41布洛赫定理

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,苏州大学研究生课程,固体物理（,）,Solid State Physics (,),曹海霞,hxcao,References,1. 黄昆韩汝琦,固体物理学, 高等教育出版社,2.阎守胜,固体物理基础, 北京大学出版社,3.方俊鑫，陆栋,固体物理学（下）, 上海科学技术出版社,4.C.Kittel,Introduction to solid state physics,7th edition, New York,5.方俊鑫，殷之文,电介质物理学, 科学技术出版社,6. 钟维烈,铁电体物理学, 科学技术出版社,7. 宛德福等，,磁性物理学,黄昆（,1919年,9月2日,2005年,7月6日,）。,国际著名的中国,物理学家,、教育家、中国固体物理学先驱、中国,半导体,技术奠基人。,黄昆1919年9月出生于,北京,，1941年毕业于,燕京大学,，1944年毕业于,西南联合大学,的,北京大学,理科研究所，获硕士学位，1947年在英国布里斯托大学获得博士学位。,黄昆获得博士学位后曾在,英国,爱丁堡大学,物理系、,利物浦大学,理论物理系从事研究工作。,1951年，黄昆回到北京大学任物理系教授，1977年后任,中国科学院,半导体研究所所长直到退休。,黄昆早年在爱丁堡大学与著名物理学家、诺贝尔奖得主,玻恩,教授一起从事研究工作，合著了在固体物理学界享有声誉的,晶格动力学,一书。1956年，黄昆在北京大学物理系任教授期间，参与创建了中国第一个半导体物理专业，为中国信息产业培养了第一批人材。在北京大学任教期间，黄昆还主持本科生教学体系的创建工作，并著有,固体物理学,教材，享有盛誉。,2001年，黄昆与其北大校友,王选,一同获得了该年度,国家最高科学技术奖,。,殷之文,材料科学家。1919-2006年，汉族，研究员。江苏省吴县人1993年当选为中国科学院院士。,1942年毕业于云南大学采矿冶金系。,1948年获美国密苏里大学冶金系硕士学位。,1950年获美国伊利诺大学陶瓷工程系硕士学位。中国科学院上海硅酸盐研究所研究员、学术委员会主任。,自1950年回国以后他长期从事功能陶瓷和闪烁晶体的研究工作。他是中国功能陶瓷的首创者，这方面的成就为今后大量生产和应用这类材料打下了基础。,Assessment,1. Homework Problem Sets,（20）,2. Oral Presentation ( in groups),（20）,3. Final Exam,（60）,OUTLINE,1 Introduction,2 Energy Bands,(Chap.4, 5),3 Semiconductor crystals,(Chap.7),4 Magnetism -,Diamagnetism, Paramagnetism,Ferromagnetism, Antiferromagnetism,5 Dielectrics and Ferroelectrics,6*,Optical Processes,Introduction,凝聚态物理(Condensed Matter Physics),从微观角度出发,研究相互作用多粒子系统组成的凝聚态物质(固体和液体)的结构和动力学过程, 及其与宏观物理性质之间关系的一门科学.,凝聚态物理的重要性,(1)它为力学,流体力学,电子学,光学,冶金学及固态化学等经典科学提供了量子力学基础.,(2)它为高技术的发展作出了巨大贡献. 如它是晶体管,超导磁体,固态激光器, 高灵敏辐射能量探测器等重大技术革新的源头. 对通信,计算以及利用能量所需的技术起着直接的作用, 对非核军事技术也产生了深刻的影响.,凝聚态物理各子领域与经济社会关系表,科学的前沿：,Before 80年代：天体物理、粒子物理 After 80年代：凝聚态物理,凝聚态物理已占整个物理学的半壁江山,凝聚态物理不同于其他学科, 内容显得多而杂,有必要站在科学发展的高度, 审视其内在的规律.,科学史学家 Thomas Kuhn 强调范式在学科发展过程中的作用 :/,Thomas Kuhn,(1922.7.18-1996.6.17),在Harvard 大学读,理论物理研究生时,写的一本书,1.1 范式,1.什么叫范式? (Paradigm),An example that serves as pattern or model.,样式作为样本或模式的例子,2.学科的范式,联贯的理论体系,一个学科的成熟以其范式的建立为标准,范式对学科从整体上把握有重要意义,3. 