新弯曲应力修改

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章 弯曲应力,5-2,纯弯曲时的正应力,5-3,横力弯曲时的正应力,5-4,弯曲切应力,5-6,提高弯曲强度的措施,目录,5-1,纯弯曲,1,回顾与比较,内力,应力,目录,5-1,纯弯曲,2,回顾与比较,内力,应力：,F,S,M,目录,5-1,纯弯曲,弯矩是垂直于横截面的内力系的合力偶矩，它仅与横截面上的正应力有关。,剪力是切于横截面的内力系的合力，它仅与横截面上的切应力有关。,3,纯弯曲,梁段,CD,的任意横截面上,只有弯矩没有剪力,纯弯曲,梁段,AC,和,BD,的任意横截面上,既有弯矩又有剪力,横力弯曲,（剪切弯曲）,5-1,纯弯曲,4,5-2,纯弯曲时的正应力,、变形几何关系,a,a,b,b,m,n,n,m,m,a,a,b,b,m,n,n,平面假设：,横截面变形后保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线，只是绕截面内某一轴线偏转了一个角度假定,5,凹入,一侧：纤维,缩短,突出,一侧：纤维,伸长,中间一层纤维长度不变,中性层,中间层与横截面的交线,中性轴,5-2,纯弯曲时的正应力,设想梁是由无数,层纵向纤维组成,对纯弯曲变形，各纵向纤维之间并无相互作用的正应力假定,6,5-2,纯弯曲时的正应力,(a),a,a,b,b,m,n,n,m,o,o,y,建立坐标系：横截面对称轴为轴，中性轴（位置待定）为轴。,可见，纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比。,7,将（）式代入上式，得,5-2,纯弯曲时的正应力,、物理关系,(b),依据假定 ，每一层纵向纤维都是简单的拉伸或压缩，当应力小于比例极限时，由胡克定律可知：,由此表明，任意纵向纤维的正应力与它到中性层的距离成正比。,8,三、静力学关系,5-2,纯弯曲时的正应力,F,N,、M,y,、,M,z,表明轴通过横截面的形心。,轴横截面的对称轴，上式自然满足。,9,三、静力学关系,5-2,纯弯曲时的正应力,(c),F,N,、M,y,、,M,z,梁的抗弯刚度,10,纯弯曲正应力公式,变形几何关系,物理关系,静力学关系,为梁中性层弯曲变形后的曲率,为中性层的曲率半径,，,5-2,纯弯曲时的正应力,11,正应力分布,5-2,纯弯曲时的正应力,M,M,正应力大小与其到中性轴距离成正比；,中性轴上,正应力等于零,抗弯截面系数,注意：,为了方便画成矩形，推导中未用它的几何特性。,12,5-3,横力弯曲时的正应力,弹性力学精确分析表明，当跨度,l,与横截面高度,h,之比,l / h ,5,（细长梁）时，采用纯弯曲正应力公式计算横力弯曲时的正应力,并不会引起很大误差,能够满足工程问题所需要的精度。,横力弯曲,此时,:,1,横截面上不但有正应力还有切应力；,2,由于切应力的存在，横截面不能再保持为平面；,3,不能保证纵向纤维之间没有正应力。,13,横力弯曲时的正应力公式,横力弯曲最大正应力,5-3,横力弯曲时的正应力,细长梁,横截面惯性积,I,YZ,=0,弹性变形阶段,公式适用范围：,14,弯曲正应力强度条件,1.等截面梁弯矩最大的截面上，,离中性轴最远处,.,脆性材料,抗拉和抗压性能不同，两方面都要考虑,.变截面梁要综合考虑 与,5-3,横力弯曲时的正应力,15,F,AY,F,BY,B,A,l =,3,m,q=,60kN/m,x,C,1,m,M,x,30,z,y,180,120,K,1.,C,截面上,K,点正应力,2.,C,截面上最大正应力,3.,全梁上最大正应力,4.,已知,E,=200GPa,，求中性层在,C,截面处的曲率半径,F,S,x,90kN,90kN,1.,求支座反力,解：,例题,5-1,5-3,横力弯曲时的正应力,16,B,A,l =,3,m,F,AY,q=,60kN/m,F,BY,x,C,1,m,M,x,30,z,y,180,120,K,F,S,x,90kN,90kN,2.,C,截面最大正应力,C,截面弯矩,C,截面惯性矩,5-3,横力弯曲时的正应力,17,B,A,l =,3,m,F,AY,q=60kN/m,F,BY,x,C,1,m,M,x,30,z,y,180,120,K,F,S,x,90kN,90kN,3.,全梁最大正应力,最大弯矩,截面惯性矩,5-3,横力弯曲时的正应力,18,B,A,l =,3,m,F,AY,q=60kN/m,F,BY,x,C,1,m,M,x,30,z,y,180,120,K,F,S,x,90kN,90kN,4.,中性层在,C,截面处的曲率半径,C,截面弯矩,C,截面惯性矩,5-3,横力弯曲时的正应力,19,（2）弯矩 最大的截面,（3）抗弯截面系数 最,小的截面,图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。已知,材料的许用应力,分析（1）,例题,5-2,5-3,横力弯曲时的正应力,20,（,3,）强度校核,B,截面,：,C,截面,：,（,4,）结论 轴满足强度要求,（1）计算简图,（2）绘弯矩图,F,a,F,b,解：,5-3,横力弯曲时的正应力,21,分析,（1）确定危险截面,（）计算,（4）计算 ，选择工,字钢型号,某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦自重,材料的许用应力,起重,量,跨度,试选择工字钢的型号。,（）,例题,5-3,5-3,横力弯曲时的正应力,22,（4）选择工字钢型号,(p408),（3）根据,计算,（1）计算简图,（2）绘弯矩图,解：,选,36c,工字钢,5-3,横力弯曲时的正应力,23,作弯矩图，寻找需要校核的截面,要同时满足,分析：,非对称截面，要寻找中性轴位置,T,型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。,试校核梁的强度。,例题,5-4,5-3,横力弯曲时的正应力,24,（2）求截面对中性轴,z,的惯性矩,（1）求截面形心,z,1,y,z,52,解：,5-3,横力弯曲时的正应力,25,（4）,B,截面校核,（3）作弯矩图,5-3,横力弯曲时的正应力,26,（5）,C,截面要不要校核？,（4）,B,截面校核,5-3,横力弯曲时的正应力,梁满足强度要求,27,5-4,弯曲切应力,x,d,x,x,y,P,m,q(x),A,B,m,n,m,1,n,1,一、矩形截面梁,1、,横截面上各点的切应力方向平行于剪力,2、,切应力沿截面宽度均匀分布,关于切应力的分布作两点假设：,Fs,b,h,y,m,n,m,1,n,1,O,p,1,q,1,p,dx,x,y,z,28,5-4,弯曲切应力,目录,d,x,m,1,n,1,n,m,M,M+,d,M,y,p,p,1,m,1,n,1,m,n,d,x,p,p,1,q,1,q,y,d,A,F,N,1,F,N,2,z,y,y,1,讨论部分梁的平衡,29,5-4,弯曲切应力,m,1,n,1,m,n,d,x,p,p,1,q,1,q,y,d,A,F,N,1,F,N,2,z,y,y,1,30,5-4,弯曲切应力,矩形横截面梁的最大切应力为平均切应力的,1.5,倍。,31,5-4,弯曲切应力,二、工字型截面梁,b,b,0,h,h,0,z,y,y,由三个狭长矩形（腹板和翼缘）组成。,用与前面相同的方法进行推导，可以得到相同的切应力计算公式：,注意：为腹板上距中性轴处的切应力；为图中阴影部分的面积对中性轴的静矩。,首先讨论腹板上的切应力,(,矩形截面上切应力分布的两个假设仍然适用,),32,5-4,弯曲切应力,b,b,0,h,h,0,z,y,y,由上式可知，沿腹板高度，切应力也按抛物线分布。,代入切应力计算公式，得：,33,5-4,弯曲切应力,b,b,0,h,h,0,z,y,y,讨论：,在实际中，腹板宽度远小于翼缘宽度，对比上式可知，和事实上相差不大，所以可认为,腹板上切应力大致是均匀分布的。,将腹板上的切应力在腹板面积上积分，得到腹板上的总剪力，计算结果表明：,由此可见，,横截面上的剪力的绝大部分为腹板所负担。,34,5-4,弯曲切应力,b,b,0,h,h,0,z,y,y,讨论：,翼缘上切应力分布情况比较复杂，既有平行于剪力的切应力分量，又有平行于翼缘宽度的切应力分量，但它们的数值与腹板上的切应力数值比较，是很小的量，无实际意义，通常忽略不计。