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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第2节全等三角形和等腰三角形,包考集训,包考集训,考点聚焦,考点聚焦,包考探究,包考探究,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,考 点 聚 焦,考点1全等三角形的性质,性质1,全等三角形的对应边_,性质2,全等三角形的对应角_,性质3,全等三角形的对应边上的高_,性质4,全等三角形的对应边上的中线_,性质5,全等三角形的对应角平分线_,相等,相等,相等,相等,相等,第九单元 三角形,考点2全等三角形的判定,基本判,定方法,1.三边分别相等的两个三角形全等(简记为,SSS,),2.两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简记为_),3.两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等(简记为_),4.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(简记为_),5.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简记为_),拓展 延伸,全等三角形对应边上的高、对应边上的中线、对应角的平分线分别相等,总结,判定三角形全等，无论哪种方法，都要有三组元素对应相等，且其中最少要有一组对应边相等,包考集训,包考探究,考点聚焦,ASA,AAS,SAS,HL,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,考点3角平分线的性质与判定,性质,角的平分线上的点到角的两边的距离_,判定,角的内部到角的两边的距离相等的点在角的_上,相等,平分线,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,考点4等腰三角形的概念与性质,定义,有_相等的三角形是等腰三角形相等的两边叫腰，第三边叫底,性质,轴对,称性,等腰三角形是轴对称图形,定理1,等腰三角形的两个底角相等(简写成_),定理2,等腰三角形的顶角平分线、底边上的_、底边上的高相互重合，简写成“三线合一”,两边,等边对等角,中线,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,考点5等腰三角形的判定,如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成：_),等角对等边,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,考点6等边三角形,定义,三边相等的三角形是等边三角形,性质,等边三角形的三个内角都_，并且每一个角都等于_,等边三角形是轴对称图形，有_条对称轴,判定,(1)三个角都相等的三角形是等边三角形,(2)有一个角是60的等腰三角形是等边三角形,相等,60,3,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,考点7线段的垂直平分线,定义,经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线,性质,线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离_,判定,与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的_上,实质,构成,线段的垂直平分线可以看作是到线段两个端点_的所有点的集合,相等,垂直平分线,距离相等,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,考点8三角形的中位线及性质,定义,连接三角形两边_的线段叫做三角形的中位线,性质,三角形的中位线平行于_，并且等于_,中点,第三边,第三边的一半,第九单元 三角形,包 考 探 究,包考集训,包考探究,考点聚焦,类型一 等腰三角形的判定,例1,如图921，已知,ABC,中，,A,36，,AB,AC,，,BD,为,ABC,的平分线，则图中共有_个等腰三角形,图921,3,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,类型二 等腰三角形的性质,例2,如图922，在,ABC,中，,AB,AC,，,BD,BC,，,AD,DE,BE,，则,A,_,图922,45,解析 此题的关系较复杂，故通过设辅助未知数，列方程的方法求角的度数(未知数尽量设较小的角),第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,类型三 中垂线的性质,例3,2013烟台 如图923，,ABC,中，,AB,AC,，,BAC,54，,BAC,的平分线与,AB,的垂直平分线交于点,O,，将,C,沿,EF,(点,E,在,BC,上，点,F,在,AC,上)折叠，点,C,与点,O,恰好重合，则,OEC,为_.,图923,108,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,DO,是,AB,的垂直平分线，,OA,OB,，,ABO,BAO,27.,OBC,ABC,ABO,632736.,DO,是,AB,的垂直平分线，,AO,为,BAC,的平分线，,点,O,是,ABC,的外心，,OB,OC,，,OCB,OBC,36.,将,C,沿,EF,(点,E,在,BC,上，点,F,在,AC,上)折叠，点,C,与点,O,恰好重合，,OE,CE,，,COE,OCB,36，,在,OCE,中，,OEC,180,COE,OCB,1803636108.,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,类型四 全等三角形的判定与性质的综合应用,例4,如图924，已知,ABC,和,DCE,均是等边三角形，点,B,，,C,，,E,在同一条直线上，,AE,与,BD,交于点,O,，,AE,与,CD,交于点,G,，,AC,与,BD,交于点,F,，连接,OC,，,FG,，其中正确结论的个数是(),AE,BD,；,AOB,60；,FG,BE,；,OC,平分,BOE,.,A1 B2,C3 D4,图924,D,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,解析 此题综合性较强证明线段相等，一般利用全等三 角形对应边相等证明，即证,ACE,BCD,；利用中全等三角形对应角相等及等边三角形每个角为60，可求,AOB,ACB,60；证平行一般证同位角，内错角相等或同旁内角互补，所以在此题中，先证,ACG,BCF,CF,CG,.,ACD,60，,CFG,60,ACB,，故平行；证明,OC,平分,BOE,，相当于证,BOC,EOC,.