学科发展的范式,科学的演化是经过不同阶段循环发展的过程。,前范式阶段,(pre-paradigm),常规科学阶段,(normal science),反常阶段,(anomaly),危机阶段,(crisis),科学革命阶段,(scientific revolution),新范式阶段,(new paradigm).,科学发展过程中，范式的转换构成了科学革命。而一门成熟科学的发展历程是可以通过范式转换来描述的。,1.2 固体物理的范式,1.范式的建立,时间: 20世纪上半叶,基础:,(1). 晶体学: 晶体周期结构的确定,1669: 晶面角守恒律(Steno),1784: 有理指数定律和晶胞学说(Hauy),1848: 空间点阵学说(Bravais),1889-1891: 空间群理论(Federov 和 Schvenflies),1912: 晶体X射线衍射实验(Laue),(2). 固体比热的理论: 初步的晶格动力学理论,1907: 独立振子的量子理论(Einstein),1912: 连续介质中的弹性波的量子理论(Debye),1912: 周期结构中的弹性波(Born 和 von Karman),(3). 金属导电的自由电子理论: Fermi 统计,1897: 电子的发现(Thomson),1900: 金属电导和热传导的经典自由电子理论(Drude),1924: 基于Fermi统计的自由电子理论(Pauli 和 Sommerfield),(4). 铁磁性研究:自旋量子理论,1894: 测定铁磁-顺磁转变的临界温度(Curie),1907: 铁磁性相变的分子场理论(Weiss),1928: 基于局域电子自旋相互作用的铁磁性量子理论,另外:,电子衍射的动力学理论(Bethe),金属导电的能带理论(Bloch),基于能带理论的半导体物理(Wilson),标志: 1940年 Seitz “固体的现代理论”,1955年 Solid State Physics,-Advance in Research and Application,2.范式的内容,核心概念:,周期结构中波的传播 (1946年Brillouin著),晶体的平移对称性(周期性),波矢空间(倒空间),强调共有化的价电子以及波矢空间的色散关系,波矢空间的基本单元:,Brillouin区,焦点:,Brillouin区边界或区内某些特殊位置的能量-波矢,色散关系,晶格动力学+固体能带理论,3. 范式的定量表述,标量波 (电子),波,矢量波 (电磁波）,张量波 (晶格波）,(1)标量波,在绝热近似，单电子近似下, 电子在周期场中的运动(de Broglie波)方程:,Bloch theorem,R:格位矢,G:倒格矢,Ek, 能带结构（能量色散关系）,Si Structure of Energy Band，Semiconductor,Indirect Band Gap,价带,导带,价带顶,导带底,fcc IBZ,Irreducible Brillouin Zone,固体能带结构的两种理解:,(1). 近自由电子图像+周期势场的微扰,(2). 原子能级图像+晶体场展宽(紧束缚近似),Two atoms,Six atoms,Solid of N atoms,(2). 矢量波,电磁波: Maxwell Eq.,应用: X射线衍射动力学,Bragg Eq.,光子晶体(photonic crystal),周期性结构调制，波的运动产生色散，形成带结构，带隙之间的波禁止通过，称为禁带。,电子的运动,光子的运动？,光子晶体:在高折射率材料的某些位置周期性出现低折射率的材料. 这种光的折射率指数的周期性变化产生了光带隙结构，控制着光在晶体中的运动。,1987年提出概念:,E. Yablonovitch (PRL 58, 2059),S. John (PRL 58, 2486),1990年理论预言第一个有完整光子带隙的三维光子晶体,(PRL 65, 3152),1991年实验制备第一个有完整光子带隙的三维光子晶体,(PRL 67, 2295),Whats Photonic crystal?,光子禁带材料，从材料结构上看，光子晶体是一类在光学尺度上具有周期性介电结构的人工设计和制造的晶体。与半导体晶格对电子波函数的调制相类似，光子带隙材料能够调制具有相应波长的电磁波-当电磁波在光子带隙材料中传播时，由于存在布拉格散射而受到调制，电磁波能量形成能带结构。能带与能带之间出现带隙，即光子带隙。所具能量处在光子带隙内的光子，不能进入该晶体。光子晶体和半导体在基本模型和研究思路上有许多相似之处，原则上人们可以通过设计和制造光子晶体及其器件，达到控制光子运动的目的。