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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,学案4 数 列 求 和,考点1,考点2,考点3,填填知学情,课内考点突破,规 律 探 究,考 纲 解 读,考 向 预 测,返回目录,考 纲 解 读,数列求和,1.掌握等差、等比数列的求和公式.,2.了解非等差、等比数列求和的几种常用方法.,等差数列、等比数列前n项和公式的考查一直是高考中数列考查的重点内容，同时，数列与其他知识的综合问题中考查错位相减、裂项求和也时有出现，是复习中另一个注意方面.,预测2012年高考,错位相减法求和仍是高考重点,同时注意裂项相消法求和.,考 向 预 测,返回目录,1.常见数列的前n项和,(1),等差数列前n项和S,n,=,，,推导：,；等比数列前n项和,na,1,， q=1，,q1.,推导：,.,倒序相加法,乘公比错位相减,S,n,=,返回目录,(2),常见数列的前n项和：,（1）1+2+3+n=,；,（2）2+4+6+2n=,；,（3）1+3+5+（2n-1）=,；,（4）1,2,+2,2,+3,2,+n,2,=,.,(3),常用的数列求和方法,（1）公式法（分组求和法）：把一个数列分成几个可以直接求和的数列；,n,2,+n,n,2,返回目录,（2）裂项相消法：有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩有限项再求和；,（3）错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和；,（4）倒序相加法：例如，等差数列前n项和公式的推导方法.,3.常见的拆项公式,(1) =,;,返回目录,(2) =,;,(3) =,.,返回目录,根据数列a,n,的通项公式，求其前n项和S,n,.,（1）a,n,=10,n,-1;（2）a,n,=n(n+1).,【分析】,若数列为等差数列、等比数列，或能转化为等差、等比数列，或转化为能用其他公式的，用公式法求和.,考点1 公式法求和,返回目录,【,解析,】,（,1,）,S,n,=a,1,+a,2,+a,n,=,（,10,1,+10,2,+10,n,）,-,n=,（,2,）,S,n,=a,1,+a,2,+a,n,=,（,1,2,+1,）,+,（,2,2,+2,）,+,（,n,2,+n,）,=(1,2,+2,2,+n,2,)+(1+2+n),= n(n+1)(n+2).,返回目录,在数列求和中，常用的公式有：,（1）等差数列：,na,1,q=1,q1.,（3） 1+2+n=,（4） 1,2,+2,2,+n,2,= n(n+1)(2n+1).,（2）等比数列: S,n,=,返回目录,已知数列log,2,(a,n,-1),nN*为等差数列,且a,1,=3,a,3,=9.,（1）求数列a,n,的通项公式；,（2）证明:,返回目录,(1),设等差数列log,2,(a,n,-1)的公差为d.,由a,1,=3，a,3,=9得2（log,2,2+d）=log,2,2+log,2,8,即d=1.所以log,2,(a,n,-1)=1+(n-1)1=n,即a,n,=2,n,+1.,(2) 证明:因为 ，,所以,返回目录,2010年高考课标全国卷设数列a,n,满足a,1,=2,a,n+1,-a,n,=32,2n-1,.,（1）求数列a,n,的通项公式；,（2）令b,n,=na,n,，求数列b,n,的前n项和S,n,.,【分析】,由a,n,与a,n+1,的关系可用累加法求数列通项公式，由a,n,特点选择恰当方法求S,n,.,考点2 错位相减法求和,返回目录,【解析】,(1)由已知,当n1时,a,n+1,=(a,n+1,-a,n,)+(a,n,-a,n-1,)+(a,2,-a,1,)+a,1,=3(2,2n-1,+2,2n-3,+2)+2=2,2(n+1)-1,.,而a,1,=2,符合上式,所以数列a,n,的通项公式为a,n,=2,2n-1,.,(2)由b,n,=na,n,=n,2,2n-1,知,S,n,=12+22,3,+32,5,+n2,2n-1, ,从而2,2,S,n,=12,3,+22,5,+32,7,+n2,2n+1,. ,-得,(1-2,2,)S,n,=2+2,3,+2,5,+2,2n-1,-n2,2n+1,即S,n,= (3n-1)2,2n+1,+2.,返回目录,（1）一般地，如果数列a,n,是等差数列，b,n,是等比数列，求数列a,n,b,n,的前n项和时，可采用错位相减法.,（2）用乘公比错位相减法求和时，应注意：,要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；,在写出“S,n,”与“qS,n,”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S,n,-qS,n,”的表达式.,利用错位相减法求和时，转化为等比数列求和.