力学与结构基本知识

第1章 绪论和静力学基本知识,1.,74,第1章 绪论和静力学基本知识,1.,77,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,力学与结构基本知识,建筑力学的研究对象和任务,静力学的基本概念和假设,结构的计算简图,力、力矩和力偶理论,平面汇交力系,平面力偶系的合成与平衡,平面一般力系,物体的重心,习 题,本章内容,教学要求：,了解建筑力学的研究对象和基本任务；了解刚体的概念、建筑力学的基本假设、杆件变形的基本形式、荷载的分类；熟悉各种约束的性质；掌握结构计算简图的概念及绘制受力图的方法。熟悉力、力矩、力偶、力偶矩的基本概念；掌握平面力系的简化、平衡及工程应用；重点掌握应用平面一般力系的平衡方程求解简单刚体系统平衡问题；了解重心的概念、重心位置的确定方法和重心概念在建筑设计中的应用。,本章首先介绍结构的概念和分类，阐述建筑力学的研究对象和基本任务；然后介绍刚体和变形体；建筑力学基本假设；力、力矩、约束和约束反力；荷载及荷载分类等基本概念及各种公理；平面汇交力系和平面力偶系的合成与平衡条件；在此基础上，重点介绍一般力系的简化、平衡条件及在工程中的应用。此外还介绍物体重心的求法及重心的概念在建筑设计中的应用。,建筑力学的研究对象和任务,土木工程中的各类建筑物，从开始建造就承受各种荷载的作用。工程中把主动作用于建筑物上的外力称为荷载，把建筑物中承受并传递荷载而起骨架作用的部分叫做建筑结构，简称结构。组成结构的单个物体叫构件。梁、柱、板、墙和基础等都是常见的构件。构件一般分为三类，即杆件(一个方向的尺寸远大于另外两个方向的尺寸，如梁、柱、墙、板)、薄壁构件(一个方向的尺寸远小于另外两个方向的尺寸，如薄板)和实体构件(三个方向的尺寸相差不大，如水坝)。在建筑结构中应用最广的是由杆件组成的结构，称为杆系结构，如图1.1(a)和1.1(b)所示是由一个梁或柱组成；也可以由几个杆件组合在一起构成刚架结构或桁架结构，如图1.1(c)所示的屋架是由很多杆件组成的屋盖结构；如图1.1(d)所示是由一根梁和拉杆组成的雨篷结构。,一、,建筑力学的研究对象,图1.1 杆系结构,建筑力学的主要研究对象就是杆件和杆系结构，其他的如薄壁构件、实体构件是弹性力学的研究内容。,建筑结构构件在规定的荷载作用下能安全工作而不能发生材料破坏。关于结构及构件的安全(或破坏)问题称为强度问题。,在荷载作用下，结构及杆件的形状、尺寸和位置均会发生改变，称为变形。一个结构在荷载作用下，尽管有足够的强度，但如果变形过大，也会影响正常使用。为保证结构的正常工作，必须控制结构在荷载作用下的变形，称为结构的刚度问题。,结构中某些受压的细长杆件，如屋架中的压杆，在外力较小时能维持其直线平衡状态，但当压力超过某一值时(这个值比按强度计算的值小得多)，压杆的直线平衡状态已不稳定，稍有扰动很容易突然变弯，从而导致结构的破坏，这种现象称为失稳破坏，属于结构的稳定性问题。,综上所述，建筑力学的研究任务就是研究杆系结构在外荷载及其他因素作用下结构和构件的强度、刚度和稳定性。,二、,建筑力学的研究任务,建筑力学的研究对象和任务,静力学的基本概念和假设,刚体是在外力作用下，其内部任意两点之间的距离不发生变化的物体。实际物体在外力作用时，内部各点之间的距离都会发生一定的改变，即物体产生了变形。当物体的变形很小时，可以将变形略去不计，这时，物体可以抽象为刚体，从而使问题的研究大为简化。,但当研究的问题与物体的变形密切相关时，就必须考虑物体的变形，哪怕是极其微小的变形，这时就要把物体抽象为变形体这一力学模型。变形体是在外力作用下内部各点之间距离会发生变化的物体。如研究一个简支梁在外力作用下的内力时，可以把简支梁看做一个刚体，而要研究梁的变形时，就必须把梁看作变形体了。,一、,刚体和变形固体的概念,二、,建筑力学的基本假设,建筑力学的基本假设有如下两个。,1. 材料的连续、均匀、各向同性假设,连续是指固体内部没有空隙。相应地，固体内出现的物理量(如变形、位移等)也可以看成是连续的，从而可以用坐标的连续函数来描述。,均匀是指固体内各处的力学性质完全相同。从而可以取出物体的任意微小部分来研究，其结果可以推广至整个物体。,各向同性是指固体在各个方向上具有相同的力学性质。,上述假设不仅使力学计算大为简化，依据它们所得出的结论也是可以满足工程所需精度的。,2. 结构及构件的微小变形假设,工程常用的材料，在荷载不超过一定范围时，只有弹性变形没有塑性变形，称为弹性体。,建筑力学中假设结构及构件的变形都是微小的，讨论变形后结构的平衡时，可以忽略这些变形值而按变形前结构及构件的尺寸来进行计算，并且荷载的作用位置也不改变。,三、,杆件变形的基本形式,杆件的变形有下列四种基本形式。,l. 轴向拉伸或压缩,当一直杆在两端承受轴向的拉力或压力时，其发生的变形是沿杆轴线方向的伸长或缩短，如图1.2(a)、图1.2(b)所示。,静力学的基本概念和假设,2. 剪切变形,当杆件在两横截面处有一对垂直于杆轴，但方向相反的横向力作用时，其发生的变形为该两截面沿横向力方向发生相对错动，如图1.2(c)所示。,图1.2 杆件变形的基本形式,静力学的基本概念和假设,3. 