平面力系平衡问题

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,理论力学,主 讲：谭宁 副教授,办公室：东校区中,1,楼,2103,理论力学,1,3.,平面力系的平衡问题,平面力系平衡方程,刚体系统的平衡,静定、静不定问题,作业题,2,平面力系向作用面内任选一点,O,简化，一般可得一个力和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，作用于简化中心,O,；这个力偶的矩等于该力系对于,O,点的主矩,。,得到平面力系平衡的充分必要条件是：,主矢,主矩,平面任意力系平衡方程,平面力系平衡方程,3.,平面力系的平衡问题,3,充分性：,当 时，表明作用于简化中心,O,的汇交力系是平衡力系；附加力偶系亦是平衡力系，故原力系平衡。,根据力系的简化结果可知道，此时原力系可简化为一个力偶或一个力，与“假设原力系平衡”的前提条件不符，故只有 均为零，原力系才能平衡。,必要性：,当原力系平衡时，我们用反设法说明。假设 有一个不为零，即,平面任意力系平衡方程,平面力系平衡方程,3.,平面力系的平衡问题,4,平衡条件的解析式：,上面的方程式是力系平衡的充分必要条件，也称为平衡方程的,基本方程,。,有三个方程，可解三个未知量。,平衡条件的矢量式：,平面任意力系平衡方程,平面力系平衡方程,3.,平面力系的平衡问题,平衡方程基本形式,5,二矩式,x,轴不得垂直于,A,、,B,的,连线。,（,3,）又若该力系又同时满足 ，而,x,轴不得垂直于,AB,连线,时，显然力系不可能有合力。这就表明，只要满足以上三个方程及附加条件，该力系必平衡,（,1,）若力系已满足了 ，则表明力系不可能简化为一力偶，只可能是作用线通过,A,点,的一个合力，或者是平衡。,（,2,）若该力系同时满足 ，则该力系合成结果或者是作用线通过,A,、,B,两点的一个合力，或者是平衡。,F,R,平面任意力系平衡方程,平面力系平衡方程,3.,平面力系的平衡问题,平衡方程其他形式,6,平面任意力系平衡方程,三矩式,A,、,B,、,C,三,点不得共线。,平面力系平衡方程,3.,平面力系的平衡问题,平衡方程其他形式,为什么呢？,7,平面平行力系的平衡方程,此时， 自然满足。则平面平行力系平衡方程为,只有两个方程，可解两个未知量。,平面力系平衡方程,3.,平面力系的平衡问题,思考：,是否还有其它的形式？,8,平面汇交力系的平衡方程,各力汇交于一点,A,， 自然满足。则平面汇交力系平衡方程为,只有两个方程，可解两个未知量。,平面力系平衡方程,3.,平面力系的平衡问题,思考：,是否还有其它的形式？,9,平面力偶系的平衡方程,显然，关于力平衡的方程自然满足。,只有一个方程，可解一个未知量。,平面力系平衡方程,3.,平面力系的平衡问题,10,平面任意力系平衡方程,1,根据问题条件和要求，,选取研究对象,。,2,分析研究对象的受力情况，画受力图,。画出研究对象所受的全部主动力和约束力。,3,根据受力类型,列写平衡方程,。平面一般力系只有三个独立平衡方程。为计算简捷，应选取适当的坐标系和矩心，以使方程中未知量最少。,4,求解。,校核和讨论计算结果。,平面力系平衡方程,3.,平面力系的平衡问题,求解步骤：,11,例,1,：,一种车载式起重机，车,重,P,1,= 26 kN,，起重机伸臂重,P,2,= 4.5 kN,，起重机的旋转与固定部分共重,P,3,= 31 kN,。,尺寸如图所示。设伸臂在起重机对称面内，且放在图示位置，试求车子不致翻倒的最大起吊重量,P,max,。,应用举例,平面力系平衡方程,3.,平面力系的平衡问题,12,解：取汽车及起重机为研究对象，受力分析如图。,不翻倒的条件是：,F,A,0,。,因此，得到,F,A,F,B,应用举例,平面力系平衡方程,3.,平面力系的平衡问题,列平衡方程如下：,13,例,2,：,如,图所示是汽车制动机构的一部分。已知司机踩到制动蹬上的力,F,=212 N,，,= 45,。当平衡时，,DA,铅,直，,BC,水平，试求拉杆,BC,所受的力。