若公比是个参数（字母），则应先对参数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和.,返回目录,设数列a,n,的前n项和为S,n,=2n,2,b,n,为等比数列,且a,1,=b,1,b,2,(a,2,-a,1,)=b,1,.,（1）求数列a,n,和b,n,的通项公式；,（2）设c,n,= ，求数列c,n,的前n项和T,n,.,返回目录,（1）,当n=1时，a,1,=S,1,=2；,当n2时，a,n,=S,n,-S,n-1,=2n,2,-2（n-1）,2,=4n-2.,故a,n,的通项公式为a,n,=4n-2，,即a,n,是首项a,1,=2，公差d=4的等差数列.,设b,n,的公比为q，则b,1,qd=b,1,，d=4，q= .,故b,n,=b,1,q,n-1,=2 ，,即b,n,的通项公式为b,n,= .,返回目录,（2）c,n,= =（2n-1）4,n-1,，,T,n,=c,1,+c,2,+c,n,=1+34,1,+54,2,+（2n-1）4,n-1,，,4T,n,=14+34,2,+54,3,+（2n-3）4,n-1,+（2n-1）4,n,.,两式相减得,3T,n,=-1-2（4,1,+4,2,+4,3,+4,n-1,）+（2n-1）4,n,= （6n-5）4,n,+5.,T,n,= （6n-5）4,n,+5.,返回目录,【分析】,由条件，设首项为a,1,公差为d,建立方程组求解a,1,d,则a,n,可求，S,n,可求，由b,n,中b,n,与a,n,关系选择恰当求法.,考点3 裂项相消法求和,2010年高考山东卷已知等差数列an满足：a,3,=7,a,5,+a,7,=26,a,n,的前n项和为S,n,.,(1)求a,n,及S,n,;,(2)令b,n,= (nN*)，求数列b,n,的前n项和T,n,.,返回目录,【解析】,(1)设等差数列a,n,的公差为d,因为a,3,=7,a,5,+a,7,=26,所以,a,1,+2d=7 a,1,=3,2a,1,+10d=26, d=2.,所以a,n,=3+2(n-1)=2n+1,S,n,=3n+ 2=n,2,+2n.,解得,返回目录,(2)由(1)知a,n,=2n+1,所以b,n,=,所以T,n,=,即数列b,n,的前n项和T,n,=,返回目录,(1)利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项等，实际上，裂项法求和时消项的规律具有对称性，即前剩多少项后就剩多少项；前剩第几项，后就剩倒数第几项.再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.,(2)一般情况如下,若a,n,是等差数列，则,此外根式在分母上时可考虑利用有理化因式相消求和.,(3)要注意掌握常用的裂项方法和技巧.,返回目录,设数列a,n,的前n项和为S,n,，点(n， )(nN*)均在函数y=3x-2的图象上.,（1）求数列a,n,的通项公式；,（2） ，T,n,是数列b,n,的前n项和，求使得T,n, 对所有nN*都成立的最小正整数m.,返回目录,（1）,依题意得 =3n-2，,即S,n,=3n,2,-2n.,当n2时，a,n,=S,n,-S,n-1,=(3n,2,-2n)-3(n-1),2,-2(n-1)=6n-5；,当n=1时，a,1,=S,1,=31,2,-21=1=61-5,a,n,=6n-5(nN*).,返回目录,（2）由(1)得b,n,=,故T,n,=b,1,+b,2,+b,n,因此，使得 (nN*)成立的m必须满足 ,即m10.,故满足要求的最小正整数m为10., ,返回目录,1.数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差或等比或可求前n项和的数列来求之.,2.掌握由通项公式确定求和方法，如积的倒数和用裂项相消法，形如a,n,=nq,n-1,用错位相减法等.,返回目录,
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