扭转变形,杆件在一对大小相等、转向相反、位于垂直于杆轴线的两个平面内的力偶作用下，杆件任意两个横截面发生绕轴线的相对转动，如图1.2(d)所示。,4. 弯曲变形,当杆件在两端承受一对外力矩，且力矩的作用面与杆件的横截面垂直时。杆件轴线由直线变为曲线，杆件的这种变形称为弯曲，如图1.2(e)所示。有时，当杆件在一组垂直于杆件轴线方向的横向力作用下发生弯曲变形时，还伴有剪切变形，称为横力弯曲。,工程实际中的杆件，大多数情况下同时承受多种荷载作用而发生复杂的变形，但它们都可以看作是上述基本变形的组合。,四、,荷载的分类,作用在建筑结构上的外力称为荷载，例如结构的自重、施加在结构上的土压力和水压力。除了外力外，还有其他因素引起结构的内力和变形，如温度变化、基础的不均匀沉降、材料的收缩等。从广义来说，这些因素也是荷载。根据不同的标准可以把荷载分成不同的种类。,静力学的基本概念和假设,1. 按荷载作用时间的长短分类,(1) 永久荷载(恒载)。永久荷载是指在结构使用期间内，其值不随时间变化，或变化与平均值相比可忽略不计的荷载。例如结构的自重、土压力等。,(2) 可变荷载(活载)。可变荷载是指在结构使用期间内，其值随时间变化且其变化值与平均值相比不可忽略不计的荷载。例如，楼屋面上的人群荷载，作用在建筑物上的风荷载、雪荷载等。,(3) 偶然荷载。偶然荷载是指在结构使用期间内，不一定出现，但一旦出现其值便很大且持续时间短的荷载。这种荷载如果在设计时考虑不周，可能引起严重的后果。如建筑物所受的地震作用、桥墩所受的轮船的撞击荷载、爆炸荷载等。,2. 按作用在结构上的荷载性质分类,(1) 静力荷载。静力荷载就是指大小、方向和作用点不随时间而发生变化的荷载。,(2) 动力荷载。动力荷载就是指大小、方向随时间而发生变化的荷载。,静力学的基本概念和假设,3. 按作用在结构上的荷载分布状况分类,(1) 体荷载。体荷载指分布在结构整个体积内连续作用的荷载。如图1.3(a)所示的物体G的重力就是典型的体荷载。,(2) 分布荷载。分布荷载指分布在结构某一表面上的荷载。, 均布面荷载。均布面荷载如图1.3(b)所示。, 均布线荷载。若均布面荷载换算到计算构件的纵轴线上，即均布面荷载乘以其负载宽度 ，则可得沿纵向的均布线荷载，如图1.3(c)所示。, 三角形分布荷载。三角形分布荷载如水对水池壁的侧向压力，如图1.3(e)所示。,(3) 集中荷载。作用于结构上的荷载，当分布面积远远小于结构尺寸时，可以认为此荷载是作用于结构某一点上的荷载，即集中荷载如图1.3(d)所示。,图1.3 荷载分类示意图,静力学的基本概念和假设,结构的计算简图,工程中实际结构的受力很复杂，完全按照结构的实际情况进行力学分析是不可能的，也没有必要。省略不重要的细节，突出结构的主要特点，用一个简化的力学图形来代替实际结构进行计算，这个图形就叫做结构的计算简图。,一、,约束与约束反力,对某物体起限制作用的另一物体称为约束。例如轨道对塔吊，墙体对梁、板等。,约束对物体的作用称为约束反力，简称反力。,下面介绍在工程实践中经常遇到的几种约束及其约束反力。,1. 柔性约束,用绳索、链条、皮带等软体构成的约束都属于柔性约束，如图所示。,2. 光滑面约束,光滑接触面的约束反力必然通过接触点，方向沿着接触表面的公法线指向受力物体，如图所示。,结构的计算简图,图1.3 荷载分类示意图,图1.3 荷载分类示意图,3. 铰链约束,铰链约束如图所示，简称铰。若不计摩擦，物体所受到的约束力应通过接触点和圆孔中心。铰链约束的约束反力的大小和方向均为未知，一般将它分解为两个相互垂直的分力 和 ，如图1.6(d)所示。,图1.6 铰链约束,4. 链杆约束,两端用铰链与物体连接且中间不受力的刚性杆称为链杆，如图1.7(a)、(b)所示，链杆也称为二力杆。链杆的约束反力的方向只能沿着链杆两端铰的连线，如图中的(c)、(d)所示。,图1.7 链杆约束,二、,支座与支座反力,工程结构中将结构或构件支撑在另一个静止构件上的装置称为支座。支座对它所支撑构件的约束反力称为支座反力。下面介绍工程中常用的三种支座：固定铰支座(铰链支座)、可移动铰支座和固定端支座。,结构的计算简图,1. 固定铰支座,用铰链将结构或构件与地基或静止的结构物连接起来，构成固定铰支座，如图 1.8(a)所示。也可用图中的(b)(e)表示，通常用水平约束反力 和竖向约束反力 来表示，如图1.8(f)所示。,2. 可移动铰支座(单链杆支座),如图 1.9(a)(e)所示，可移动铰支座又称单链杆支座，该链杆简称支杆。它只限制构件与基础沿链杆轴线的相对运动，对物体的约束反力垂直于支撑面(或沿链杆轴线方向)。,图1.8 固定铰支座,图1.9 可移动铰支座,结构的计算简图,3. 固定端支座,如图所示，固定端支座A既不能水平、竖向移动，也不能转动。工程实际中插入地基中的电线杆，阳台的挑梁，其根部的约束均可以视为固定端支座，如图所示。它的约束反力有三个分量：水平约束反力 、竖向约束反力 和约束反力矩M。,图1.10 固定端支座,图1.11 固定端支座,结构的计算简图,三、,物体的受力分析与受力图,研究物体受力时，我们假想把所研究物体与周围物体分离出来，然后画出它的全部受力，包括主动力和约束力。