而证角相等的方法很多，在此题中可通过全等三角形对应角相等的方法证明过点,C,分别作,BD,，,AE,的垂线段，由可知,BCD,ACE,这两条垂线段相等(全等三角形对应边上的高相等)，进而可证得,OC,平分,BOE,.,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,类型五 三角形中位线的应用,例5,如图925，梯形,ABCD,中，,AD,BC,，点,E,在,BC,上，,AE,BE,，点,F,是,CD,的中点，且,AF,AB,，若,AD,2.7，,AF,4，,AB,6，求,CE,的长,图925,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,第九单元 三角形,包 考 集 训,包考集训,包考探究,考点聚焦,一、选择题,1如图926，,ABC,中，点,D,，,E,在,BC,边上，,B,C,DAE,36，,BAD,CAE,.则图中有多少个等腰三角形(),A4 B5,C6 D7,图926,C,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,2已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40，则这个等腰三角形的顶角为(),A50 B130,C50或130 D40或140,C,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,3如图927，,AOB,是一角度为10的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管：,EF,，,FG,，,GH,，且,OE,EF,FG,GH,，在,OA,，,OB,足够长的情况下，最多能添加这样的钢管的根数为(),A7 B8,C9 D无数,图927,B,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,4下列命题错误的是(),A有两条高相等的三角形是等腰三角形,B两腰和一个角分别相等的两个等腰三角形全等,C等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半,D等边三角形内任一点到三边的距离之和等于等边三角形的高,B,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,D,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,62013安顺 如图928，已知,AE,CF,，,AFD,CEB,，那么添加下列一个条件后，仍无法判定,ADF,CBE,的是(),A,A,C,B,AD,CB,C,BE,DF,D,AD,BC,图928,B,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,图929,D,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,8如图9210，,ABC,中，,AB,AC,，,AD,，,BE,分别为,BAC,和,ABC,的平分线，交点为点,O,，若,OD,a,，,ABC,的周长为,b,，则,ABC,的面积为(),图9210,A,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,二、填空题,9三角形三个内角平分线的交点到_的距离相等,10三角形三边垂直平分线的交点到_的距离相等,11下列命题正确的有_个,两边和一个角分别相等的两个三角形全等；,两角和一条边分别相等的两个三角形全等；,周长相等的两个等腰直角三角形全等；,两边分别相等的两个直角三角形全等,三边,三个顶点,2,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,12如图9211，,ABC,和,BDE,都是等边三角形，其中点,D,在,AC,边上若,AB,10，,BD,9，则,ADE,的周长为_,图9211,19,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,13如图9212，矩形,ABCD,的周长为16，点,E,，,F,分别在边,AD,和,AB,上，,EF,EC,，,FEC,90，若,DE,2，则,AE,_,图9212,3,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,14如图9213，,ABC,中，,C,90，,AC,BC,，,AD,为角平分线，,DE,AB,于点,E,，若,AB,8，则,BDE,的周长为_,图9213,8,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,15如图 9214，,ABC,中，,AB,AC,，,BD,BC,AD,，则,A,_,图9214,36,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,16如图9215，,ABC,中，,AB,AC,，,BAC,和,ACB,的平分线交于点,D,，,ADC,125，则,CAB,_,图9215,40,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,17如图9216，四边形,DEFH,是,ABC,的内接平行四边形，且,BE,DE,，,FC,FH,，则,A,_,图9216,90,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,18在,ABC,中，,AB,AC,，周长为50，,AD,是,BC,边上的高，,ABD,的周长为40，则,AD,_,19如图9217，,ABC,中，,AB,AC,，,BC,5，,BD,为,AC,边上的中线，且将,ABC,的周长分成两部分，这两部分的差为3，则腰长为_,图9217,15,8,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,20如图9218，,ABC,是边长为3的等边三角形，,BCD,是等腰三角形，且,CDB,120，以,D,为顶点作一个60的角，使其两边分别交,AB,于点,M,，交,AC,于点,N,，连接,MN,，则,AMN,的周长为_,图9218,6,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,21如图9219，在,ABC,中，,AB,AC,，,AB,的垂直平分线交,AC,于点,D,.