光子晶体(又称光子禁带材料)的出现，使人们操纵和控制光子的梦想成为可能。,光子晶体多为人工设计, 自然界也有: 蛋白石、蝴蝶翅膀,Opal,Butterfly,Traditional multi-layer film,三维光子晶体,二维光子晶体,光子带隙,Dielectric,Constant,GaAs : 13,GaAlAs : 12,Air : 1,举例 一维复式格子,若只考虑最近邻近似，第个晶胞中质量为M,1,的原子所受力为：,其运动方程为,(3)张量波,晶格的运动(格波): 晶格动力学,同理可写出第s个晶胞中质量为M,2,的原子的运动方程为：,u，v可以是复数，第个晶胞中质量为 的原子的与k相同，但振幅不同，由于u，v是复数，故u，v可以有一个相因子之差，表示它们之间的相位关系。,我们将代入运动方程得： 这是以u，v为未知数的方程组，要有非零解须系数行列式为零。便可得到：,展开此行列式可得： 即,上式中取“ ” 号时，有较高频率称为光学支色散关系(optical branch)，取“ ”号时，有较低频率称为声学支色散关系(acoustical branch)。,Optical Branch and Acoustical Branch,当k= 设 对声学支 对光学支,为了讨论比较典型,我们处理长波极限下的情况。当ka1（即波长比点阵常数大得多的光学支与声学支）,三维晶格的振动,三维复式格子,各原子偏离格点的位移,晶体的原胞数目,原子的质量,第,l,个原胞的位置,原胞中各原子的位置, 一个原胞中有n个原子,第k个原子运动方程, 原子在三个方向上的位移分量, 一个原胞中有3n个类似的方程,方程右边是原子位移的线性齐次函数，其方程的解,将方程解代回3n个运动方程, 3n个线性齐次方程, 系数行列式为零条件，得到3n个,长波极限,3个, 趋于一致, 三个频率对应的格波描述不同原胞之间的相对运动, 3支声学波, 3n3支长波极限的格波描述一个原胞中各原子间的相对运动, 3n3支光学波,结论：晶体中一个原胞中有n个原子组成，有3支声学波和3n3支光学波,4. 范式的开拓和深化,开拓: 无序体系,深化: 量子相干性,无序体系:,相对于周期性晶体结构而言. 非晶,液晶,准晶,液体等. K不是好量子数,量子相干性:,主要体现在输运性质方面, 输运性质由载流子对散射中心散射决定: 弹性散射+非弹性散射,弹性散射平均自由程 非弹性散射平均自由程,介观体系: 体系尺度非弹性散射平均自由程,AB效应,研究对象扩展,从周期结构非周期结构，准周期结构,从高维（）扩展到低维，分数维,Condensed Matter Physics,研究对象不断扩大,各分支学科互相交叉,新的分支不断涌现 分数维,介观物理,团簇物理,基本理论不断丰富和发展,小结,1.1 范式,1.什么叫范式?,2.学科的范式,3.学科发展的范式,1.2 固体物理的范式,1.范式的建立,2.范式的内容,3.范式的定量表述,(1)标量波(2)矢量波（光子晶体),(3)张量波,4.范式的开拓和深化,Part 1 Energy Bands -Bloch theorem,Introduction,固体能带的形成,能带理论的基本假设,Bloch theorem,布洛赫定理的两种表达方式,证明,波矢k的取值及其物理意义,单个电子在周期性势场中的运动问题处理,Introduction,能带理论, 研究固体中电子运动的主要理论基础,能带理论 定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点, 晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的间距, 能带论提供了分析半导体理论问题的基础，推动了半导体技术的发展, 随着计算机技术的发展，能带理论的研究从定性的普遍性规律发展到对具体材料复杂能带结构的计算, 说明了导体、非导体的区别,Bloch和Brillouin为解决金属的电导问题，研究了周期场中运动的电子性质。,固体能带的形成,原子能级和量子化轨道,共有化电子,能带,能带理论的基本假设,晶体由大量电子和原子核组成的多体系统，但晶体的许多电子过程仅与外层电子有关。,多体系统的求解非常困难，因此进行系列近似处理，将多粒子问题简化为单电子在周期场中运动的问题。,绝热近似,：把价电子和离子实分开，即把多粒子体系简化为多电子体系。,单电子近似,：假定每个电子都处于相同的其它电子和离子实所形成的平均势场中运动。即把多电子问题简化为单电子问题。,周期场近似,：一般温度下，近似认为离子实处在平衡位置，假定所有电子和离子实产生的场都具有晶格周期性。