这样分离出来的物体叫脱离体，画出的图形叫受力图。,画受力图时，所有的杆件均以杆轴线来代替。结点的简化要根据其构造性质而定。凡是各杆可绕其自由转动或各杆之间夹角可以变化的结点称为铰结点；凡是各杆之间夹角在结构变形前后保持不变的结点称为刚结点。例如现浇钢筋混凝土框架结构房屋的梁和柱的连接结点可看作刚结点；单层工业厂房的屋架与柱子用焊接钢板连接或采取其他构造连接，转动刚度不大，认为屋架可以绕柱顶微转动，所以在受力分析中将其简化为铰结点。,作受力图时，有时要根据二力平衡条件、三力平衡汇交定理等平衡条件确定约束反力的指向或者作用线的方向并应先画主动力，后画约束力。,下面用具体的例子说明受力图的画法。,【例1.1】,如图1.12(a)所示，一个钢球重 ，用绳系住，并靠在光滑的斜面上，试分析球的受力情况，并画出受力图。,解 (1) 取钢球作为研究对象。,(2) 先画主动力，重力W。,结构的计算简图,(3) 画约束反力，绳子的约束反力为 ，方向沿绳索方向，背离钢球(拉力)。斜面对球的约束反力方向垂直斜面，指向球心，约束反力为 。受力图如图1.12(b)所示。,图1.12 钢球受力分析,【例1.2】,梁AB上作用有已知力F，梁的自重不计，A端为固定铰支座，B端为可动铰支座，如图1.13(a)所示，试画出梁AB的受力图。,解 (1) 取梁AB为研究对象。,(2) 画出主动力F。,(3) 画出约束反力。梁B端是可动铰支座，其约束反力是 ，沿斜杆轴线作用。此处假设斜向上。A端为固定铰支座，其约束反力为大小、方向不定的 ，可用水平与垂直反力 、 表示，如图1.13(b)所示。,图1.13 水平梁受力分析,结构的计算简图,【例1.3】,一水平梁AB受已知力F的作用，如图1.14(a)所示，A端是固定端支座，梁的自重不计，试画出梁AB的受力图。,解 (1) 取梁AB为研究对象，如图1.14(b)所示。,(2) 画出主动力，即已知力 。,(3) 画出约束反力，A端是固定端支座，其约束反力为水平和竖向的未知力F,Ax,、F,Ay,和约束反力偶 。,图1.14 梁AB受力分析,【例1.4】,如图1.15(a)所示的三角形托架，A、C处为固定铰支座，两杆在B点用铰相连，试画出结构体系的受力图。,解 (1) 取重物W为研究对象。重物W受重力和杆AB的支持力F,N,而平衡。,(2) 取杆BC为研究对象。杆BC受两个铰的约束，有两个约束力分别为F,B,、F,C,，根据二力平衡，这两个力大小相等、方向相反，作用线沿杆轴线。,结构的计算简图,(3) 取杆AB为研究对象，根据作用力与反作用力原理，杆AB在悬臂端处有重物W的压力F,N,，大小等于W，方向竖直向下。在铰B处受杆BC的作用力F,B,，方向沿杆CB方向斜向上。在铰A处受铰A的作用，约束力方向不能判断，可以表示为F,Ax,及F,Ay,。,图1.15 三角形托架受力图,系统内物体间的相互作用力称为内力，系统外物体对该系统的作用称为外力，画系统的受力图时，应只画外力，不画内力；但当研究对象变化时，内力可能变为外力。现将画受力图的注意事项归纳如下：, 根据计算需要选取脱离体时，既可以选取整个系统作为研究对象，也可以只选取一部分，关键要看分析问题的方便。,结构的计算简图, 脱离体的约束要全部去掉，代之以相应的约束力，约束力的方向要根据约束的性质判定。, 研究对象所受的力要全部画出，凡是两物体连接的地方一般都有力的作用，不要遗漏。, 要根据作用力与反作用力之间的关系分析物体的相互作用力的性质和方向。, 有时约束力只能确定作用线的方向，而不能确定该反力的方向，这时可以假定此反力的方向。, 正确判断二力杆。,结构的计算简图,力、力矩和力偶理论,一、,基本概念,力是物体与物体之间的相互作用，这种作用的效果会使物体的运动状态发生变化(外效应)，或者使物体发生变形(内效应)。,力的大小、方向、作用点是力的三要素。力是矢量，可以用一个带箭头的线段来表示，如图1.16(a)所示的力F，可用矢量 表示。,力是矢量，力的合成与分解要符合几何上的平行四边形法则。,如果有两个力同时作用在一个物体的点A上，如图1.16(b)所示，力F,1,和F,2,的大小和方向由有向线段 和 表示， 是平行四边形ABDC的对角线，那么这两个力的作用效果与作用点在A点，大小和方向由有向线段 表示的力F,R,是相同的，这就是力分解与合成的平行四边形法则。在力学分析时，为了分析的方便，可以根据平行四边形法则把,两个作用点相同、方向不同的力合成为一个力；也可以把一个力分,解为作用点相同、方向不同的两个力。,力的国际单位是牛顿(N)，或千牛(kN)。,图1.16 力,1. 力的概念,力既能使物体产生平动效应，又能使物体产生转动效应。如图所示，力F使物体绕O点转动的效应称为力F对O点的矩，简称力矩，即 ，O点称为矩心，矩心O到力F作用线的垂直距离d称为力臂。,习惯上规定，若力使物体绕矩心作逆时针方向转动则力矩为正，反之为负。,力矩的单位是牛顿米(Nm)或千牛顿米(kNm)。,2. 力矩的概念,图1.17 力矩,力、力矩和力偶理论,由一对等值、平行、反向、不共线的力组成的力系叫力偶。它仅使物体产生转动效应而没有平动效应。