,由,1,和,2,，可用腹板的横截面面积除剪力，近似地得到腹板内的切应力为：,35,5-4 弯曲切应力,三、圆形截面梁,分析：,1.,对圆形截面，其边缘上各点的切应力与圆周相切（可参考图,3.20),，表明,不能再假设截面上各点的切应力都平行于剪力。,.,在水平弦,mn,的两端点上的与圆周相切的切应力作用线相交与,y,轴上的,A,点，由于对称性,弦,mn,的中点处的切应力必定是垂直的且其作用线也通过,A,点，由此可以假设,弦,mn,各点的切应力作用线都通过,A,点。,3.,参考矩形和工字形截面上的切应力沿宽度方向均匀分布,对圆形截面,我们可以,假设水平弦,mn,上各点切应力的垂直分量 是相等的,36,5-4 弯曲切应力,通过以上分析可知：,对于 来说,就与矩形截面所做的两个假设完全相同,由此可得计算 的公式为,:,式中,为弦,mn,的长度，为阴影部分面积对中性轴,z,轴的静矩。,与矩形和工字形截面上的最大切应力位置一样，圆形截面上的最大切应力同样在中性轴轴上，又因在轴上的两端和中点的总切应力没有水平分量，也即,轴上的就是总切应力及最大切应力。,37,5-4 弯曲切应力,对中性轴轴：,将上面各式代入切应力公式，得到圆截面上最大切应力的计算公式为：,上式表明，,圆截面上最大切应力是平均切应力,(,),的倍。,38,梁的跨度较短（,l / h, 5,）；,在支座附近作用较大载荷（载荷靠近支座）；,铆接或焊接的工字形或箱形等截面梁（腹板、焊缝、,胶合面或铆钉等）,q,B,A,C,D,E,l,P,P,a,5-4,弯曲切应力,有些情况必须考虑,弯曲切应力,39,悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为1,m。,胶合面的许可切应力为0.34,MPa，,木材的,= 10 MPa，,=1MPa，,求许可载荷。,1.画梁的剪力图和弯矩图,2.按正应力强度条件计算许可载荷,3.按切应力强度条件计算许可载荷,解：,例题,5-5,5-4,弯曲切应力,40,4.按胶合面强度条件计算许可载荷,5.梁的许可载荷,5-4,弯曲切应力,41,5-6,提高弯曲强度的措施,1.,降低,M,max,合理安排支座,合理布置载荷,一般来讲，弯曲正应力是控制梁的主要因素。所以弯曲正应力的强度条件,往往是设计梁的主要依据。,从强度条件来看,，要想提高梁的承受能力：需要采取的措施,一个是降低最大弯矩，另一个是提高抗弯截面系数。,42,合理布置支座,F,F,5-6,提高弯曲强度的措施,43,合理布置支座,5-6,提高弯曲强度的措施,44,合理布置载荷,F,5-6,提高弯曲强度的措施,45,2.,增大,W,Z,合理设计截面,合理放置截面,5-6,提高弯曲强度的措施,46,合理放置截面,5-6,提高弯曲强度的措施,大于，显然，截面竖放比水平放合理,47,合理设计截面,5-6,提高弯曲强度的措施,截面面积越小，越节省材料，越经济,抗弯截面系数越大，梁的承载能力越大,为此，我们用比值来衡量其截面的合理性，比值较大，说明截面的形状较合理经济,48,合理设计截面,5-6,提高弯曲强度的措施,49,合理设计截面（考虑材料特性）,5-6,提高弯曲强度的措施,对抗拉和抗压强度相等的材料（碳钢等塑性材料），宜采用中性轴为对称轴的截面（矩形和工字形等），使截面上下边缘处的最大拉应力和最大压应力数值相等，同时接近许用应力。,对抗拉和抗压强度不相等的材料（铸铁等脆性材料），宜采用中性轴偏向受拉一侧的截面形状（丁字形等）。,y,z,50,3,、等强度梁,5-6,提高弯曲强度的措施,对等截面梁，只有在最大弯矩的截面上，最大应力才有可能接近许用应力，其余截面弯矩小、应力小，材料没有得到充分利用。,为了节省材料，我们可能在,弯矩较大处采用较大截面，弯矩较小处采用较小截面。,截面沿轴线变化的梁，称为变截面梁。,使,变截面梁各截面上的最大正应力都相等，并且都等于许用应力，则称该梁为等强度梁。,等强度梁的,沿梁轴线变化的规律,51,3,、等强度梁（举例）,5-6,提高弯曲强度的措施,52,目录,5-6,提高弯曲强度的措施,叠板弹簧梁,鱼腹,梁,阶梯,梁（,轴）,53,小结,、了解纯弯曲梁弯曲正应力的推导方法,、熟练掌握弯曲正应力计算、弯曲正应,力强度条件及其应用,、了解提高梁弯曲强度的主要措施,、掌握弯曲切应力的计算及其应用,54,