已知,EA,=24 cm,，,DE,=6 cm,点,E,在铅直线,DA,上,，,又,B,，,C,，,D,都是光滑铰链，机构的,自重不计。,应用举例,平面力系平衡方程,3.,平面力系的平衡问题,14,O,q,x,y,A,B,D,F,F,D,F,B,解,：,(,1).,取制动蹬,ABD,作为研究对象，画出受力图。,(2),列平衡方程,应用三力平衡汇交的条件得到,应用举例,平面力系平衡方程,3.,平面力系的平衡问题,15,应用举例,例,3,：,已知,求支座,A,、,B,处的约束力,.,平面力系平衡方程,3.,平面力系的平衡问题,16,解,:,(1),取,AB,梁，画受力图,.,F,Ax,F,Ay,此处，把分布力简化成集中力,Q,，作用在,D,点,Q,D,F,B,应用举例,例,3,：,已知,求支座,A,、,B,处的约束力,.,平面力系平衡方程,3.,平面力系的平衡问题,17,例,3,：,已知,求支座,A,、,B,处的约束力,.,应用举例,(2),列平衡方程,F,Ax,F,Ay,Q,D,平面力系平衡方程,3.,平面力系的平衡问题,F,B,18,例,4,：,已知旋转式起重机，自重,W=,10 kN,，被起吊重物重,Q=,40 kN,。求：止推轴承,A,和径向轴承,B,的约束反力。,应用举例,平面力系平衡方程,3.,平面力系的平衡问题,19,解：以起重机为研究对象，画受力图。,列平衡方程：,应用举例,平面力系平衡方程,3.,平面力系的平衡问题,20,刚体系统平衡：,是指组成该系统的每一个刚体都处于平衡状态。,外力：,外界物体作用于刚体系统上的力称为外力。,内力：,系统内部各个刚体之间的相互作用力称为内力。,刚体系统的平衡,3.,平面力系的平衡问题,刚体系统：,由若干个刚体连接而成的系统。,21,对于系统整体画受力图，图上展示的仅是外力；当取系统中的某一部分为研究对象时，此时，该部分与系统其他部分之间的作用力（本来是内力）也变成了作用在该部分上的外力。因此，,对不同的研究对象而言，外力、内力是相对的,。,刚体系统的平衡,3.,平面力系的平衡问题,注意！,22,刚体系统的平衡,3.,平面力系的平衡问题,系统平衡的特点,：,系统整体是平衡的；,物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列,3,个平衡方程，整个系统可列,3,n,个方程（设物系中有,n,个物体,每个物体都受有平面一般力系作用）,由,n,个刚体组成的物系，,其中,n,1,个刚体为二力体或受有平面力偶系作用，,n,2,个刚体受有平面汇交力系或平行力系作用，,n,3,个刚体受有平面一般力系作用，且：,n = n,1,+,n,2,+,n,3,，则整个系统可列出,m,个独立的平衡方程，且,m = n,1,+,2,n,2,+,3,n,3,，可求解,m,个未知量。,23,刚体系统的平衡,3.,平面力系的平衡问题,分析方法：,先以系统整体为研究对象，列出平衡方程，这样的方程中不包含内力，未知量较少，解出部分未知量后，再选择合适的单个物体为研究对象，列出平衡方程，直到求出所有的未知量为止。,整体,局部,以系统的每一个物体为研究对象，列出全部的平衡方程，然后求解。,求解刚体系统的平衡问题，主要依据前面给出的平衡理论。,24,研究刚体系统的平衡问题需要注意以下几点：,分清,内力和外力,。,灵活,选取研究对象和列写平衡方程,。,如系统由,n,个物体组成，而每个物体在平面力系作用下平衡，则,有,3,n,个独立的平衡方程，可解,3,n,个,未知量,。,刚体系统的平衡,3.,平面力系的平衡问题,25,已知：,a,、,P,、,Q,。求,A,、,B,的约束,反力。,刚体系统的平衡,3.,平面力系的平衡问题,例一,26,解：,(1),考虑整体,受力如图所示，,F,Ax,F,Ay,F,Bx,F,By,列平衡方程如下：,(2),考虑左半部，受力分析如图,4,个方程，,4,个未知量，可解。,F,Cy,F,Cx,刚体系统的平衡,3.,平面力系的平衡问题,这里不需列全部方程，只需有针对性地列出必要的方程！