力偶的大小用力偶矩来度量，力偶中两个力的作用线之间的垂直距离叫力偶臂，力偶矩就等于力与力偶臂的乘积，力偶矩用m来表示，即 ，如图所示。,同力矩的方向一样，力偶使刚体作逆时针转动时，力偶矩为正，反之为负。平面问题中力偶矩和力矩一样，都是代数量。,力偶的基本性质如下：,(1) 力偶只能使物体产生单纯的转动。力偶不能用一个力来代替，也不能和一个力平衡，力偶只能和力偶平衡。,(2) 力偶对作用面内任一个点的力偶矩都相等，都等于力偶矩，而力对不同矩心的力矩不同。,(3) 力偶的等效性。力偶对刚体的转动效果完全取决于力偶矩。,2. 力矩的概念,图1.18 力偶,如果两个力偶的力偶矩大小相等、转向相同，这样的两个互等的力,偶称为等效力偶。,力、力矩和力偶理论,可以得出如下结论：力偶可在其作用面内任意移动和转动，而不改变其对刚体的作用效果；在保持力偶矩的大小和转向不变的情况下，可任意改变力偶的力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的转动效果。因为只要力偶矩的大小和转向不变，力偶总是等效的。,二、,静力学的基本原理,受两个力作用保持平衡的物体称为二力杆。显然，二力杆上的两个力必定等值、反向和共线，如图所示。,1. 二力平衡原理,图1.19 二力平衡,在作用于刚体的原力系上任意加上或减去一个平衡力系，并不改变原刚体的平衡或运动状态。,上述结论显然是成立的，因为平衡力系对刚体的平衡或运动状态没有影响。,2. 加减平衡力系原理,力、力矩和力偶理论,作用在刚体上的力可沿其作用线移到刚体上的任意一点，而其对刚体的作用效应不变，如图所示。,3. 力的可传性原理,图1.20 力沿作用线移动,刚体受不平行的三个力作用而处于平衡状态时，这三个力F1、F2、F3的作用线必定在同一平面内且汇交于一点O，如图所示。,4. 三力平衡汇交原理,图1.21 三力平衡汇交原理,力、力矩和力偶理论,两个物体之间的作用力与反作用力，总是大小相等、方向相反，作用线共线、且作用在不同的两个物体上。,注意：作用力与反作用力的概念与二力平衡条件的概念是不同的，后者作用在同一物体上；前者作用在两个不同的物体上。,5. 作用力与反作用力定律,力、力矩和力偶理论,平面汇交力系,一、,平面汇交力系合成与平衡的几何法,如图1.22(a)所示，设物体上作用两个力 和 ，由平行四边形原理，这两个力可以合成为一个合力 。也可如图1.22(b)所示，先做矢量 等于力 ，再以B点作为起点作矢量 ，等于 ，然后连接AC两点，矢量 即表示合力的大小和方向。此方法称为力的三角形法则。,1. 两个汇交力的合成,图1.22 两个汇交力的合成,对任意个汇交力的合力，可以逐次应用力的三角形法则，将这些力依次合成，从而求出合力的大小和方向。如图所示，一个平面汇交力系 、 、 和 作用于某物体的 点，若求力系的合力，可以从A点开始做矢量 等于力 ，再依次首尾相连做出力 、 和 (依次连接BC、CD、DE)，最后同样可以得到合力 为 。多边形ABCDE称为力多边形，此种作图法称为力多边形法则。,2. 任意个汇交力的合成,图1.23 任意个汇交力的合成,作力多边形时可以任意变换力的次序，不会改变最后合力 的大小和方向。平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力的大小和方向等于原力系中各力的矢量和，合力的作用线通过各力的汇交点。,平面汇交力系,用公式表达为：,（）,平面汇交力系,平面汇交力系平衡的充分和必要条件是：该力系的合力等于零。,用公式表达为：,【例1.5】 刚架如图1.24(a)所示，已知水平力F，求支座A、B的反力。,2. 任意个汇交力的合成,（）,图1.24 刚架受力分析,解 刚架受三力作用平衡必汇交于一点：一个是主动力F ，另外两个是支座A和B的反力，支座B是移动铰支座，反力方向竖直向上，支座A是固定铰支座，由三力平衡汇交原理，反力方向通过力F和力R,B,作用线的交点C。根据受力图图1.24(b)，作力的封闭三角形，如图1.24(c)所示。,(方向如图所示，作用线经过力F与力R,B,作用线的交点C),平面汇交力系,二、,平面汇交力系合成与平衡的解析法,在实际工程中，几何法用得不多，一般常用解析法。,设力F作用在刚体上点A，用有向线段AB表示，如图所示，在力的作用平面内取直角坐标系O,xy,，力F在x、y轴上的投影F,x,、F,y,：,1. 力在坐标轴上的投影,（）,式中，为F与x轴的夹角，由x轴正向逆时针抟动为正。,可求出合力F的大小和方向：,（）,（）,平面汇交力系,图1.25 力在坐标轴上的投影,【例1.6】,已知力F的大小为20kN，与x轴的夹角为-30，如图所示，试计算力F在坐标轴上的投影。,图1.26 力F的投影,平面汇交力系,解,已知如图所示的平面汇交力系，建立直角坐标系，求出各力在x轴、y轴上的投影F,x1,，F,x2,，F,xn,和F,y1,，F,y2,，F,yi,， ，F,yn,，则合力F,R,在x轴、y轴上的投影分别为F,Rx,，F,Ry,，,2. 用解析法计算平面汇交力系的合力,合力的大小和方向：,（）,（）,图1.27 平面汇交力系的合成,平面汇交力系,平面汇交力系平衡条件是该力系的合力等于零。