若,DBC,21，则,A,_；若,BCD,的周长为17，,BC,5，则,ABC,的周长为_,图9219,46,29,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,22如图9220，,ABC,和,ABD,中，,ACB,ABD,90，,ABC,D,，若点,B,到,AD,的最短距离为2，则,BC,_,图9220,2,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,23已知三角形三边长的比为345，三条中位线围成的三角形的周长为18 cm，则原三角形的三边长分别为_ _,24顺次连接四边形各边中点所得的四边形是_形；顺次连接矩形各边中点所得的四边形是_形；顺次连接菱形各边中点所得的四边形是_形；顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所得的四边形是_形,9 cm，,12 cm，15 cm,平行四边,菱,矩,正方,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,25如图9221，,ABC,中，,AD,是,BC,边的中线，,AE,是,BAC,的平分线，,CF,AE,于点,F,.若,AB,4，,AC,2，则,DF,_,图9221,1,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,26如图9222，,ABC,中，,AB,AC,，,D,是,AB,边的中点，,E,是,AB,延长线上一点，且,BE,AB,.则,CD,CE,_,图9222,12,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,图9223,36,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,三、作图题(不写作法，保留痕迹),28如图9224，点,E,，,F,分别在,AOB,的边,OA,，,OB,上，求作一点,P,，使它到,AOB,的两边和,E,，,F,两点的距离分别相等,图9224,解：,AOB,的平分线与线段,EF,的中垂线的交点即为,P,点，图略,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,四、解答题,29如图9225，已知,ABC,，,A,的平分线与,BC,的垂直平分线,DE,相交于点,D,，过点,D,作,DF,，,DH,分别垂直于,AB,，,AC,于点,F,，,H,.求证：,BF,CH,.,图9225,证明：,连接,DC,，,DB,.由已知得,DH,DF,，,BD,CD,，则,CDH,BDF,，,BF,CH,.,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,30如图9226，,AD,是,ABC,的角平分线，,DE,AB,于点,E,，,DF,AC,于点,F,，求证：,AD,垂直平分,EF,.,图9226,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,证明：,AD,是,ABC,的角平分线，,EAD,FAD,.,DE,AB,，,DF,AC,，,AED,AFD,90.,AD,AD,，,AED,AFD,，,AE,AF,.,AD,平分,EAF,，,AD,垂直平分,EF,.,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,31如图9227，,ABC,ADE,，,B,D,90，,BC,，,DE,交于点,O,，请以图中标有字母的点为端点，连接两条线段，如果你所连接的两条线段满足相等、平行或垂直关系中的一种，那么请你把它写出来，并证明,图9227,解：,答案不唯一，如连接,CD,，,BE,，证,ADC,ABE,，可得,CD,BE,，或连接,DB,，,CE,可证平行(证明略),第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,32如图9228，给出三个论断：,AE,AD,；,OC,OB,；,OE,OD,，请你以其中两个作为条件，第三个作为结论，写出一个真命题，并证明,图9228,答案不唯一，略,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,33如图9229，在,ABC,中，,AD,平分,BAC,，且,BD,CD,.求证：,AB,AC,.,图9229,证明：,分别作,DE,，,DF,垂直于,AB,，,AC,于点,E,，,F,.,AD,平分,BAC,，,DE,DF,.,BD,CD,，,Rt,BDE,Rt,CDF,.,B,C,，,AB,AC,.,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,图9230,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,35如图9231，在,ABC,中，,AD,是,BAC,的平分线，,AB,2,AC,，,AD,BD,.