空间中的平行关系

,直线、平面平行的判定及其性质,【高考要求】,1.熟记直线和平面平行、平面和平面平行的判定定理和性质定理。,2.灵活运用以上定理实现“线线”、“线面”、“面面”平行的转化。,命题趋势,1,从考查内容看，本节是高考每年的必考内容，主要考查平行的判定和性质，其中线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是高考的热点,2,从考查形式看，主要以解答题的形式出现，有时也以选择题、填空题的形式考查，属中档题,【知识梳理】,1.直线与平面平行,(1)判定定理:,此平面内,(2)性质定理:,交线,2.平面与平面平行,(1)判定定理:,相交,(2)性质定理:,相交,交,线,典型例题,考点,1：,直线与平面平行,、平面与平面平行,的判定,例1,思路1：,线面平行判定定理,关键找线线平行,思路2：,利用面面平行,关键找两对互相平行的直线,思路1：,线面平行判定定理,关键找线线平行,思路2：,面面平行,【变式训练,1,】,1.,如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是,平行四边,形,E是P,A,的中点.,求证:,PC,平面,EB,D.,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是,平行四边,形,M、N,是P,D、BC,的中点.,求证:,MN,平面,PAB,.,【变式训练,2,】,如图,三棱柱ABC-A,1,B,1,C,1,中,D,E分别是AB,BB,1,的中点.,证明:BC,1,平面A,1,CD;,证明,线面平行,的方法有哪些？,线面平行的判定定理,面面平行的定义,空间向量,证明,面面平行,的方法有哪些？,面面平行的判定定理,面面平行的传递性,线面垂直的性质,空间向量,考点,2：,直线与平面平行,、平面与平面平行,的,性质,例2,F,P,H,E,G,A,C,B,Q,D,证明,线线平行,的方法有哪些？,平面几何：定义、中位线、平行线分线段成比例、平行四边形、梯形,线面平行性质定理,面面平行性质定理,公理4：平行线传递性,线面垂直的性质：,垂直于同一平面的两直线平行,空间向量,【,变式练习3,】,1.如图,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交,平面BDM于GH.,求证:APGH.,【证明】,如图,连接AC交BD于点O,连接MO,因为四边形ABCD是平行四边形,所以O是AC的中点,又M是PC的中点,所以APOM,又AP平面BMD,OM平面BMD,故有AP平面BMD.,因为平面PAHG平面BMD=GH,所以APGH.,课堂小结,重视三种平行间的转化关系,线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的问题的指导思想,解题中既要,注意一般的转化规律,又要看清题目的具体条件,选择正确的转化方向.,思 考：,【,变式练习4,】,如右图,所示，在空间四边形,ABCD,中，截面,EFGH,为平行四边形，,试证：,BD,平面,EFGH,，,AC,平面,EFGH,.,证明：,截面,EFGH,为平行四边形，,EH,FG,，根据直线,与平面平行的判定定理知：,EH,平面,BCD,，又,EH,平面,ABD,，平,面,ABD,平面,CBD,BD,，,根据直线与平面平行的性质定理知,BD,EH,，,因此，,BD,平面,EFGH,，同理：,AC,平面,EFGH,.,又在平行四边形ABCD中，CM AD.,所以NE MC，,即四边形MCEN是平行四边形所以NM EC.,又EC平面ACE，NM 平面ACE，所以MN平面ACE，,即在PD上存在一点E，且E为线段PD的中点，使得NM平面ACE.,考点,3：,探索性问题,例3,【,变式练习5,】,如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是平行四边形,PA平面ABCD,点M,N分别,为BC,PA的中点.在线段PD上是否存在一点E,使NM平面ACE?若存在,请确定点E的位置;若不存在,请说明理由.,【解析】,在PD上存在一点E，使得NM平面ACE，且E为线段PD的中点.证明如下：如图，,取PD的中点E，连接NE，EC，AE，,因为N，E分别为PA，PD的中点，,所以NE AD.,2.(2014洛阳模拟)如图所示,在三棱柱ABC-A,1,B,1,C,1,中,A,1,A平面ABC,若D是棱CC,1,的中点,在棱AB上是否存在一点E,使DE平面AB,1,C,1,?若存在,请确定点E的位置;若不存在,请说明理由.,【解析】,存在点E,且E为AB的中点.,证明如下:,取AB的中点E,BB,1,中点F,连接DE,DF,EF,则B,1,FC,1,D,B,1,F=C,1,D,所以四边形B,1,FDC,1,为平行四边形.,所以DFB,1,C,1,.,又DF平面AB,1,C,1,B,1,C,1,平面AB,1,C,1,所以DF平面AB,1,C,1,.,同理EF平面AB,1,C,1,.,因为DFEF=F,DF平面DEF,EF平面DEF,所以平面DEF平面AB,1,C,1,.,因为DE平面DEF,所以DE平面AB,1,C,1,.,【规范解答11】,平行关系证明的规范解答,【典例】,(12分)(2014德州模拟)如图,几何体E-ABCD是四棱锥,ABD为正三角形,CB=CD,CEBD.,(1)求证:BE=DE.,(2)若BCD=120,M为线段AE的中点,求证:DM平面BEC.,【审题】,分析信息,形成思路,信息提取,思路分析,(1),ABD为正三角形,三角形三个内角相等,三边相等,(2),CEBD,利用线线垂直确定线面垂直,(3),BCD=120,M为线段AE的中点,证明DM平面BEC,利用中点构造三角形的中位线找到线线平行线面平行,【解题】,规范步骤，水到渠成,(1)如图，,取BD中点为O，,连接OC，OE，,则由BC=CD,知COBD.1分,又CEBD,ECCO=C,CO,EC平面EOC,所以BD平面EOC.,所以BDOE.3分,又因为O是BD中点，,所以BE=DE.4分,(2)如图，取AB的中点N，连接DM，DN，MN，,因为M是AE的中点，,所以MNBE.6分,又MN,平面BEC，BE平面BEC，,所以MN平面BEC.8分,又因为ABD为正三角形，所以BDN30，,又CBCD，BCD120，,因此CBD30，所以DNBC.,10分,又DN,平面BEC，BC平面BEC，,所以DN平面BEC.,又MNDNN，故平面DMN平面BEC，,又DM平面DMN，所以DM平面BEC.,12分,【点题】,失分警示,规避误区,失分点,防范措施,处不知取点O或忽视O为BD的中点,而无法入手,所求与已知中均有线段相等,即出现等腰三角形公共边问题,此种情况下,一般取底边的中点作辅助线,失分点,防范措施,处忽视MN平面BEC和DN平面BEC,造成步骤书写不完整,利用判定定理证明直线与平面平行时,必须满足三个条件:第一,直线a在平面外;第二,直线b在平面内;第三,两直线平行,这三个条件缺一不可,特别是“直线a在平面外”容易忽视,在写步骤时不要忽略,处不能利用内错角相等,得出DNBC,从而无法求解,证明线线平行要注意应用平面几何中的有关定理、性质,【变题】,变式训练,能力迁移,如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA平面ABCD,AP=AB,BP=BC=2,E,F分别是,PB,PC的中点.,(1)求证:EF平面PAD.,(2)求三棱锥E-ABC的体积.,