,27,刚体系统的平衡,3.,平面力系的平衡问题,28,刚体系统的平衡,3.,平面力系的平衡问题,求解方法二,（,1,）选取研究对象：左刚架，,受力分析如图所示。,F,Cy,F,Cx,列平衡方程：,29,（,1,）选取研究对象：右刚架，,受力分析如图所示。,F,Bx,F,By,F,Cy,F,Cx,刚体系统的平衡,3.,平面力系的平衡问题,求解方法二,列平衡方程：,6,个方程可解出,6,个未知量,思考：法一和法二的不同之处在哪里？哪种方法简单？总结两种方法的特点。,30,图示结构,，,F,p,和,l,均已知，分别,求两种情况下的约束力。,刚体系统的平衡,3.,平面力系的平衡问题,例二,31,B,A,l,l,l,A,C,B,l,l,F,P,第一种情形,M,A,(,F,),=,0 :,F,BC,d,-,F,P, 2,l,= 0,解：,该系统中，,BC,为二力杆。,以,AB,为研究对象，作出受力图,F,y,=,0 :,F,Ay,-,F,P,+,F,BC,sin45,= 0,F,Ay,=,-,F,P,F,P,F,Ay,F,Ax,F,BC,d,F,x,=,0 :,F,Ax,+F,BC,cos, =,0,F,Ax,=,-,2,F,P,刚体系统的平衡,3.,平面力系的平衡问题,32,解：,以整体为研究对象，作出受力图,l,l,A,C,B,l,第二种情形,M,=,F,P,l,A,C,B,M,=,F,P,l,F,A,F,C,列平衡方程,此时,AB,为二力杆,。,刚体系统的平衡,3.,平面力系的平衡问题,正确识别出二力杆，对解题有很大帮助。,33,已知：四连杆机构,ABCD,受力,P,、,Q,作用。 求,:,机构平衡时,P,、,Q,的关系。,例三,刚体系统的平衡,3.,平面力系的平衡问题,34,解：以整体为研究对象，,受力分析如图所示。,列平衡方程,刚体系统的平衡,3.,平面力系的平衡问题,AD,、,BC,均为二力杆,35,A,，,B,，,C,，,D,处均为光滑铰链，物块重为,P,，通过绳子绕过滑轮水平地连接于杆,AB,的,E,点，各构件自重不计，试求,B,处的约束力。,P,刚体系统的平衡,3.,平面力系的平衡问题,例四,36,解：取整体为研究对象。受力分析如图。,列平衡方程,F,Ay,F,Ax,F,C,x,F,Cy,P,解得,P,刚体系统的平衡,3.,平面力系的平衡问题,37,再取杆,AB,为研究对象，受力分析如图。,列平衡方程,联立求解可得,F,Ay,F,Ax,F,By,F,Bx,F,E,P,刚体系统的平衡,3.,平面力系的平衡问题,38,结构由,杆,AB,与,BC,在,B,处铰接而成。结构,A,处为固定端，,C,处为辊轴支座。结构在,DE,段承受均布载荷作用，载荷集度为,q,；,E,处作用有外加力偶，其力偶矩为,M,。若,q,、,l,、,M,等均为已知，试求,A,、,C,二处的约束力。,刚体系统的平衡,3.,平面力系的平衡问题,例五,39,解：,以整体为研究对象，受力如图：,分布力化成了集中力,Q,，且,Q=2ql,，作用在,B,点。,列平衡方程,F,A,x,F,A,y,M,A,M,Q,F,C,刚体系统的平衡,3.,平面力系的平衡问题,40,以,BC,杆为研究对象，从铰链,B,处把,BC,取出来，则,BC,杆必然受到铰链的作用力，如图：,把分布力化为集中力,P,，,P=ql,，,作用在,G,处。得到,BC,杆的受力图：,列平衡方程,解得,G,刚体系统的平衡,3.,平面力系的平衡问题,41,例六,刚体系统的平衡,3.,平面力系的平衡问题,平面结构如图所示，不计各杆自重。,已知,：,试求：支座,A,、,C,处的约束反力,42,刚体系统的平衡,3.,平面力系的平衡问题,F,DY,F,DX,F,E,P,E,D,解：先,取,ED,为研究,对象，受力如图。,列平衡方程,43,P,F,E,E,Q,2L,2L,F,C,C,D,B,F,BY,F,BX,(b),（,2,）取,EDCB,组合体为研究对象，画受力图,刚体系统的平衡,3.,平面力系的平衡问题,列平衡方程,思考：怎么列方程简单？