实对称矩阵的对角化

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,5.4 实对称矩阵的对角化,除第三章第二节介绍的概念和性质之外,共轭矩阵还有以下性质:,(7),(8),当A为实对称矩阵时,(9),当且仅当,时等号成立.,若,则,若复矩阵A可逆,1,实对称矩阵是一类很重要的可对角化的矩阵,它的特征值和特征向量具有下列性质:,性质1,实对称矩阵A的特征值都是实数.,证明:,设,是A的任一特征值,即存在非零向量,P使,要证,是实数,只须证明,即可.,由,得,2,因,所以,故,当特征值为实数时,齐次线性方程组,是实系数线性方程组,基础解系,性质2,实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量,是正交的.,知必有实向量,由,所以对应的特征向量可取实向量.,3,证,设,是A的两个不同的特征值,分别是属于,的特征向量(均为实向量),即有,则,因此,而,故有,即,正交.,4,性质3,设A为n阶实对称矩阵,是A的特征方程,的r重根,从而对应特征值,恰有r个线行无关的特征向量.,证明略.,一般n阶矩阵未必能与对角矩阵相似,而实对,称矩阵则一定能与对角矩阵相似.,的秩,则方阵,5,定理6,设A为n阶实对称矩阵，则必存在正交矩阵,P使得,其中,为A的n个特征值。,证,设A的互不相同的特征值为,它们,的重数依次为,根据性质1和性质3知，,恰有,个线性无关的实特征向量，,对应于特征值,6,把它们标准正交化，,特征向量组，,特征向量共有n个，,并有,其中,为A的n个特征值。,个单位正交的,就可得到,知，,由,这样的,特征值的特征向量是正交的，,向量两两正交，以它们为列向量构成正交矩阵P，,又由性质2知，,A的属于不同,故这n个单位特征,7,由定理6可知，实对称矩阵的对角化问题，实质上,是求正交矩阵P的问题，计算P的步骤如下：,（1）,（2）,求出齐次线性方,程组,的基础解系，,进行正交化和单位化，得到A对于,的一组,标准正交的特征向量，,的个数恰好是,作为A的特征值的重数；,求出实对称矩阵A的全部特征值,对于各个不同的特征值,对基础解系,这个向量组所含向量,8,（3）,量构成一组,的标准正交基,（4）,则P为正交矩阵且使得,为对角阵，对角线上的元素为,相应特征向量的特征值。,的所有标准正交的特征向,将,取,9,例13,设实对称矩阵,求正交阵,解,得特征值,10,对于,由,即,解得基础解系为,单位化得单位特征向量,11,对于,由,即,解得基础解系为,因为该基础解系中的两个向量恰好正交，,只要单位化即得两个正交的单位特征向量：,12,于是可得正教矩阵,使得,注意：,在此例中对应于特征值,若求得方程组,的基础解系不正交，,则须把它们标准正交化，,例如为,13,即取,再单位化得,14,取,可以验证，仍有,此例说明所求正交矩阵不唯一。,15,