即：,3. 平面汇交力系的平衡,由于 和 恒为非负。若使F,R,=0，必须满足：,（）,式(1-7)就是平面汇交力系平衡的必要和充分条件：力系中所有的力在两坐标轴上的投影的代数和分别等于零，即,应用平面汇交力系的平衡方程，可以求解两个未知量。,平面汇交力系,【例1.7】,如图1.28(a)所示，斜梁AB的中部承受铅垂荷载 。求AB两端的支座反力，已知AB=2l， =30。,图1.28 斜梁受力分析,解 作梁AB的受力图，如图1.28(b)所示。由：,已知F=20kN 。设AB=2l ，则BD= ，AD= ，,故可得：,平面汇交力系,【例1.8】,计算例。,解 作出受力图如图1.29(b)所示。,图1.29 刚架受力分析,平面汇交力系,根据平面汇交力系的解析平衡条件，列平衡方程 即,由图中几何关系，可得： 代入平衡方程可得：,(,),其中，RA为负表示实际方向与假设相反。,由以上例题的分析讨论，现将解析法求解平面汇交力系平衡问题的步骤归纳如下：,(1) 合理选取研究对象。,(2) 画出研究对象的受力图，当约束力的指向不能确定时，可先假设其指向。,(3) 选取适当的坐标系，最好使坐标系与某一未知力垂直，以便简化计算。,(4) 建立平衡方程求解未知力，尽量做到一个方程解一个未知量，避免解联立方程。,(5) 列方程时注意各力正负号，求出未知力带负号时，表示该力的实际指向与假设相反。,平面汇交力系,平面力偶系的合成与平衡,同时作用在物体上的两个或两个以上的力偶，称为力偶系。作用在同一平面内的力偶系称为平面力偶系。,平面力偶系对物体的转动效应应由平面力偶系的合力偶矩确定，合力偶矩等于平面力偶系中各力偶矩的代数和。即,1. 平面力偶系的合成,（）,式(1-8)中，M,R,表示合力偶矩；M,1,，M,2,，M,n,表示原力偶系中各力偶的力偶矩。,【例1.9】,如图所示，两个力偶同时作用在某平面上，求合力偶矩。已知，F=10kN，m,2,=12kNm。,图1.30 平面力偶系,解 两个力偶在同一平面上，可以合成为一个力偶矩。,平面力偶系的合成与平衡,平面力偶系平衡的必要和充分条件是：其合力偶矩为零，即力偶系中各力偶矩的代数和为零：,上式也称为平面力偶系的平衡方程。,【例1.10】,如图所示，梁AB受一力偶矩 作用，梁的自重不计，求梁在支座A、B处的约束反力。,2. 平面力偶系的平衡条件,（）,平面力偶系的合成与平衡,图1.31 梁AB受力分析,解 取梁AB为研究对象。该梁只承受主动力偶矩的作用。力偶矩只能用力偶矩平衡，支座A、B的反力必定组成一个力偶。假设A支座和B支座的反力方向如图所示。,由,支座反力的方向与假设相同。,平面一般力系,作用于物体上的各力的作用线均在同一平面内的力系是平面一般力系。平面汇交力系、平面力偶系可以看作平面一般力系的特例。,平面一般力系是建筑工程中最常见的力系，例如图中折线形的屋架，从尺寸上来看，它的厚度比其他两个方向的尺寸小得多，这种结构一般称为平面结构。平面结构受的力，一般都在同一平面内，组成平面力系，屋架受到屋面传来的竖向荷载、风荷载和支座的水平反力F,Ax,、竖向反力F,Ay,和F,By,的作用，这些力的作用线都在同一平面内，组成一个平面一般力系。,图1.32 折线形屋架,在实际工程中，还有些结构本身并不是平面结构，而且所受的力也不在一个平面内，但是由于结构本身有一个对称平面，且作用于结构上的力也对称于该平面，则作用于该结构上的力也可以简化为在此平面内的平面一般力系。如图所示的挡土墙，考虑它沿长度方向的受力大致相同，通常取1m长度的墙身为代表进行受力分析，并将作用在该墙段上的力系简化为墙身中心对称平面内的平面一般力系。,图1.33 挡土墙,平面一般力系,一、,平面一般力系的合成,1) 力线的平移定理,如图1.34(a)所示，物体上一点A受到力 的作用，力F 到点O的距离为d，现在把力F 的作用点平行移动到O点，为了使力的作用效应不变，在O点加一个力F，与力F大小相等、方向相反，在A点也增加力F与力F大小、方向相同，如图1.34(b)所示。两个力F大小相等、方向相反并不共线，正好组成一个力偶m， ，把两个F替换为力偶 ，如图1.34(c)所示。可以看出，图1.34(a)、(b)、(c)中三种受力的作用效果相同。,1. 平面一般力系向作用面内一点的简化,图1.34 力线的平移,平面一般力系,力线的平移定理：作用于刚体上的力，可以平移到刚体内任意一点，但必须附加一个力偶，力偶的矩等于原来的力对此点之矩。一个力平移到一点可以得到同平面的一个力和一个力偶，反之，同平面的一个力与力偶也一定能合成一个力。,应用该定理时，必须注意以下两点：,(1) 平移力F 的大小与移动点的位置无关，但附加力偶的大小与移动点O的位置有关。,(2) 力线的平移定理说明了作用于刚体一点上的力可以和作用于刚体另外一点的一个力和一个力偶等效，反过来也可以认为平面内的一个力和力偶矩可以转换为一个合力。,在实际工程中，应用力线的平移定理可以更清楚地表示力的作用效应。如图1.35(a)所示，一个单层工业厂房的柱子，在牛腿位置受到吊车梁传来的荷载F，其作用线与柱子轴线间的距离是e，将力F移到柱轴线上的O点时，附加力偶的矩M=Fe(顺时针转向)，如图1.35(b)所示。