插值法(拉格朗日插值)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,问题的提出,拉格朗日插值,牛顿插值,埃尔米特插值,曲线拟合的最小二乘法,第三章,插值法,/*,Interpolation */,1,问题的提出,函数,y,=,f,(,x,),1）,解析式未知；2）虽有解析式但表达式较复杂，,通过实验计算得到的一组数据，即在某个区间,a,b,上给出一系列点的函数值,y,i,=,f,(,x,i,),，,x,x,0,x,1,x,2,x,n,y,=,f,(,x,),y,0,y,1,y,2,y,n,3）列表函数,问题：无法求出不在表中的点的函数值，也不能进一步研究函数的其他性质，如函数的积分和导数等。因此需寻找,y,=,f,(,x,),的,近似函数,p(x),但要求,p,(,x,i,),=,f,(,x,i,) 。,插值问题,已知精确函数,y,=,f,(,x,),在一系列节点,x,0,x,n,处测得函数值,y,0,=,f,(,x,0,), ,y,n,=,f,(,x,n,)，,由此构造一个简单易算的近似函数,p,(,x,),f,(,x,)，,满足条件,p,(,x,i,),=,f,(,x,i,) (,i,= 0, ,n,)。,这里的,p,(,x,),称为,f,(,x,),的,插值函数,。最常用的插值函数是,?,多项式,x,0,x,1,x,2,x,3,x,4,x,p,(,x,),f,(,x,),1.1,Taylor,插值,函数,y,=,f,(,x,),在点,x,0,处,展开有,Taylor,多项式:,可见:,P,n,(k),(x,0,)= f,(k),(x,0,) k=0,1,n,因此,P,n,(x),在点,x,0,邻近会很好的逼近,f(x).,Taylor,展开方法就是一种插值方法.,泰勒插值要求提供,f,(,x,),在点,x,0,处的各阶导数,这仅仅适用于,f,(,x,),相当简单的情况.,设,函数,y = f(x),在区间,a,b,上有定义，且给出一系列点上的函数值,y,i,=,f,(,x,i,),(i=0,1,2,n),，,求作,n,次,多项式,p,n,(x),使得,p,n,(,x,i,)=,y,i,(i=0,1,2,n),函数,p,n,(,x,),为,f(x),的,插值函数,；称,x,0,x,1,x,n,称为,插值节点,或简称节点。插值节点所界的区间,a,b,称为,插值区间,。,p,n,(,x,i,)=,y,i,称为,插值条件,。,构造的,n,次多项式可表示为:,P,n,(x)= a,0,+ a,1,x + a,2,x,2,+,a,n,x,n,1.2,Lagrange,插值,定理,(,插值多项式的,存在唯一性,),满足 的,n,阶插值多项式是唯一存在的。,证明：,(,利用,Vandermonde,行列式,论证,),这是一个关于,a,0, a,1, a,n,的,n+1,元线性方程组,其系数行列式:,由于,i,j,时,x,i,x,j,因此 ,即方程组有唯一解.,2,拉格朗日插值公式,n,i,y,x,P,i,i,n,.,0,),(,=,=,求,n,次多项式 使得,条件：,无重合节点，即,n,= 1,已知,x,0,x,1,;,y,0,y,1,，,求,使得,1,1,1,0,0,1,),(,),(,y,x,P,y,x,P,=,=,可见,P,1,(,x,),是过,(,x,0,y,0,),和,(,x,1,y,1,),两点的直线。,),(,),(,0,0,1,0,1,0,1,x,x,x,x,y,y,y,x,P,-,-,-,+,=,1,0,1,x,x,x,x,-,-,0,1,0,x,x,x,x,-,-,=,y,0,+,y,1,l,0,(,x,),l,1,(,x,),=,=,1,0,),(,i,i,i,y,x,l,称为,拉氏基函数,直线方程的两点式：,线性插值,l,0,(,x,),l,1,(,x,),=,=,1,0,),(,i,i,i,y,x,l,L,1,(,x,),抛物插值,l,0,(,x,),l,1,(,x,),l,2,(,x,),n,1,l,i,(,x,),每个,l,i,有,n,个根,x,0,x,i,x,n,=,-,=,-,-,-,=,n,j,j,i,j,i,n,i,i,i,x,x,C,x,x,x,x,x,x,C,x,l,0,0,),(,),).(,).(,(,),(,-,=,=,j,i,j,i,i,i,i,x,x,C,x,l,),(,1,1,),(,N,次拉格朗日插值多项式,与 有关，而与 无关,节点,f,希望找到,l,i,(,x,)，,i =,0, ,n,使得,l,i,(,x,j,)=,；,然后令,=,=,n,i,i,i,n,y,x,l,x,P,0,),(,),(,，则显然有,P,n,(,x,i,) =,y,i,。,n,次多项式,插,值余,项,/*,Remainder */,设节点,在,a,b,内存在,考察截断误差,，且,f,满足条件,用简单的插值函数,L,n,(x),代替原复杂函数,f(x),其精度取决于截断误差,即插值余项.,拉格朗日余项定理,注：,通常不能确定,而是估计,x,(,a,b,),将 作为误差估计上限。,当,f,(,x,),为任一个次数,n,的,多项式,时，,可知 ，即插值多项式对于次数,n,的,多项式是,精确,的。,例：,已知,分别利用,sin,x,的1,次、,2,次,Lagrange,插值计算,sin 50,并估计误差。,解：,n,= 1,分别利用,x,0,x,1,以及,x,1,x,2,计算,利用,这里,而,sin 50, = 0.7660444,),18,5,(,50,sin,1,0,p,L,0.77614,外,推,/*,extrapolation */,的实际误差, ,0.01001,利用,sin 50,0.76008,内插,/*,interpolation */,的实际误差,0.00596,内插通常优于外推。选择要计算的,x,所在的区间的端点，插值效果较好。,n,= 2,),18,5,(,50,sin,2,0,p,L,0.76543,sin 50, = 0.7660444,2次,插值的实际误差,0.00061,高次插值通常优于低次插值,但,绝对不是次数越高就越好，嘿嘿,拉格朗日插值多项式编程容易，只需双重循环,如果发现当前的插值方法不够精确，就要增加插值点的个数，则拉格朗日插值基函数,l,i,(,x,),都将重新计算。,牛顿插值法将讨论该问题,。,例：已知数据表,x,k,10,11,12,13,f(,x,k,),2.302 6,2.397 9,2.484 9,2.564 9,试用二次插值计算,f,(11.75)(,计算过程保留,4,位小数,),解：因为11.75更接近12，故应取11，12，13三点作二次插值先作插值基函数,已知,x,0,=11,y,0,=2.397 9,，,x,1,=12,y,0,=2.484 9,，,x,2,=13,y,2,=2.564 9,2,(,x,)=,f,(11.75),2,(11.75)=,例 已知,x=1,4,9,的平方根值，用拉格朗日插值公式求7,1/2,解：,x,0,=1, x,1,=4, x,2,=9,f,(,x,0,),=1, f,(,x,1,),=2, f,(,x,2,),=3,L,2,(,7,),=,(14)(19),(74)(79),*,1,+,(41)(49),(71)(79),* 2,+,(91)(94),(71)(74),* 3,=,2.7,(,x,0,x,1,)(,x,0,x,2,),(,x,x,1,)(,x,x,2,),f,(,x,0,),+,(,x,1,x,0,)(,x,1,x,2,),(,x,x,0,)(,x,x,2,),f,(,x,1,),+,(,x,2,x,0,)(,x,2,x,1,),(,x,x,0,)(,x,x,1,),f,(,x,2,),L,2,(,x,),=,