,能带理论是单电子近似的周期场理论 把每个电子的运动看成是独立的在一个等效势场中的运动,单电子近似 最早用于研究多电子原子（ 哈特里福克,自洽场方法）,能带理论的出发点 固体中的电子不再束缚于个别的原子，而是在整个固体内运动 ，即成为共有化电子,理想晶体 晶格具有周期性，等效势场V(r)具有周期性,采用以上三个近似，固体能带理论的核心问题就变成求解一个周期场中的单电子问题。,即晶体中的电子在晶格周期性的等效势场中运动,Wave Eq.,Periodic Potential,本章主要讨论两种晶体势场：,晶体势场的周期性起伏比较弱，周期势场可看成对自由电子的微扰，称为近自由电子近似,(nearly free electron),。大多数金属属于此类情况。,晶体势场的周期性起伏很大，晶体中的电子比较紧的束缚在某一原子附近，周期势场可看作对原子势场的围绕，称为紧束缚近似,(tight binding approximation),。惰性元素晶体属于此类。,Two expressions of Bloch Theorem,1） Solutions of Schrodinger Eq. satisfy, Bloch Theorem,Wavevector, 当平移晶格矢量, 波函数只增加了位相因子,Bloch Theorem periodic potential,Schrodinger Eq.,Periodic Function,2）According to Bloch Theorem,电子的波函数, Bloch Function,即，周期场中电子的波函数是一个周期性调幅的平面波。,平面波因子描述晶体的共有化运动，即电子可以在整个晶,体中自由运动,周期函数因子描述电子在原胞中的运动，它取决于原胞中电子的势场。,Bloch波：是被周期函数所调幅的平面波。,平面波亦满足此式，其是一个特殊的bloch波。,Bloch电子：遵从周期性单电子薛定谔方程的电子，,或用bloch波描述的电子。,Bloch给出了在晶格周期场中运动的单个电子所具有的波函数形式，它们满足：,这说明，晶格周期场中的电子在各原胞对应点上出现的几率均,相同，电子可以看做是在整个晶体中自由运动的，这种运动称,为电子的共有化运动。,布洛赫定理的证明,引入平移算符，证明平移算符与哈密顿算符对易，两者具有相同的本征函数,利用周期性边界条件确定平移算符的本征值，最后给出电子波函数的形式, 势场的周期性反映了晶格的平移对称性,晶格平移任意矢量 势场不变, 在晶体中引入描述这些平移对称操作的算符,平移任意晶格矢量,对应的平移算符,作用于任意函数,平移算符作用于周期性势场,平移算符 的性质,各平移算符之间对易,对于任意函数,平移算符和哈密顿量对易,对于任意函数,和 微分结果一样,平移算符的,本征值,三个方向 上的原胞数目,引入周期性边界条件,总的原胞数, T和H存在对易关系，选取H的本征函数，使它同时,成为各平移算符的本征函数,对于,对于,对于, 整数, 引入矢量, 倒格子基矢,满足,平移算符的本征值,将 作用于电子波函数, Bloch Theorem,电子的波函数,满足布洛赫定理, 晶格周期性函数, 布洛赫函数,平移算符本征值的物理意义,/波矢k的取值及其物理意义,1）, 原胞之间电子波,函数位相的变化,2）平移算符本征值量子数, 简约波矢，不同的简约波矢，原胞之间的位相差不同,3）简约波矢改变一个倒格子矢量,平移算符的本征值,为了使简约波矢 的取值和平移算符的本征值一一对应，将简约波矢的取值限制第一布里渊区,简约波矢,简约波矢的取值,第一布里渊区体积,每个波矢表示电子的量子态，如果将波矢的末端看作量子态的代表点，则量子态代表点在倒格子空间均匀分布,简约波矢, 在 空间中第一布里渊区均匀分布的点,每个代表点的体积,状态密度,简约布里渊区的波矢数目,单个电子在周期性势场中的运动问题处理,第一步简化 绝热近似：离子实质量比电子大，离子运动速度慢，讨论电子问题，认为离子是固定在瞬时位置上,第二步简化 利用哈特里一福克自治场方法，多电子问题简化为单电子问题，每个电子是在固定的离子势场以及其它电子的平均场中运动,第三步简化 所有离子势场和其它电子的平均场是周期性势场,单个电子在周期性势场中的运动问题处理,1）,能量本征值的计算, 选取某个具有布洛赫函数形式的完全集合，晶体电子态的波函数按此函数集合展开,2）电子波函数的计算, 根据每个本征值确定电子波函数展开式中的系数，得到具体的波函数, 将电子的波函数代入薛定谔方程，确定展开式的系数所满足的久期方程，求解久期方程得到能量本征值,