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阶段复习课,第 二 章,【核心解读】,1.合情推理,(1)归纳推理:由局部到整体、由个别到一般的推理.,(2)类比推理:由特殊到特殊的推理.,(3)合情推理:归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜测的推理,我们把它们统称为合情推理.,2.演绎推理,(1)演绎推理:由一般到特殊的推理.,(2)“三段论是演绎推理的一般模式,包括:,大前提的一般原理;,小前提所研究的特殊情况;,结论根据一般原理,对特殊情况做出的判断.,3.综合法,(1)实质:由因导果,(2)框图表示: P,Q,1, Q,1,Q,2, Q,n,Q ,P表示条件,Q表示结论.,(3)文字语言:因为所以或由得,4.分析法,(1)实质:执果索因.,(2)框图表示: Q,P,1, P,1,P,2, 得到一个明显成立的条件,Q表示结论.,(3)文字语言:要证只需证,即证.,5.用分析法证明数学问题时的书写格式,“要证(欲证),“只需证,“只需证,直到出现一个明显成立的条件P,再说明所要证明的数学问题成立.,6.归谬:矛盾的几种类型,(1)与公理、定理、定义矛盾.,(2)与条件矛盾.,(3)自相矛盾.,(4)与反设矛盾.,主题一 合情推理的应用,【典例1】(1)(2021济宁高二检测)观察式子：,由此可归纳出的式子为( ),(2)(2021宁波高二检测)两点等分单位圆时，有相应正确,关系为sin +sin(+)=0;三点等分单位圆时，有相应正,确关系为 由此可以推知，四点等分单位圆时的相应正确关系为_.,【自主解答】,(1)选C.根据几个不等式的特点，左边应为n项，,所以左边=1+ 右边= 故归纳出的不等式,为,(2)用两点等分单位圆时，关系为sin +sin(+)=0,两个角的正弦值之和为0，且第一个角为,第二个角与第一个角的差为(+)-=,用三点等分单位圆时，关系为,此时三个角的正弦值之和为0，且第一个角为,第二个角与,第一个角的差与第三个角与第二个角的差相等，即有,依此类推，可得当四点等分单位圆时，为四个角正弦值之和,为0，且第一个角为,第二个角为 +,第三个角,为 =+,第四个角为+ +,即其关,系为,答案：,【方法技巧】,1.归纳推理的特点及一般步骤,2.类比推理的特点及一般步骤,【补偿训练】等差数列an的公差为d,前n项和为Sn,有如下的性质:,(1)通项an=am+(n-m)d,m,nN*,mn.,(2)假设m+n=p+q,其中m,n,p,qN*,那么am+an=ap+aq.,(3)假设m+n=2p,m,n,pN*,那么am+an=2ap.,(4)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等差数列.,类比上述性质,在等比数列bn中,写出相类似的性质.,【解析】设等比数列bn中,公比为q,前n项和为Tn,(1)通项bn=bmqn-m,m,nN*,mn.,(2)假设m+n=p+q,其中m,n,p,qN*,那么bmbn=bpbq.,(3)假设m+n=2p,其中m,n,pN*,那么 =bmbn.,(4)Tn,T2n-Tn,T3n-T2n构成等比数列.,主题二 演绎推理的应用,【典例2】(2021厦门高二检测)函数,f(x)= x2+alnx(aR).,(1)假设f(x)在1,e上是增函数,求a的取值范围.,(2)假设a=1,1xe,证明:f(x) x3.,【自主解答】,(1)因为f(x)=x+ ,且f(x)在1,e上是增函数,所以f(x)=x+ 0在1,e上恒成立,即a-x,2,在1,e上恒成立,所以a-1.,(2)当a=1时,f(x)= x,2,+lnx,x1,e.,令F(x)=f(x)- x,3,= x,2,+lnx- x,3,又F(x)=x+ -2x,2,= 0,所以F(x)在1,e上是减函数,所以F(x)F(1)= - 0,所以x1,e时,f(x)0,b0,x(0,+),试确定f(x)的增减性.,【解析】方法一:设0x10,所以x2-x10,0b,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),所以f(x)在(0, 上是减函数;,当x2x1 时,x2-x10,x1x2 b,所以f(x,1,)-f(x,2,)0,即f(x,1,)0,b0,x(0,+),所以令f(x)=- +b=0,得x= ,当0 时,- +b0,即f(x)0,所以f(x)在( ,+)上是增函数.,主题三 综合法与分析法,【典例3】(1)a,b,c为互不相等的非负数.,求证:a2+b2+c2,(2)(2021马鞍山高二检测)用分析法证明2cos(-)-,【自主解答】(1)因为a2+b22ab,b2+c22bc,a2+c22ac,又因为a,b,c为互不相等的非负数,所以上面三个式子中都不能取“=,所以a2+b2+c2ab+bc+ac,因为ab+bc ,bc+ac ,ab+ac ,又a,b,c为互不相等的非负数,所以ab+bc+ac,所以a2+b2+c2,(2)要证原等式成立,只需证:,2cos(-)sin-sin(2-)=sin.,因为左边=2cos(-)sin-sin(-)+,=2cos(-)sin-sin(-)cos-cos(-)sin,=cos(-)sin-sin(-)cos=sin=右边,所以成立,即原等式成立.,【方法技巧】综合法和分析法的特点,(1)综合法和分析法是直接证明中最根本的两种证明方法,也是解决数学问题的常用的方法,综合法是由因导果的思维方式,而分析法的思路恰恰相反,它是执果索因的思维方式.,(2)分析法和综合法是两种思路相反的推理方法:分析法是倒溯,综合法是顺推,二者各有优缺点.