可以看出，力F使柱子受压，附加力偶矩M使柱子受弯。,图1.35 柱子受力,平面一般力系,2) 平面一般力系向作用平面内一点的简化,如图1.36(a)所示，刚体受到平面内任意力系的作用，各力用F,1,，F,2,， ，F,n,表示。为了求出合力的结果，先将力系向平面内任意一点O简化，由力的平移定理，原力系等效于作用在 点O的平面汇交力系和在此平面内的附加力偶，现将这两个力系合成。,图1.36 力系的简化,因为 ,平面一般力系,平面汇交力系的合力称为主矢，它等于原力系中各力的矢量和，即,附加力偶系的合力偶矩M,0,称为主矩，它等于原力系的各力对简化中心之矩的代数和，即,（）,（）,由此可以看出，平面一般力系向作用面内任意一点O简化，可得到一个力和力偶。这个力等于原力系的主矢，作用线通过简化中心，并等于原力系中各力的矢量和；这个力偶矩等于原力系的主矩，并等于原力系中各力对简化中心之矩的代数和。由于主矢等于原力系中各力的矢量和，所以它与简化中心的选取无关。由于主矩等于原力系中各力对简化中心之矩的代数和，当选取不同的简化中心时，各力的力臂大小不同，因此，主矩也不同。一般情况下，主矩与简化中心的选择有关，指明主矩时必须标明力系的简化中心。,主矢描述的是原力系对物体的平移作用，主矩描述的是原力系对物体绕简化中心的转动作用，二者的作用总和才能代表原力系对物体的作用。因此，单独的主矢R或主矩M,o,并不与原力系等效，即主矢R不是原力系的合力，主矩M,o,也不是原力系的合力偶矩，只有主矢R和主矩M,o,相结合才与原力系等效。,平面一般力系,平面一般力系向作用面内任意一点O的简化，可能有四种简化结果：(1)R0，M,o,=0；(2)R=0，M,o,0 ；(3)R 0，M,o,0 ；(4)R=0，M,o,=0 。下面对这四种情况作具体分析：,(1) 主矢R0 ，主矩M,o,=0 。该力系对简化中心的合力矩等于零，说明该力系与通过简化中心的一个力等效，此时原力系可以简化为一个作用于简化中心O的合力F,R,，此合力就是原力系的合力，即 。,(2) 主矢R=0 ，主矩M,o,0 。此时原力系可以简化为一个力偶，此力偶就是与原力系等效的合力偶，力偶矩为主矩M,o,， ，在这种情况下，主矩与简化中心的选择无关。,(3) 主矢R0 ，主矩M,o,0 。根据力的平移定理，此时力系可以继续简化为一个作用于另一个简化中心O 的合力F,R,。,(4) 主矢R=0 ，主矩M,o,=0 。此时原力系平衡，简化结果与简化中心的选取无关。,2. 平面一般力系的合成,3. 合力矩定理,由前面分析可知，平面力系可简化为一个主矢R和主矩M,o,，当主矢R0 ，主矩M,o,0时，可最终得一合力F,R,，合力对简化中心点O的矩是等于主矩M,o,。即,平面一般力系,而,所以,（）,由于简化中心O 是任意选取的，故上式具有普遍意义。,平面一般力系的合力矩定理：平面一般力系的合力对作用面内任一点的矩，等于力系中各力对同一点的矩的代数和。,【例1.11】,求如图1.37(a)所示的三角形分布荷载的简化结果。设梁的长度l 、分布荷载集度 q,0,为已知。,图1.37 三角形分布荷载的简化,平面一般力系,解 取如图所示的坐标系，由于各分布力方向相同，都垂直于x轴，所以该力系必定合成为一个合力F，合力F的大小可由积分得到，方向与分布力方向相同。取微分长度 ，其上的荷载为 ， ，则合力大小为：,由图示的三角形可知，任意位置处分布荷载集度 为：,于是得合力的大小,合力F作用线的位置可以通过合力矩定理确定。设合力作用线通过横坐标为x,c,的C点，则,于是可得,平面一般力系,三角形分布荷载的合力 如图1.37(b)所示。,由此可以看出，合力F的大小等于三角形荷载图的面积，合力F的作用线通过三角形荷载图的形心。这个结论也适用于一般的沿直线平行同向分布的线荷载图形。,二、,平面一般力系的平衡,平面一般力系处于平衡状态的必要和充分条件是：力系的主矢和力系对任意点的主矩等于零。即,因,上式也可以表达为,（）,（）,平面一般力系,式1.12(b)是平面一般力系平衡方程的基本形式，其中前两式为投影方程，第三式为力矩方程。对投影方程可以理解为：物体在力作用下沿x轴和y轴都不能移动；对力矩方程可以理解为：物体在力系作用下绕平面内任一矩心都不能转动。,满足平衡方程时，刚体既不能移动，也不能转动，刚体就处于平衡状态。 当刚体在平面一般力系作用下平衡时，可以用三个独立的平衡方程解三个未知数。,【例1.12】,梁AB一端是固定支座，另一端无约束，梁的自重不计，承受荷载作用如图1.38(a)所示。已知均布力q=20kN/m ，集中力P=100kN ，作用线与x轴夹角45，l=5m ，求支座A的反力。,图1.38 梁AB受力分析,平面一般力系,解 以梁AB为研究对象，画受力图如图1.38(b)所示。,由 得，,由 得，,由 得，,【例1.13】,梁受荷载，如图1.39(a)所示。已知集中力P=20kN，力偶矩M=20kN m ，试求A、B的支座反力，长度单位为m。,解 取梁为研究对象，画出受力图，如图1.39(b)所示。,由 得，,由 得，,平面一般力系,根据,得,三、,平面平行力系的平衡,平面平行力系是平面一般力系的一种特殊情况，它的平衡方程可以由平面一般力系的平衡方程导出。