求证：,CD,AC,.,图9231,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,证明：,过点,D,作,DH,AB,于点,H,，则有,AH,BH,.,AB,2,AC,，,AH,AC,.,HAD,CAD,，,AD,AD,，,AHD,ACD,，,ACD,AHD,90，,CD,AC,.,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,36如图9232，,ABC,中，,ACB,90，,AD,是,BC,边的中线，点,E,是,AD,的中点，,CE,的延长线交,AB,于点,F,，,FG,AC,交,AD,于点,G,，连接,CG,.,求证：(1),AF,CG,；,(2),BF,2,CG,.,图9232,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,证明：,(1),ACB,90，,E,是,AD,的中点，,CE,AE,，,ACE,CAE,.,FG,AC,，,ACE,EFG,，,CAE,EGF,，,EFG,EGF,，,EG,EF,.,又,AEF,CEG,，,AEF,CEG,，,AF,CG,.,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,(2)过点,D,作,DH,CF,.,AE,DE,，,AF,FH,.,CD,BD,，,FH,BH,，,BF,2,AF,2,CG,.,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,37如图9233，在,Rt,ABC,中，,ACB,90，,CD,是高，,AE,是角平分线，,AE,交,CD,于点,F,.,(1)求证：,CF,CE,；,(2)将,ADF,向右平移到,A,D,F,的位置，使点,F,落在,BC,边上，其他条件不变，则,BF,与,CE,的大小关系如何？请说明理由,图9233,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,38如图9234，在锐角三角形,ACE,外作等边三角形,ABC,和等边三角形,CDE,，点,P,与点,M,分别是线段,BE,和,AD,的中点,求证：(1),AD,BE,；,(2),CPM,为等边三角形,图9234,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,证明：,(1)由,ACD,BCE,AD,BE,.,(2),CP,和,CM,分别是,BCE,和,ACD,的中线，,CP,CM,(全等三角形对应边上的中线相等),又由,ACM,BCP,ACM,BCP,.,则,BCP,ACP,60，,ACM,ACP,60，,即,PCM,60，,CPM,为等边三角形,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,39如图9235，在四边形,ABCD,中，对角线,AC,BD,，点,E,，,F,分别是边,AD,，,BC,的中点，,EF,分别交,AC,，,BD,于点,G,，,H,，,AC,和,BD,交于点,O,.求证：,OG,OH,.,图9235,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,证明：,取,CD,的中点,M,，连接,EM,，,FM,，则有,EM,FM,，,MEF,MFE,.,又,ME,AC,，,MF,BD,，,OGH,OHG,，,OG,OH,.,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,402014日照 (1)如图9236，在正方形,ABCD,中，,E,是,AB,上一点，,F,是,AD,延长线上一点，且,DF,BE,.求证：,CE,CF,；,(2)如图，在正方形,ABCD,中，,E,是,AB,上一点，,G,是,AD,上一点，如果,GCE,45，请你利用(1)的结论证明：,GE,BE,GD,；,(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：,如图，在直角梯形,ABCD,中，,AD,BC,(,BC,AD,)，,B,90，,AB,BC,，,E,是,AB,上一点，且,DCE,45，,BE,4，,DE,10，求直角梯形,ABCD,的面积,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,图9236,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,解：,(1)证明：四边形,ABCD,是正方形，,BC,CD,，,B,ADC,90.,ADC,90，,FDC,90.,B,FDC,.,BE,DF,，,CBE,CDF,(SAS),CE,CF,.,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,(2)证明：如图，延长,AD,至点,F,，使,DF,BE,，连接,CF,.,由(1)知,CBE,CDF,，,BCE,DCF,，,CE,CF,.,BCE,ECD,DCF,ECD,，,即,ECF,BCD,90.,又,GCE,45，,GCF,GCE,45.,CE,CF,，,GC,GC,，,ECG,FCG,，,GE,GF,，,GE,GF,DF,GD,BE,GD,.,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,(3)如图，过点,C,作,CG,AD,，交,AD,的延长线于点,G,.,在直角梯形,ABCD,中，,AD,BC,，,A,B,90.,又,CGA,90，,AB,BC,，,四边形,ABCG,为正方形,AG,BC,.,DCE,45，,根据(1)(2)可知，,ED,BE,DG,.,104,DG,，即,DG,6.,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,41将两个全等的直角三角形,ABC,和,DBE,按图9237方式摆放，其中,ACB,DEB,90，,A,D,30，点,E,落在,AB,上，,DE,所在直线交,AC,所在直线于点,F,.,图9237,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,(1)求证：,AF,EF,DE,；,(2)若将图中的,DBE,绕点,B,按顺时针方向旋转角,，且0,60，其他条件不变，请在图中画出变换后的图形，并直接写出你在(1)中的结论是否仍然成立；,(3)若将图中,DBE,绕点,B,按顺时针方向旋转角,，且60,180，其他条件不变，如图.你认为(1)中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出,AF,，,EF,与,DE,之间的关系，并说明理由,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,解：,(1)证明：连接,BF,(如图),ABC,DBE,，,BC,BE,，,AC,DE,.,ACB,DEB,90，,BCF,BEF,90.,BF,BF,，,Rt,BFC,Rt,BFE,，,CF,EF,.,AF,CF,AC,，,AF,EF,DE,.,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,(2)如图.