分析法容易探路,且探路与表述合一,缺点是表述易错;综合法条理清晰,易于表述,因此对于难题常把二者交互运用,互补优缺,形成分析综合法,其逻辑根底是充分条件与必要条件.,【补偿训练】(0,),求证:2sin2,【证明】,方法一：(分析法),要证明2sin 2 成立.,只要证明4sin cos ,因为(0,),所以sin 0.只要证明4cos ,上式可变形为4 +4(1-cos ).,因为1-cos 0,所以 +4(1-cos ),当且仅当cos = ,即= 时取等号.,所以4 +4(1-cos )成立.,所以不等式2sin 2 成立.,方法二：(综合法),因为 +4(1-cos )4,1-cos 0,当且仅当cos = ,即= 时取等号,所以4cos ,因为(0,),所以sin 0.4sin cos ,所以2sin 2,主题四,反证法的应用,【典例4】,设数列a,n,满足a,n,=n+ ,求证:数列a,n,中任意不同的三项都不能成为等比数列.,【自主解答】由an=n+ ,假设an中存在三项ap,aq,ar,(p,q,r互不相等)成等比数列,那么 =apar,所以(q+ )2=(p+ )(r+ ),即(q2-pr)+(2q-p-r) =0.,由于p,q,rN*,所以,消去q得(p-r)2=0.,故p=r,这与pr矛盾.那么原假设不成立.,所以an中任意不同的三项都不能成为等比数列.,【方法技巧】对反证法的认识,(1)如果一个命题的结论难以直接证明,可以考虑运用反证法.通过反设结论,经过逻辑推理,得出矛盾,从而肯定原结论成立.,(2)反证法着眼于命题的转换,改变了研究的角度和方向,使论证的目标更为明确,由于增加了推理的前提原结论的否认,更易于开拓思路,因此对于直接论证较为困难的时候,往往采用反证法证明.所以反证法在数学证明中有着广泛的应用.,(3)反证法是高中数学的一种重要的证明方法,在不等式和立体几何的证明中经常用到,在高考题中也经常表达,它所反映出的“正难那么反的解决问题的思想方法更为重要.反证法主要证明:否认性、唯一性命题;至多、至少型问题;几何问题.,【补偿训练】,求证:在抛物线y,2,=2px(p0)上任取四点所组成的四边形不可能是平行四边形.,【证明】抛物线y2=2px(p0),在抛物线上任取四点,设点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),那么=2pxi(i=1,2,3,4),于是直线AB的斜率为kAB=,同理,假设四边形ABCD是平行四边形,那么有kAB=kCD;kAD=kCB,那么有,整理得,所以A,C两点重合,B,D两点重合.这与A,B,C,D是平行四边形的四个顶点矛盾,故假设不成立,即在抛物线y2=2px(p0)上任取四点所组成的四边形不可能是平行四边形.,主题五,数学归纳法的应用,【典例5】,用数学归纳法证明(n,2,-1,2,)+,2,(n,2,-2,2,)+n(n,2,-n,2,),= n,2,(n-1)(n+1)(nN,*,).,【证明】,(1)当n=1时，左边=1(1,2,-1,2,)=0，,右边= 1,2,02=0，,所以左边=右边，n=1时等式成立.,(2)假设当n=k(kN*)时等式成立，,即1 (k2-12)+2(k2-22)+k(k2-k2)= k2(k-1)(k+1).,那么当n=k+1时，,1(k+1)2-12+2(k+1)2-22+k(k+1)2-k2+(k+1)(k+1)2-(k+1)2,=1(k2-12)+2(k2-22)+k(k2-k2)+1(2k+1)+,2(2k+1)+k(2k+1),= k2(k-1)(k+1)+ (2k+1),= k(k+1)k(k-1)+2(2k+1),= k(k+1)(k,2,+3k+2)= (k+1),2,k(k+2)，,即当n=k+1时等式成立.,由(1)(2)知对一切nN,*,，等式成立.,【方法技巧】数学归纳法的证题步骤及本卷须知,(1)用数学归纳法证明命题的具体步骤是：,证明当n取第一值n0(例如，n0=1，n0=2等)时结论正确；,假设当n=k(kN*且kn0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对从n0开始的所有的正整数n都正确.,(2)在用数学归纳法证明与正整数有关的命题时，第一步是递推的根底，缺少第一步，递推就缺乏正确的根底.