工程电磁场——静电场——第2讲

第 一 章,静 电 场,第一章 静电场,基本方程、分界面上的衔接条件,边值问题、惟一性问题,分离变量法,有限差分法,镜像法和电轴法,电容和部分电容,静电能量与力,电场强度和电位,序,1.2,高斯定律（和电场散度有关）,高斯定律,真空情况,一般形式,在电场作用下，自由电荷可以在导体内部自由运动；,1.2.1,静电场中的导体,导体内电场强度,E,为零，静电平衡；,导体是等位体，导体表面为等位面；,电场强度垂直于导体表面,;,导体中存在自由电子（自由电荷）；,运动结束时，到达静电平衡状态。,电荷分布在导体表面。,达到静电平衡后：,图 同轴电缆,同轴电缆的电场应该是什么样？,图 同轴电缆的电场分布,1.2.2,静电场中的电介质,电介质中的电荷不能自由运动，仅能在分子范围内，因此称为束缚电荷；,电介质的分子可分为两类：,一类是非极性分子，正负束缚电荷重心重合；,另一类是极性分子， 正负束缚电荷重心偏移；,发生两种极化：位移极化和旋转极化；,1.2.2,静电场中的电介质,在外电场作用下（静电平衡后）：,电介质在外电场作用下发生极化，形成有向排列；,无极性分子,有极性分子,图 电介质的极化,E,E,1.2.2,静电场中的电介质,在外电场作用下（静电平衡后）：,重心偏离、有向排列后形成电偶极子；,电偶极子：两个距离很近的等量异号电荷组成的整体；,电介质内部和表面产生极化电荷；,极化电荷与自由电荷都是产生电场的源。,1.2.2,静电场中的电介质,电偶极子的电位计算：,设两电荷的电量分别为,+,q,和,-,q,，,从负电荷到正电荷 的距离矢量为,d,；,定义“电偶极距”用,p,表示，且电偶极距,p,=,q,d,极化的电介质可视为体分布的电偶极子，因此引起的附加电场可视为电偶极子引起的电场的叠加。,如何表示电介质被极化的强弱？,极化强度,P,极化强度,P,表示电介质的极化程度，即,C/m,2,电偶极矩体密度,实验结果表明，在,各向同性、线性、均匀介质,中,电介质的极化率,（,1,）,各向同性,媒质,媒质特性不随电场的方向改变；,反之，称为各向异性,媒质,；,（,2,）线性,媒质,媒质参数与电场强度成正比关系；,反之，称为非线性,媒质,；,（,3,）均匀,媒质,媒质参数不随空间坐标而变化；,反之，称为非均匀,媒质,。,极化强度,P,是,电偶极矩体密度,，单个电偶极子产生的电位,体积,V,内电偶极子产生的电位,极化强度与极化电荷的关系,矢量恒等式：,下 页,上 页,返 回,图 电偶极矩产生的电位,即：,令,极化电荷体密度,极化电荷面密度,下 页,上 页,返 回,1.2.3,高斯定律,简单情况：真空中的高斯定律,1.2.3,高斯定律,说明,静电场是有源,(,散,),场,，电荷是电场的通量源。,E,的散度,较复杂情况：电介质中的高斯定律,定义,电位移矢量,（,电通量密度）,所以,高斯定律的微分形式,取体积分,有,高斯定律的积分形式（一般形式）,在各向同性介质中,介电常数,F/m,其中,相对介电常数，无量纲量。,构成方程,高斯定律的一般形式,高斯定律的在真空中的情况,例,1.2.1,平板电容器中有一块介质,画出,D,、,E,和,P,线分布。,图,D,、,E,与,P,三者之间的关系,D,线,E,线,P,线,思考,D,线由正的自由电荷出发，终止于负的自由电荷；,E,线由正电荷出发，终止于负电荷；,P,线由负的极化电荷出发，终止于正的极化电荷。,计算技巧：,a,）,分析场分布的对称性，判断能否用高斯定律,求解。,b,）,选择适当的,闭合面,作为高斯面，场点在高斯面上。,高斯定律适用于任何情况，但仅具有一定对称性的场才有解析解。,。,1.2.4,用高斯定律计算静电场,d),使 中的,D,可作为常数,提出积分号外。,c,）在整个或分段高斯面上，,E,或,D,为恒值。,例,1.2.3,试求电荷线密度为 的无限长均匀带电体的电场。