,令,代入 方程,得,(,虚宗量贝塞尔方程,通解为,）,所以 方程的通解为,，由解的有界性,F=0,由解的叠加性,得到级数形式解,其中 。,由非齐次边界条件 ，得,由三角函数系的正交性得,将系数 代入,(2.3.31),得到级数形式解。,例,3,考察圆柱域内拉普拉斯方程的边值问题：,解：,由给定的,边值条件知，,u,与 无关，故设解,代入方程,(2.3.32),得,可取,得到常微分方程,由齐次边界条件,(2.3.33),得固有值问题,令 的方程化为,这是,零阶贝塞尔方程,。,通解,，由解的有界性，,B=,0,，,且,由，得,应有,，于是,固有值,相应的固有函数为,将 代入 的方程得,通解为,由解的叠加性,得到级数形式解,其中,代入非齐次边界条件 ，得,因为,。即,解得,