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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,广义胡克定律,主讲教师：王明禄,21 九月 2024,78,广义胡克定律,P,P,=,+,1,2,2,1,一、平面应力状态的广义胡克定律,正应变只跟正应力有关，与剪应力无关；剪应变只跟剪应力有关，与正应力无关；,二、三向应力状态的广义胡克定律,x,y,z,xy,xz,x,y,z,yx,yz,zx,zy,三、主应力状态的广义胡克定律,1,2,3,四、应力,-,应变关系,例,1,已知一受力构件自由表面上某点处的两主应变值为,1,=24010,-6,，,3,=,16010,-6,。材料的弹性模量,E,=210GPa,，,泊松比,=0.3,。求该点处的主应力值数，并求另一应变,2,的数值和方向。,解：因主应力和主应变相对应，则由题意可得：,即为,平面应力状态，有,联立两式可解得：,主应变,2,为：,其,方向必与,1,和,3,垂直，沿构件表面的法线方向。,例,2,边长为,a,的一立方钢块正好置于刚性槽中，钢块的弹性模量为,E,、泊桑比为,，顶面受铅直压力,P,作用，求钢块的应力,x,、,y,、,z,和应变,x,、,y,、,z,。,P,x,y,z,x,y,z,解：,由已知可直接求得：,P,x,y,z,x,y,z,例,3,薄壁筒内压容器(,t/D,1/20),，,筒的,平均直径为,D,，,壁厚为,t,，,材料的,E,、,已知。已测得筒壁,上,k,点沿,45,方向的线应变,45,，求筒内压强,p,。,k,p,t,D,x,x,y,y,解：,筒壁一点的轴向应力：,筒壁一点的环向应力：,k,p,t,D,x,x,y,y,45,-,45,45,-45,例,4,受扭圆轴如图所示，,已知,m,、,d,、,E,、,，求,圆轴外表面,沿,ab,方向的应变,ab,。,A,B,m,m,d,a,b,45,解：,A,B,m,m,d,a,b,45,45,-,45,例,5,壁厚,t =10mm ,外径,D=60mm,的薄壁圆筒,在表面上,k,点,处与其轴线成,45,和,135,角即,x,y,两方向分别贴上应变片,然后在,圆筒两端作用矩为,m,的扭转力偶,如图 所示已知圆筒材料的弹性模,量为,E,= 200GPa,和,= 0.3 ,若该圆筒的变形在弹性范围内,且 ,max,=,80MPa ,试求,k,点处的线应变 ,x ,y,以及变形后的筒壁厚度。,D,t,y,m,k,x,D,t,x,y,m,k,x,y,k,可求得,:,解,:,从圆筒表面,k,点处取出单元体,如图 所示,k,点处的线应变 ,x ,y,为,圆筒表面上,k,点处沿径向,(z,轴,),的应变为,同理可得,圆筒中任一点,(,该点到圆筒横截面中心的距离为,),处,的径向应变为,因此,该圆筒变形后的厚度并无变化,仍然为,t =10mm .,79,复杂应力状态下的体积应变、比能,一、体积应变,dx,dy,dz,dx+,dx,dy+,dy,dz+,dz,略去高阶微量，得,单元体的,体积应变,代入式,得：,纯剪应力状态：,可见剪应力并不引起体积应变，对于非主应力单元体，其体积应变可改写为,体积应变只与三个主应力（正应力）之和有关，而与其比例无关。,令,m,称为,平均正应力,，,K,称为,体积弹性模量,。,二、比能,单位体积的变形能称为,变形能密度,，简称,比能,。, 单向拉压比能,dx,dz,dy,d,(,l,),dx,dz,dy, 纯剪切比能,dx,dy,dz, 复杂应力状态的比能, 体积改变比能与形状改变比能,1,2,3,m,m,1,-,m,m,2,-,m,3,-,m,=,+,u,=,u,V,+,u,f,状态1受平均正应力,m,作用，因各向均匀受力，故只有体积改变，而无形状改变，相应的比能称为,体积改变比能,u,V,。,状态2的,体积应变：,状态2无,体积改变，只有形状改变，相应的比能称为,形状,改变比能,u,f,。,1,2,3,m,m,1,-,m,m,2,-,m,3,-,m,=,+,u,=,u,V,+,u,f,例,1,边长为,a,的一立方钢块正好置于刚性槽中，钢块的弹性模量为,E,、泊桑比为,，顶面受铅直压力,P,作用，求钢块的体积,应变,V,和形状改变比能,u,f,。