优化设计总结与工程实例

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,4,章,优化设计,总结与工程实例,4.6,优化设计中应注意的几个问题,通常在选择优化方法时，首先应,明确数学模型的特点,。例如优化问题的,规模,(,即维数、目标函数及约束函数的数目,),，,目标函数,及,约束函数的性质,(,非线性程度、连续性及计算时的复杂程度,),以及,计算精度,等。这些特点是选择优化方法的主要依据。,选择优化方法时，还要考虑它,本身及其计算程序的特点,。例如，该方法是否已有现成的程序,可用,；编制程序所要花费的,代价,；程序的,通用性或普遍性,，即能否用它来解多种类型的问题；,解题规模,；使用该程序的简便性及计算机执行该程序需要花费的,时间和费用,，程序的,机动性,，优化方法的,收敛速度,、,计算精度,、,稳定性,及,可靠性,等。,4.6.1,优化方法的选择,在实际工程设计问题中，有时会遇到离散型设计变量的情况，这时可采用下述方法求解。,1,凑整解法,这种方法是将离散变量先,假定为连续变量,，在取得最优解后，再进行必要的处理，将求得的非离散值,调整到,离其最近的可行的,离散值,，并计算该值相邻各点的函数值，找出其中可行的最小点。,2,网格法,网格法是一种最简单的直接求优法，是一种,穷举法,。它既可用于连续设计变量的约束优化问题，又可用于具有离散型设计变量问题的求优。,3,随机试验法,从规定离散数的集合中,随机抽样,，计算那些可行点的目标函数值并保留函数值,最小的点,，也可以寻得离散最优解。,除上述方法外，处理离散型设计变量的优化设计问题，还可采用,离散复合形法,和,离散罚函数法,等。,4.6.2,离散变量的处理,在实际工程设计问题中，常常同时有,几项设计指标,都希望达到最优值，即所谓的,多目标函数优化问题,。,多目标函数优化问题的,数学模型,为,4.6.3,多目标函数优化问题的处理,（,4-63,）,在上述目标函数的最优化问题中，各个目标函数,的优化往往是,互相矛盾,的，不能同时达到,最优解,；甚至有时还会产生完全,对立,的情况，即对一个目标函数是优点，对另一目标函数却是劣点。这就需要在各个目标的最优解之间进行,协调,，以便取得整体最优方案。由此，多目标函数的最优化问题要比单目标函数的最优化问题复杂得多，求解难度也较大。特别应当指出的是多目标函数的最优化方法虽有不少，但有些方法的效果并不理想，需要进一步研究和完善。下面介绍几种多目标函数的最优化方法。,1,主要目标法,主要目标法的思想是,抓住主要目标,，同时,兼顾次要目标,。求解时将全部目标函数按其重要程度排列，选择最重要的作为,主要目标,，而其他目标只需满足一定要求即可。为此，可将这些目标,转化成约束条件,。也就是用约束条件的形式来保证其他目标不致太差。这样处理后，就成为单目标优化问题。,对于式（,4-63,）的多目标优化问题，求解时可在 个目标函数中选择一个 作为,主要目标,，则问题变为,（,4-64,）,式中,、,为第,个目标函数的,上、下限,。,2,统一目标法,统一目标法又称,综合目标法,。它是将原多目标优化问题，通过一定方法转化为,统一目标函数,或,综合目标函,数作为该多目标优化问题的评价函数，然后用前述的单目标函数优化方法求解。,3,分层序列法及宽容分层序列法,分层序列法及宽容分层序列法是将多目标优化问题转化为一系列,单目标优化,问题的求解方法。,基本思想是将多目标优化问题式（,4-63,）中的目标函数分,清主次,，按其重要程度,逐一排除,，然后依次对各个目标函数求最优解，不过后一个目标函数应在前面各目标函数最优解的,集合域内,寻优。