,解,:,分析场分布,取,圆柱坐标系,由,得,图 无限长均匀带电体,本 节 结 束,作业：,P19: 1-2-2,1-2-3,P67: 1-4,1-5,1.3,静电场基本方程、分界面上的衔接条件,1.3.1,静电场基本方程,静电场是有源（散）无旋场，静止电荷是静电场的源。,微分形式,积分形式,构成方程,矢量,A,可以表示一个静电场。,能否根据矢量场的散度判断该场是否静电场,?,例,1.3.1,已知 试判断它能否表示静电场？,解,:,根据静电场的旋度恒等于零的性质,思考,1.3.2,分界面上的衔接条件,（,物质突变，微分形式方程不适用,),1.,E,的衔接条件,围绕点,P,作一矩形回路,( ),。,E,的切向分量连续。,根据,则有,图 介质分界面,包围点,P,作高斯面,( ),。,2,.,D,的衔接条件,则有,根据,图 介质分界面,D,的法向分量不连续,当 时，,D,的法向分量连续。,3.,折射定理,当交界面上 时，,折射定律,设,P,1,与,P,2,位于分界面两侧，,因此,电位连续,得,电位的法向导数不连续,由 ，其中,图 电位的衔接条件,4,、 的衔接条件,（用电位表示的衔接条件）,图,1.3.4,导体与电介质分界面,例,1.3.2,试写出导体与电介质分界面上的衔接条件。,解,:,分界面衔接条件,导体中,E,0,，,D,0 ,各分量等于,0,，,分界面介质侧,E,2t,0,，那么,E,=0,？,说明,（,1,）导体表面是等位面，,E,线与导体表面垂直；,图,1.3.4,导体与电介质分界面,例,1.3.2,试写出导体与电介质分界面上的衔接条件。,（,2,）导体表面上任一点的,D,等于该点的,。,分界面介质侧,例,1.3.3,试求两个平行板电容器的电场强度。,图 平行板电容器,平板电容器中有一块介质,画出,D,、,E,和,P,线分布。,图,D,、,E,与,P,三者之间的关系,D,线,E,线,P,线,思考,D,线由正的自由电荷出发，终止于负的自由电荷；,E,线由正电荷出发，终止于负电荷；,P,线由负的极化电荷出发，终止于正的极化电荷。,解：忽略边缘效应,图,(a),D,相等,(,面电荷均匀,),？,图,(b),E,相等,（电压相等）？,例,1.3.3,试求两个平行板电容器的电场强度。,图 平行板电容器,1.4,静电场边值问题、惟一性定理,（适用更复杂的情况）,1.4.1,泊松方程与拉普拉斯方程,泊松方程,拉普拉斯算子,拉普拉斯方程,当,r,=0,时,答案,:,（,C,）,例,1.4.1,图示平板电容器的电位，哪一个解答正确？,图 平板电容器外加电源,U,0,1.4.2,静电场边值问题,（,积分问题，必然产生待定常数,),1.4.2,静电场边值问题,（,积分问题，必然产生待定常数,),边值问题,微分方程,边界条件,场域边界条件,分界面衔 接条件,自然边界条件 有限值,泊松方程,拉普拉斯方程,场域边界条件,1,）第一类边界条件（狄里赫利条件，,Dirichlet,),2,）第二类边界条件（诺依曼条件,Neumann,),3,）第三类边界条件,已知边界上电位及电位法向导数的线性组合,已知边界上导体的电位,已知边界上电位的法向导数,有限差分法,有限元法,!,边界元法,矩量法,积分方程法,积分法,分离变量法,镜像法、电轴法,微分方程法,保角变换法,计算法,实验法,解析法,数值法,实测法,模拟法,边,值,问,题,例,1.4.2,试写出长直同轴电缆中静电场的边值问题。,解：,根据场分布的对称性确定计算场域，边值问题,（阴影区域）,图 缆心为正方形的,同轴电缆,1.4.3,惟一性定理,惟一性定理,：,在静电场中，满足给定边界条件的电位微分方程的解是惟一的。,这样就可以寻求间接求解电场的方法。,条件？,（,1,）满足,泊松或拉普拉斯方程,。 对象？,（,2,）满足,介质分界面衔接条件,。 对象？,（,3,）满足,边界条件,。 对象？,解微分方程的方法？,为新方法的解题结果正确性 提供理论依据,本 节 结 束,