(1)中的结论仍然成立,(3)不成立此时,AF,，,EF,与,DE,之间的关系是,AF,EF,DE,.,理由：连接,BF,(如图),ABC,DBE,，,BC,BE,，,AC,DE,.,ACB,DEB,90，,BCF,BEF,90.,BF,BF,，,Rt,BFC,Rt,BFE,，,CF,EF,.,AF,CF,AC,，,AF,EF,DE,.,(3)中正确的结论为,AF,EF,DE,.,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,422013烟台 已知点,P,是直角三角形,ABC,的斜边,AB,上一动点(不与点,A,，,B,重合)分别过点,A,，,B,向直线,CP,作垂线，垂足分别为,E,，,F,，点,Q,为斜边,AB,的中点,(1)如图9238，当点,P,与点,Q,重合时，,AE,与,BF,的位置关系是_，,QE,与,QF,的数量关系是_；,(2)如图，当点,P,在线段,AB,上不与点,Q,重合时，试判断,QE,与,QF,的数量关系并证明；,(3)当点,P,在线段,BA,(或,AB,)的延长线上时，此时(2)中的结论是否成立？请画出图形并给予证明,互相平行,相等,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,图9238,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,解：,(1)互相平行相等,(2),QE,QF,.证明：延长,FQ,交,AE,于点,H,，则,AQH,BQF,QH,QF,.,在,Rt,FHE,中，,QE,是斜边,FH,的中线，,QE,QF,.,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,(3)(2)中的结论仍然成立,证明：如图，延长,EQ,，,FB,交于点,D,，,Q,为,AB,的中点，,AQ,BQ,.,BF,CP,，,AE,CP,，,BF,AE,，,1,D,.,在,AQE,和,BQD,中，,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,43如图9239，图至中，点,B,是线段,AC,的中点，点,D,是线段,CE,的中点，四边形,BCGF,和,CDHN,都是正方形，,AE,的中点是点,M,.,图9239,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,(1)如图，点,E,在线段,AC,的延长线上，点,N,与点,G,重合时，点,M,与点,C,重合，,FMH,显然是等腰直角三角形；,(2)将图中的,CE,绕点,C,顺时针旋转一个锐角，得到图，求证：,FMH,是等腰直角三角形；,(3)将图中的,CE,缩短到图的情况，,FMH,还是等腰直角三角形吗(不必说明理由)?,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,证明：,(2)分别连接,BM,，,DM,，则有,BM,DM,CD,BC,AB,DE,，,E,EMD,A,AMB,，,CBM,CDM,，,FBM,HDM,，,FMB,HMD,，,FM,HM,.又,HMD,MHD,.在,HMD,中，2,HMD,2,DME,90180，,HMD,DME,45，即,HME,45，同理可证,FMA,45，,FMH,90，,FMH,是等腰直角三角形,(3)是,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,44如图9240，已知,ABC,中，,AB,AC,10厘米，,BC,8厘米，点,D,为,AB,的中点,图9240,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,(1)如果点,P,在线段,BC,上以3厘米/秒的速度由点,B,向点,C,运动，同时，点,Q,在线段,CA,上由点,C,向点,A,运动,若点,Q,的运动速度与点,P,的运动速度相等，经过1秒后，,BPD,与,CQP,是否全等？请说明理由；,若点,Q,的运动速度与点,P,的运动速度不相等，当点,Q,的运动速度为多少时，能够使,BPD,与,CQP,全等？,(2)若点,Q,以中的运动速度从点,C,出发，点,P,以原来的运动速度从点,B,同时出发，都逆时针沿,ABC,三边运动，求经过多长时间点,P,与点,Q,第一次在,ABC,的哪条边上相遇,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,解：,(1)全等理由：,t,1秒，,BP,CQ,313(厘米),AB,10厘米，点,D,为,AB,的中点，,BD,5厘米,又,PC,BC,BP,，,BC,8厘米，,PC,835(厘米)，,PC,BD,.,又,AB,AC,，,B,C,.,在,BPD,和,CQP,中，,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,45阅读下面材料：,问题：如图9241，在,ABC,中，,D,是,BC,边上的一点，若,BAD,C,2,DAC,45，,DC,2.求,BD,的长,图9241,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,小明同学的解题思路是：利用轴对称，把,ADC,进行翻折，再经过推理、计算使问题得到解决,(1)请你回答：图中,BD,的长为_；,(2)参考小明的思路，探究并解答问题：如图，在,ABC,中，,D,是,BC,边上的一点，若,BAD,C,2,DAC,30，,DC,2，求,BD,和,AB,的长,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,(2)如图，把,ADC,沿,AC,翻折，得到,AEC,，连接,DE,，,ADC,AEC,，,DAC,EAC,，,DCA,ECA,，,DC,EC,.,BAD,BCA,2,DAC,30，,BAD,DAE,30，,DCE,60，,CDE,为等边三角形，,DC,DE,.,在,AE,上截取,AF,AB,，连接,DF,.,AD,是公共边，,ABD,AFD,，,BD,DF,.,第九单元 三角形,包考集训,包考探究,考点聚焦,
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