,P,x,y,z,x,y,z,解：,由已知可直接求得：,x,y,z,例,2,证明弹性模量,E,、泊桑比,、剪切,弹性模量,G,之间的关系为 。,3,1,证明：,纯剪应力状态比能为,用主应力计算比能,构件由于强度不足将引发两种失效形式,(1),脆性断裂,：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。,关于,屈服的强度理论：,最大切应力理论和最大畸变能密度理论,(2),塑性屈服,：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。,关于,断裂的强度理论：,最大拉应力理论和最大伸长线应变理论,7-10,强度理论概述,1.,最大拉应力理论,（第一强度理论）,最大拉应力是引起材料断裂的主要因素。,即认为无论材料处于什么应力状态,只要最大拉应力达到简单拉伸时破坏的极限值，就会发生脆性断裂。,构件危险点的最大拉应力,极限拉应力，由单拉实验测得,7-11,四种常见,强度理论及强度条件,断裂条件,强度条件,铸铁拉伸,铸铁扭转,局限性：,1,、未考虑另外二个主应力影响，,2,、对没有拉应力的应力状态无法应用，,3,、对塑性材料的破坏无法解释，,4,、无法解释三向均压时，既不屈服、也不破坏的现象。,实验表明：,此理论对于大部分脆性材料受拉应力作用，结果与实验相符合，如铸铁受拉、扭。,2.,最大伸长线应变理论（第二强度理论）,最大伸长线应变是引起断裂的主要因素。即认为无论材料处于什么应力状态,只要最大伸长线应变达到简单拉伸时破坏的极限值，就会发生脆性断裂。,构件危险点的最大伸长线应变,极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得,实验表明：此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆,性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论,更接近实际情况。,强度条件,断裂条件,即,最大切应力是引起材料屈服的主要因素。即认为无论材料处于什么应力状态,只要最大切应力达到了简单拉伸屈服时的极限值，材料就会发生屈服。,3.,最大切应力理论,（第三强度理论）,构件危险点的最大切应力,极限切应力，由单向拉伸实验测得,屈服条件,强度条件,低碳钢拉伸,低碳钢扭转,轴向拉、压（单向应力状态）,圆轴扭转（纯剪切应力状态）,第三强度理论在工程中实际问题中的应用,实验表明：,此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生塑性变形或断裂的事实。,局限性：,2,、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象。,1,、未考虑 的影响，试验证实最大影响达,15%,。,最大畸变能密度是引起材料屈服的主要因素。即认为无论材料处于什么应力状态,只要最大畸变能密度达到简单拉伸屈服时的极限值,材料就会发生屈服。,4.,最大畸变,能密度理论,（第四强度理论）,构件危险点的形状改变比能,形状改变比能的极限值，由单拉实验测得,屈服条件,强度条件,实验表明：,对塑性材料，此理论比第三强度理论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用。,强度理论的统一表达式：,相当应力,例,1:,试用第三强度理论分析图示三种应力状态中哪种最危险？,解：,危险点,A,的应力状态如图,例,2,直径为,d,=0.1m,的,铸铁,圆杆受力,T,=7kNm,P,=50kN,=40MPa,用第一强度理论校核,强度,安全,P,P,T,T,A,A,例,3,薄壁圆筒受最大内压时,测得,x,=1.8810,-4,y,=7.3710,-4,用第三强度理论,校核,其,强度,(,E,= 210GPa, = 170MPa,= 0.3 ),解：由广义虎克定律得,A,s,x,s,y,所以，此容器不满足第三强度理论, 不安全,作业与练习,作业：,7.27,；,7.36,练习：,7.33,；,7.34,
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