一方面，第一步再简单，也不能省略；另一方面，第一步只要考查使结论成立的最小正整数就足够了，一般没有必要再多考查几个正整数.第二步是递推的根据，仅有这一步而没有第一步，就失去了递推的根底，这说明了缺少第一步这个根底，第二步的递推也就没有意义了.只有把第一步的结论与第二步的结论结合在一起，才能得出普遍性的结论.,【补偿训练】(2021盐城高二检测)设关于正整数n的函数f(n)=122+232+n(n+1)2，,(1)求f(1)，f(2)，f(3).,(2)是否存在常数a，b，c使得f(n)= (an2+bn+c)对一切正整数n都成立？并证明你的结论.,【解析】,(1)f(1)=4，f(2)=22，f(3)=70.,(2)假设存在a，b，c使题设的等式成立，这时，n=1，2，3得,a+b+c=24，,4a+2b+c=44，解得：a=3，b=11，c=10.,9a+3b+c=70.,于是，对n=1，2，3下面等式成立：,12,2,+23,2,+n(n+1),2,= (3n,2,+11n+10).,记S,n,=12,2,+23,2,+n(n+1),2,.,假设n=k时上式成立，即S,k,= (3k,2,+11k+10)，,那么,= (k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2),2,= (3k,2,+5k+12k+24),= 3(k+1),2,+11(k+1)+10，,也就是说，等式对n=k+1也成立，,综上所述，当a=3，b=11，c=10时，题设的等式对一切正整数n成立.,【强化训练】,1.用演绎推理证明函数y=x3是增函数时的大前提是(),A.增函数的定义,B.函数y=x3满足增函数的定义,C.假设x1x2,那么f(x1)x2,那么f(x1)f(x2),【解析】选A.根据演绎推理的特点知,演绎推理是一种由一般到特殊的推理,所以函数y=x3是增函数的大前提应是增函数的定义.,2.(2021济宁高二检测)“所有9的倍数都是3的倍数,某奇数是9的倍数,故某奇数是3的倍数,上述推理(),A.小前提错 B.结论错,C.正确 D.大前提错,【解析】选C.此三段论推理正确.,3.设等比数列an的公比q=2,前n项和为Sn,那么 =(),A.2 B.4 C. D.,【解析】选C.在等比数列an中,q=21,设首项为a10,那么S4=,又a2=a1q=2a1,故,4.(2021杭州高二检测),(a,b均为实数),猜测，,a=_,b=_.,【解析】,由 可以求出3=2,2,-1,8=3,2,-1,15=4,2,-1,故在6+ 中,a=6,b=a,2,-1=6,2,-1=35.,答案:,635,5.(2021东莞高二检测)当n=1时,有(a-b)(a+b)=a2-b2,当n=2时,有(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3,当n=3时,有(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4-b4,当nN*时,你能得到的结论是.,【解析】,根据题意,由于当n=1时,有(a-b)(a+b)=a,2,-b,2,当n=2时,有(a-b)(a,2,+ab+b,2,)=a,3,-b,3,当n=3时,有(a-b)(a,3,+a,2,b+ab,2,+b,3,)=a,4,-b,4,当nN,*,时,左边第二个因式可知为a,n,+a,n-1,b+ab,n-1,+b,n,那么对应的表达式为(a-b)(a,n,+a,n-1,b+ab,n-1,+b,n,)=a,n+1,-b,n+1,.,答案:,(a-b)(a,n,+a,n-1,b+ab,n-1,+b,n,)=a,n+1,-b,n+1,6.|x|1,|y|1,用分析法证明:|x+y|1+xy|.,【证明】要证|x+y|1+xy|,即证(x+y)2(1+xy)2,即证x2+y21+x2y2,即证(x2-1)(1-y2)0,因为|x|1,|y|1,所以x2-10,1-y20,所以(x2-1)(1-y2)0,不等式得证.,7.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,且AD=2,AB=1,PA平面ABCD,E,F分别是线,段AB,BC的中点.,(1)证明:PFFD.,(2)判断并说明PA上是否存在点G,使得EG平面PFD.,【解析】(1)连接AF,那么AF= ,DF= ,又AD=2,所以DF,2,+AF,2,=AD,2,所以DFAF,又PA平面ABCD,所以DFPA,又PAAF=A,所以 DFPF.,(2)过点E作EHFD,交AD于点H,那么EH平面PFD,且有AH= AD,再过点H作HGDP交PA于点G,那么HG平面PFD且AG= AP.,所以平面EHG平面PFD,所以EG平面PFD.,从而线段AP上满足AG= AP的点G即为所求.,
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