,分布力化成了集中力,Q,44,2L,(c),P,F,C,F,E,E,Q,2L,C,D,B,M,F,AY,F,AX,M,A,刚体系统的平衡,3.,平面力系的平衡问题,（,3,）取整体为研究对象，画出受力图,列平衡方程，求解出,F,AX,、,F,AY,、,M,A,思考：该题还可以怎么做？,45,齿轮传动机构如图所示。齿轮,的半径为,r,，自重,P,1,。齿轮,的半径为,R,=2,r,，其上固定一半径为,r,的塔轮,，轮,与,共重为,P,2,= 2,P,1,。齿轮压力角为,=20,被提升的物体,C,重为,P,= 20,P,1,。,求,：（,1,）,保持物,C,匀速上升时，作用于轮上力偶的矩,M,；,（,2,）光滑轴承,A,，,B,的约束力。,A,B,r,r,R,M,C,P,P,1,P,2,刚体系统的平衡,3.,平面力系的平衡问题,例七,46,刚体系统的平衡,3.,平面力系的平衡问题,齿轮某一特定圆上的比值,p,/,和压力角,都定为标准值，这个圆称为,分度圆,，直径用,d,表示,.,压力角,啮合力与齿轮分度圆切线的夹角,标准值为,20,。,相邻两齿同侧齿廓间的弧长称为该圆的,齿距,p,47,A,B,r,r,R,M,C,P,P,1,P,2,压力角,啮合力与齿轮分度圆切线的夹角,标准值为,20,。,刚体系统的平衡,3.,平面力系的平衡问题,48,解：,(,1).,取,，,轮及重物为研究对象，受力分析如图所示。,A,B,r,r,R,M,C,III,P,P,1,P,2,C,B,K,P,F,Bx,F,By,F,n,P,2,列平衡方程,解得,刚体系统的平衡,3.,平面力系的平衡问题,49,2.,再取,轮为研究对象，受力分析如图所示。,A,B,r,r,R,M,C,III,P,P,1,P,2,A,K,M,P,1,F,Ax,F,Ay,列平衡方程,解得,刚体系统的平衡,3.,平面力系的平衡问题,50,前面讨论了平面问题中几种力系的平衡问题。注意到：,平面任意力系有,3,个，,平面力偶系只有,1,个。,平面汇交力系和平面平行力系各有,2,个，,因此，对于每一种力系，能求解的未知数的数目也是一定的。,若系统中的未知约束力数目恰好等于独立平衡方程的数目，则这些未知数就可全部由平衡方程求出，这类问题称为静定问题。,若未知约束力的数目多于独立平衡方程的数目，仅仅用刚体静力学平衡方程不能全部求出那些未知数，这类问题称为超静定（或静不定）问题。,静定、静不定问题,3.,平面力系的平衡问题,51,图（,a,） ，（,c,）均为静定问题；而图（,b,），（,d,）均为超静定问题。,(a),(b),(c),(d),静定、静不定问题,3.,平面力系的平衡问题,52,判断下面结构是否静定？,F,A,x,F,A,y,F,B,x,F,B,y,F,A,x,F,A,y,F,B,x,F,B,y,F,A,x,F,A,y,M,A,F,B,x,F,B,y,否,是,否,静定、静不定问题,3.,平面力系的平衡问题,思考,53,静定、静不定问题,3.,平面力系的平衡问题,思考,判断下面结构是否静定？,54,需要指出的是，超静定问题并不是不能求解的问题，而只是不能仅仅用静力学平衡方程来解决的问题。如果考虑到物体受力后的变形，在平衡方程外，加上足够的补充方程也可求出全部未知约束力。这将在材料力学、结构力学等课程中加以研究。,工程上很多结构都是超静定的。由于结构增加了多余约束后，使结构具有更大的刚度，更经济地利用材料，使安全更可靠。,静定、静不定问题,3.,平面力系的平衡问题,55,本章小结,3.,平面力系的平衡问题,（,1,）平面力系是静力学的重点内容，要特别注意研究方法和解题技巧及步骤,.,在解系统平衡问题时，通常需按题意考虑选取整个体系，或选取体系中某几个物体组成的（子）体系，或选取体系中的单个物体为研究对象。注意,每个研究对象的受力图应分别画出，不应混在一张图上画。,（,3,）列平衡方程时，总是希望一个方程式中只含一个未知量，这样既能迅速解出未知量，又不致因计算差错而相互影响。因此，应根据具体情况灵活选择平衡方程的形式以及投影轴和矩心。,（,2,）平面力系平衡方程的三种形式。,56,3.,平面力系的平衡问题,3-10 3-14 3-19,作业题,57,