,如图所示，刚体受平行力系的作用，力系的各个力都与x轴垂直，则无论力系是否平衡，则每个力在x 轴上的投影都为零，即 ，于是独立的平衡方程只剩下两个。,即,（）,平面一般力系,图1.40 平行力系,平面平行力系平衡的充分和必要条件是：力系中所有各力的代数和等于零；力系中各力对任意一点力矩的代数和等于零。,平面平行力系在建筑工程中应用非常普遍。例如建筑上承受竖向荷载的过梁、吊车梁、楼板以及交通工程中的桥梁在自重、车辆、人群等竖向荷载作用下的分析都可用平面平行力系的方法来计算。,【例1.14】,梁AB受均布荷载 和集中荷载 的作用，如图1.41(a)所示。已知q=30kN/m ，P=100kN ，试求支座的约束反力。,解 由平面平行力系的平衡方程,平面一般力系,对点A取矩，由 ，得,解方程得,(),由 可以得到， ，解方程得,(),图1.41 梁AB受力分析,平面一般力系,四、,物体系统的平衡,前面我们研究的主要是单个物体的平衡问题，但在实际工程中，往往遇到几个物体通过一定方式联系在一起，这种系统称为物体系统，如图所示的组合梁，当整个物体系统处于平衡状态时，它的每一部分也必然处于平衡状态。,研究物体系统的平衡问题，不仅要求解支座反力，还需计算系统内各物体之间的相互作用力。如图所示，荷载P、M及支座A、B、D的反力是组合梁的外力，而在铰C处，左右两段梁之间的相互作用力称为系统的内力。由于内力总是成对出现，并且大小相等、方向相反、共,线，故整体分析时每对内力都可以相互抵消,掉，不出现在系统整体的受力图上。但要注,意，内力和外力的概念是相对的，到底是内,力还是外力取决于所选取的研究对象。,图1.42 物体系统的平衡,平面一般力系,在研究物体系统的平衡方程时，要求合理选取研究对象寻求解题的最佳方法，一般有以下两种方法。,(1) 先取整个物体系统作为研究对象，求得某些未知力，然后再取其中某部分作为研究对象，求出其他未知量。,(2) 先取某部分物体作为研究对象，再取其他部分作为研究对象 ，逐步求得所有未知量。,在计算过程中，当画整体、部分或单个物体的受力图时要注意：, 同一约束反力的方向和字母标记要注意前后一致；, 内部约束拆开后相互作用力要符合作用力与反作用力规律；, 不要把一个物体上的力移到另一物体上去；, 正确判断二力杆，以简化计算。, 当反力方向未定时，可先假设其方向，求出的结果为正，则此力方向与假设的相同；求出的结果为负，则此力方向与假设方向相反。,下面举例说明求物体系统平衡问题的方法和步骤。,平面一般力系,【例1.15】,静定梁如图1.43(a)所示，已知荷载q=4kN/m，F,P,=20kN，梁的自重不计，试计算支座A、C的反力和系统在铰B处的内力。,图1.42 物体系统的平衡,解 (1) 取梁BC为研究对象，如图1.43(a)所示。,由 得 ，得,()。,由 得，得 ()。,平面一般力系,由 得,(2) 以整体为研究对象，如图1.43(c)所示。,由 得,解方程得 ( ),由 得,解方程得,由 得,得,【例1.16】,一刚架如图所示，已知荷载q=4kN/m，F,P,=15kN求支座A、B的反力和铰C处的约束力。,解 (1) 取刚架整体为研究对象，如图1.44(b)所示。,(),平面一般力系,图1.44 刚架受力分析,由 得,平面一般力系,由 得,(),由 得,(2) 再取左半部分为研究对象，如图1.44(c)所示。,由 ，可得,解方程可得,由 可得,再根据 和,可以得到,(),(),(),(),平面一般力系,将物体系统的平衡问题的解题特点与技巧归纳如下：, 比较系统的独立平衡方程的个数和未知力个数，如果两者相等，则可根据平衡方程求解出全部的未知力。一般来说，由 个物体组成的系统，可以列出 个独立的平衡方程，可以求解3 个未知量。, 根据已知条件和所求的未知量，选取适当的研究对象，使计算过程简化。通常可先选择整体作为研究对象，求出某些未知量，再选取系统某一部分为研究对象。,要抓住一个“拆”字。需要将系统拆开时，要将各个物体连接处拆开，而不是将物体截断。一般情况下，是把连接铰或二力杆拆开(二力杆是截断)，在拆开的地方用相应的约束反力替代约束对物体的作用，这样就把物体系统分解为若干个单独的物体。拆开时注意作用力和反作用力大小相等、方向相反、共线且分别作用在两个相邻物体上。, 在画研究对象的受力图时，切记受力图中只能画研究对象所受的外力，不能画出研究对象的内力。, 选择平衡方程时要注意选择适当的矩心。在力矩平衡方程中，作用线通过矩心的力的力矩为零，可将力矩的矩心选在尽量多的未知力的交点上。适当地选择矩心可以简化计算。如例中，整体分析时选取点A或点B为矩心，一个平衡方程中只含有一个未知力，可很方便地求解。,平面一般力系,在物体和物体系统的平衡问题中，当未知量的数目等于平衡方程的数目时，全部未知量都可以由平衡方程求出，这样的问题称为静定问题。如图所示的AB杆只能列3个独立平衡方程，但有4个未知量，则仅由平衡方程就不能解出全部的未知量，这样的问题称为超静定问题，留待以后研究。,图1.45 超静定杆,平面一般力系,物体的重心,一、,重心的概念,重力就是地球对物体的吸引力。