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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,3,节 解析函数的孤立奇点与留数,留数是区别解析点与孤立奇点的重要标志；留数揭示了孤立奇点与围道积分的内在联系。,一,.,孤立奇点及其分类,定义,1,若 在 不解析，但在 的某一去心邻域,内解析，则称 是 的,孤立奇点,。,1,（,1,） 为 的,可去奇点,：,若 中,无负幂项,根据,Laurent,级数的形式分类：,设 为 的孤立奇点,在 的去心邻域,内 ， 的,Laurent,展式为,:,孤立奇点可按以下两种方式分类：,2,（,3,） 为 的,本性奇点,：,若 中,负幂项有,无穷多项,（,2,） 为 的,(,m,级,),极点,：,若 中,负幂项只有,有限项,(m,项,),3,定义,2,根据 的极 限分类：,4,性质,1,性质,2,例,1,求下列函数的奇点，并指出其类型：,解,5,解,6,解,7,解,8,以上讨论了当 为有限奇点时，孤立奇点的分类。,现讨论若 在无穷远点的去心邻域内解析（这时,Laurent,展式为,:,Laurent,展式为,:,9,例如,关于无穷远点的孤立奇点的分类可以转化为原点情况,或者利用已知函数的展开式来判定，当然这个展开式,必须是无穷远点去心邻域内的,Laurent,展式。,10,二,.,留数,设 为 的孤立奇点,在 的去心邻域,内 ， 的,Laurent,展式为,:,11,无穷远点处的留数,12,留数计算法：,13,证明,14,2.,从证明过程不难看出，即使极点的级数小于,m,也可,当作级数为,m,来计算。这是因为表达式,这不影响证明结果。,的系数 中可能有一个或几个为零而已，,15,例,2,求下列函数的奇点并计算留数：,解,法,1,16,法,2,17,法,3,18,解,19,解,法,1,所以，,0,为 的三级极点，且,法,2,因为,0,是分子的一级零点，是分母的四级零点，,所以,0,是 的三级极点，取,m=4,由公式,2,得,20,三,.,留数定理,定理,1,设函数 在区域,D,内除有限个孤立奇点,外处处解析，,L,是,D,内包围诸奇点的一,条逆时针方向简单闭曲线，那么,由复合闭路定理,得,利用这个定理，可将求沿封闭曲线,L,的积分，,转化为求被积函数在,L,中的各孤立奇点处的留数。,21,定理,2,如果函数 在扩充的复平面内除有限,个,点）的留数的总和必等于零,即,孤立奇点外解析，那么 在所有各奇点（包括,22,例,3,计算下列积分：,由留数定理,1,，得,23,由留数定理,1,，,2,，得,24,四,.,利用留数计算某些实积分,例,4,25,例,5,26,例,6,27,例,7,28,
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