矩阵与线性代数方程组

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,矩阵与线性代数方程组,线性方程的数值解,矩阵分解,矩阵求逆,线性方程组的矩阵表示,n,阶线性方程组：,AX = B,克莱姆法则,Di,为第,i,列换成,B,后所得的行列式值,D,det,（,A,）,运算速度慢,解线性代数方程组,消去法,迭代法,一般线性方程的直接解法,基本思想：用逐次消去未知数的方法把原方程组化为三角形方程组再求解 。,高斯消去法,高斯约当消去法,高斯消去法,消 元,回 代,归一化,高斯约当消去法,消 元,归一化,高斯消去法的计算量,消 元,回 代,归一化,计算中的稳定性问题,|,a,kk,|,计算时作分母,当,|,a,kk,|,等于,0,时，运算中断,当,|,a,kk,|,很接近,0,时，商损失精度或太大产生溢出。,选主元,作用：在高斯法和高斯约当法中消除计算中的不稳定性。,列选主元,全选主元,列选主元,当变换到第,k,步时，保证当前的主元素,a,kk,是第,k,列中,a,kk,以下元素中的绝对值最大者,交换列运算,全选主元,当变换到第,k,步时，从系数矩阵的右下角（,n,k,1,）阶子阵中选取绝对值最大的元素，然后通过行变换与列变换将它交换到主元素矩阵的位置上,交换行和列,程序：,MATLAB,实现,function X=,backsub(A,b,),%A,是一个,n,阶上三角非奇异阵。,%b,是一个,n,维向量。,%X,是线性方程组,AX=b,的解。,n=,length(b,);,X=zeros(n,1);,X(n,)=,b(n)/A(n,n,);,for k=n-1:-1:1,X(k,)=(b(k)-A(k,k+1:n)*X(k+1:n)/A(k,k);,End,function X=,uptrbk(A,b,),%A,是一个,n,阶矩阵。,%b,是一个,n,维向量。,%X,是线性方程组,AX=b,的解。,N N=,size(A,);,X=zeros(1,N+1);,Aug=A b;,for p=1:N-1,Y,j,=,max(abs(Aug(p:N,p,);,C=,Aug(p,:);,Aug(p,:)=Aug(j+p-1,:);,Aug(j+p-1,:)=C;,程序：,MATLAB,实现,if,Aug(p,p,)=0,A,是奇异阵，方程无惟一解,break,end,for k=p+1:N,m=,Aug(k,p)/Aug(p,p,);,Aug(k,p:N+1)=Aug(k,p:N+1)-m*Aug(p,p:N+1);,end,end,%,这里用到程序,8-1,中定义的函数,backsub,来进行回代。,X=backsub(Aug(1:N,1:N),，,Aug(1:N,N+1),；,程序：,MATLAB,实现,利用上面两个函数计算：,矩阵分解,矩阵的三角分解,矩阵的,QR,分解,*,矩阵求逆,矩阵的三角分解,设实矩阵,A,的各阶主子式,|,A,ii,|,不等于,0,，则可以对,A,进行如下分解：,A,LU,其中：,L,主对角线元素全为,1,的下三角矩阵（单位下三角矩阵）,U,上三角矩阵,矩阵的三角分解,矩阵的三角分解,利用三角分解解线性方程组,三角分解的要求,Matlab,实现,A = rand(6),l,u,p, =,lu(A,),矩阵求逆,同线性代数书中的作法：原地工作法,Matlab,语句：,Inv,（,A,）：手算结果用,matlab,检验,考虑稳定性：全主元法,公式：,P74,