工程上，可以看作一个空间平行力系。该力系的合力作用点就是物体的重心。,对于形状不变的物体，或物体间相对位置不变的物体系统，不论在空间怎样移动和转动，其上重心的相对位置都不会发生改变。但如果物体发生变形或系统各部分在空间相对发生改变，则其重心位置也将发生变化。,二、,计算物体重心的一般方法,物体重心的坐标公式：,（）,式中为物体的重度，对于一般的均质物体重心的坐标公式：,（）,均质物体的重心位置只与其几何形状和尺寸有关，与密度无关，并且与其几何形体的中心(形心)相重合。由于建筑物体中的构件、形状都比较规则，实际计算物体重心时，并不需要用上述公式，可以利用对称性及其他技巧来确定结构或构件的重心。,下面用积分法计算常用图形的重心，计算结果在实际工程中可直接应用。,物体的重心,【例1.17】,如图所示，试求三角形均质等厚板的重心。,解 设三角形ABC的底边BC=b ，高为h ，将它分割成一系列平行于BC边的细长条，每一长条的重心均在其中点处。所以整个三角形的重心必在其中线上，若求出x,c,和y,c,，则三角形的重心位置就确定了。,建立图示的坐标系。取与BC边平行的细长条为微元面积，则有：,而三角形板的面积 ，所以,显然，三角形均质等厚的重心在其三根中线的交点处即形心处，,故也可以用几何方法求出重心位置。,物体的重心,图1.46 三角形均质等厚板,三、,规则物体的重心,当物体为均质等厚薄板，则重心位于薄板厚度中间平面内。其重心坐标为(取中间平面为xoy坐标面，z,c,=0)形心坐标。即,1. 均质等厚板的重心,（）,根据物体重心的公式，不难理解，凡是对称的均质物体，其重心必定在它们的对称面、对称轴或对称中心上。,2. 对称物体的重心,物体的重心,四、,重心概念在建筑设计中的应用,工程中的建筑物如桥梁、房屋等自重占其设计荷载的绝大部分，在非抗震和抗震设计(包括概念设计和地震作用的计算)中，确定建筑结构或构件的重心位置十分重要。,(1) 在建筑设计中应尽量做到上部结构与下部结构的重心位于同一竖直轴上，这样上部结构的自重不会在下部结构截面中引起过大的附加弯矩；否则，必须控制偏心距的大小，或对偏心引起的内力进行计算。,(2) 在建筑结构的抗震设计中，要求建筑物布置规则、对称。建筑的重(质)心与结构的刚度中心最好重合；如果不重合会引起建筑物的扭转效应，产生以结构截面刚度中心为矩心的扭矩，会引起建筑的扭转破坏(特别是角柱)。,(3) 降低重心、加大底面积可减少建筑物倾覆的可能性。,物体的重心,习 题,1-1,何为结构？按几何特征结构可以分为几类？建筑力学的研究对象是哪类结构？,1-2,结构正常工作必须满足哪些基本条件？建筑力学的基本任务是什么？,1-3,画受力图时，如何区分内力和外力？,1-4,二力平衡原理、加减平衡力系原理和力的可传性原理能不能适用于变形体？,1-5,三个力汇交于一点，但不共面，这三个力能平衡吗？若共面呢？,1-6,合力是否一定比分力大？,1-7,力对点之矩和力偶矩有什么区别？,1-8,平面汇交力系的平衡方程中，两个投影轴是否一定要相互垂直？为什么？,1-9,平面一般力系向一点简化，得到一个合力，如果向另外一点简化，能否得到一个力偶？为什么？,1-10,计算物体重心位置时，如果选取的坐标轴不同，重心的坐标位置是否改变？重心在物体内的相对位置是否会改变？,1-11,均质物体的重心和形心有什么关系？当物体的质量分布不均匀时，重心和形心会重合吗？,1-12,将物体沿通过形心的面切开，两边是否一定相等？,1-13,画出图,中各物体的受力图。所有接触面都是光滑的，凡未注明者，自重均忽略。,图1.47 习题13图,习 题,1-14,画出图,中各物体的受力图，所有接触面都是光滑的。,1-15,计算图1.49中各支座的反力。,图1.48 习题14图,图1.49 习题15图,习 题,1-16,计算图1.50中各刚架的支座反力。,1-17,计算如图1.51所示的斜梁的支座反力。,图1.50 习题16图,图1.51 习题17图,习 题,1-18,计算如图1.52所示的多跨连续梁的支座反力。,图1.52 习题18图,1-,19,某混凝土厂房柱，高9m，柱上段BC重8kN，下段CO重24kN，柱顶水平力,F=6kN,，吊车梁传来的力,F,Q,=21kN,，偏心距,e=30cm,，各力的作用位置如图1.53所示。试将各力向柱底中心简化。,图1.53 习题19图,习 题,1-20,重力式坝受力情况如图1.54所示，设坝的自重分为,W,1,=9600kN,，,W,2,=29600kN,，水压力,F=10150KkN,，试将该力系向坝底,O,点简化，并求合力系的大小、方向和作用线位置(计入水压力，长度单位为m)。,图1.54 习题20图,1-21,计算如图1.55所示的均质工字形板的重心位置，单位cm。,图1.55 习题21图,习 题,1-22,如图1.56所示的均质圆板，在半径为,r,1,的均质圆板中开一个半径为,r,2,的圆孔，圆孔圆心距圆板圆心为,r,1,/2,，坐标系如图所示，试计算其重心位置。,1-23,计算如图,所示的混凝土,T,形梁的截面重心，长度单位为,cm,。,图1.56 习题22图,图1.57 习题23图,习 题,谢谢观赏,