资源描述
, , , , , ,*,*, , , , , , ,*,*, , , , , , ,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*, , , , , , ,*,*, , , , , , ,*,*, , , , , , ,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,概率论与数理统计 第四版,1,概率论部分,2,第二章 随机变量及其分布,2,第二章 随机变量及其分布,关键词：,随机变量,概率分布函数,离散型随机变量,连续型随机变量,随机变量的函数,3,1,随机变量,*,常见的两类试验结果：,示数的,降雨量；候车人数；发生交通事故的次数,示性的,明天天气（晴，多云,）；化验结果（阳性，阴性）,e,s,x,离散型的,连续型的,X=f(e),为,S,上的单值函数，,X,为实数,*,中心问题：将试验结果数量化,*,定义：随试验结果而变的量,X,为随机变量,*,常见的两类随机变量,4,2,离散型随机变量及其分布,定义：取值可数的随机变量为,离散量,离散量的概率分布,(,分布律,),样本空间,S, X=x,1,，,X=x,2,，,，,X=x,n,，, ,由于样本点两两不相容,1,、写出可能取值即写出了样本点,2,、写出相应的概率即写出了每一个样本点出现的概率,#,概率分布,5,例：某人骑自行车从学校到火车站，一路上要经 过,3,个独立的交通灯，设各灯工作独立，且设 各灯为红灯的概率为,p,，,0,p,1,，以,X,表示首次 停车时所通过的交通灯数，求,X,的概率分布律。,p,X,0,1,2,3,p,p(1-p),(1-p),2,p,(1-p),3,解：,设,A,i,=,第,i,个灯为红灯,，则,P,(,A,i,)=,p,，,i,=1,2,3,且,A,1,A,2,A,3,相互独立。,6,例：从生产线上随机抽产品进行检测，设产品 的次品率为,p,，,0p1,，若查到一只次品就 得停机检修，设停机时已检测到,X,只产品， 试写出,X,的概率分布律。,解：设,A,i,=,第,i,次抽到正品,，,i=1,2,则,A,1,A,2,相互独立。,亦称,X,为服从参数,p,的,几何分布。,7,三个主要的离散型随机变量,0,1(p),分布,二项分布,X,p,q,0,1,p,样本空间中只有两个样本点,即每次试验结果,互不影响,在相同条件下,重复进行,(p+q=1),*,n,重贝努利试验：设试验,E,只有两个可能的结果：,p(A)=p,0p1,将,E,独立地重复进行,n,次，则称这一串,重复,的,独立,试验为,n,重,贝努利试验,。,8,例：,1.,独立重复地抛,n,次硬币，每次只有两个可能的结果：,正面，反面，,如果是不放回抽样呢？,2.,将一颗骰子抛,n,次，设,A=,得到,1,点,，则每次试验,只有两个结果：,3.,从,52,张牌中,有放回,地取,n,次，设,A=,取到红牌,，则,每次只有两个结果：,9,设,A,在,n,重贝努利试验中发生,X,次，则,并称,X,服从参数为,p,的,二项分布,，记,推导：设,A,i,=,第,i,次,A,发生,，先设,n=3,10,例：,设有,80,台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是,0.01,，且一台设备的故障能有一个人处理。,考虑两种配备维修工人的方法，,其一是由,4,个人维护，每人负责,20,台；,其二是由,3,个人共同维护,80,台。,试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小。,11,12,例：某人骑了自行车从学校到火车站，一路上 要经过,3,个独立的交通灯，设各灯工作独 立，且设各灯为红灯的概率为,p,，,0p1,， 以,Y,表示一路上遇到红灯的次数。,(1),求,Y,的概率分布律；,(2),求恰好遇到,2,次红灯的概率。,解：这是三重贝努利试验,13,例：某人独立射击,n,次，设每次命中率为,p,，,0p0,为常数，则称,X,服从参数为,的,指数分布,。,记为,X,具有如下的无记忆性：,25,26,正态分布,定义：,设,X,的概率密度为,其中,为常数，称,X,服从参数为,的正态分布,(,Gauss,分布,),，,记为,可以验算：,27,称,为位置参数,(,决定对称轴位置,),为尺度参数,(,决定曲线分散性,),28,X,的取值呈中间多，两头少，对称的特性。,当固定,时，,越大，曲线的峰越低，落在,附近的概率越小，取值就越分散，,是反映,X,的取值分散性的一个指标。,在自然现象和社会现象中，大量随机变量服从或近似服从正态分布。,29,30,例：,查书后附表,31,例：一批钢材,(,线材,),长度,(1),若,=100,，,=2,，求这批钢材长度小于,97.8cm,的概率；,(2),若,=100,，要使这批钢材的长度至少有,90%,落在区间,(97,103),内，问,至多取何值？,32,例：设某地区男子身高,(1),从该地区随机找一男子测身高，求他的身高大于,175cm,的概率；,(2),若从中随机找,5,个男子测身高,问至少有一人身高大于,175cm,的概率是多少？恰有一人身高,大于,175cm,的概率为多少？,33,5,随机变量的函数分布,问题：已知随机变量,X,的概率分布，,且已知,Y=g(X),，求,Y,的概率分布。,X,p,i,0.2,-1,0,1,0.5,0.3,例如，若要测量一个圆的面积，总是测量其半径，半径的测量值可看作随机变量,X,，若,则,Y,服从什么分布？,例：已知,X,具有概率分布,且设,Y=X,2,，求,Y,的概率分布。,解：,Y,的所有可能取值为,0,1,即找出,(Y=0),的等价事件,(X=0),；,(Y=1),的等价事件,(X=1),或,(X=-1),34,例：设随机变量,X,具有概率密度,求,Y=X,2,的概率密度。,解：,分别记,X,Y,的分布函数为,Y,在区间,(0,16),上均匀分布。,35,一般，若已知,X,的概率分布，,Y=g(X),，求,Y,的 概率分布的过程为：,关键是找出等价事件。,36,例：设,Y=2X,Z=X,2,求,Y,Z,的概率分布。,X,-1,1,0,p,Z,0,1,p,Y,-2,2,0,p,解：,Y,的可能取值为,-2,0,2,Z,的可能取值为,0,1,(Y=-2),的等价事件为,(X=-1),(Z=1),的等价事件为,(X=1)(X=-1),故得：,37,例：,38,x,h(y),y,y,0,y=g(x),y,39,40,例：,解：,例：,解：,41,42,复习思考题,2,1.,什么量被称为随机变量？它与样本空间的关系如何？,2.,满足什么条件的试验称为“,n,重贝努里试验”？,3.,事件,A,在一次试验中发生的概率为,p,0,p,1,。若在,n,次独立重复的试验中，,A,发生的总次数为,X,则,X,服从什么分布？并请导出：,4.,什么条件下使用泊松近似公式等式较为合适？,5.,什么样的随机变量称为连续型的？,6.,若事件,A,为不可能事件，则,P(A)=0,反之成立吗？又若,A,为必然事件，,则,P(A)=,1,，反之成立吗？,7.,若连续型随机变量,X,在某一区间上的概率密度为,0,，则,X,落在该区间,的概率为,0,，对吗？,8.,若随机变量,X,在区间,(a,b),上均匀分布，,则,X,落入,(a,b),的任意一子区间,(a,1,b,1,),上的概率为,(,b,1,-,a,1,)/(,b-a,),对吗？,9.,若,X,N(,2,),，,则,X,的概率密度函数,f(x),在,x=,处值最大，因此,X,落在,附近的概率最大，对吗？,43,课件待续,!,2024/9/21,44,
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