,4,协调曲线法,在多目标优化设计问题中，当各个分目标的最优解出现矛盾时，为了使某个较差的分目标也达到较理想的值，需要以增大其他几个目标函数值为,代价,，这就是说，各分目标函数值之间需要进行协调，以便最终取得一个从工程实用观点上看对各分目标都可以接受的最合理方案，这种方法称为,协调曲线法,。,对于计算结果给出的,设计变量值,，需要核查它们的,可行性与合理性。,4.6.4,优化结果的分析,对于大多数实际工程设计问题，,最优解,往往位于一个或几个不等式约束条件的,约束面,上，这时，最优解所在的约束面的,约束函数值,应,等于或接近于,0,。,如果所有的约束函数值全不接近于,0,，则应仔细检查原因，考虑,数学模型,或,最优化过程,是否,有误,。为此，可,改变初始点,或,重选优化方法,进行计算。,4.7,工程优化设计应用,前面几节,介绍了工程优化设计的,有关理论及方法,，,本节,以,实例,阐述如何运用这些理论及方法来解决,工程优化设计问题,。,4.7,.1,工程优化设计的一般工作步骤,工程优化设计,包含,两方面的工作,：,一是,根据具体设计要求，建立工程优化设计数学模型；,二是,选择合适的优化方法及程序进行求解。,进行,工程问题优化设计,时，其一般,工作步骤,如下：,1.,建立工程优化设计数学模型,解决,工程优化设计问题的,关键,，是建立正确的,优化数学模型,。,为此，要正确地,选择,设计变量,、,目标函数,和,约束条件,，并把它们组合在一起，成为一组能,准确地,反映工程优化设计问题实质的,数学表达式,，同时，要使建立的,数学模型,容易处理和求解,。,因而，建立,优化数学模型,的,要求,是,：,一要正确，二要易于求解。,2.,选择合适的优化方法和计算程序,为,求解,工程优化设计的,数学模型,，应优先,选择,可靠性好,，,收敛速,度快,，,算法稳定性好,及,对参数敏感性小,的,优化方法,和,计算程序,。,为了便于对工程优化问题的求解，目前国内外均已开发出通用的,优化程序库,，使得优化方法和计算程序的选择不再是困难的问题。,3.,编写主程序和函数子程序，,上机调试和计算，求得最优解,一个完整的,优化运行程序,应由如下,三个部分,组成：,优化运行程序,主程序,优化模型函数子程序,优化算法子程序,因此，工程优化设计人员是在调用,优化程序,求解自己的实际问题,时，应按要求,编写主程序,和优化问题数学模型的,函数子程序,，将,它们,与,优化程序库,联成一个完整的应用软件系统。,然后,上机调试和计算，求得优化问题的,最优结果,。,4.,对优化结果进行分析，确定最优解,求得,优化结果,后，应对其进行分析、比较，看其是否符合实际，,是否满足设计要求，以决定是否采用。若发现它不符合实际或不满足,设计要求，应考虑修改,数学模型,或选择,不同的算法,求解。,为了给,工程设计人员,提供一个,求解优化数学模型的,有力工具,，,目前国内、外许多,CAD,软件中均开发有,优化软件包,或,优化算法库,，如：,我国,“,六五,”,期间研制的,“,常用优化方法程序库,OPB-1”,和,“,七五,”,期间开发的,“,优化方法及计算方法软件库,OPB-2”,等,。,这样，,工程技术人员,在掌握工程问题优化设计的基础知识和熟悉工程优化软件有关功能的基础上，调用优化工具箱的函数，可简捷方便地处理,工程优化设计问题,。,Pro/Engineer,MATLAB,4.7.2,工程优化设计实例,已,知,单级直齿圆柱齿轮减速器,的输入扭矩,T,1,=2674Nm,，传动比,i,=5,，,现要求确定,该减速器的结构参数，在保证承载能力条件下，使减速器的重量最轻。小齿轮拟选用实心轮结构，大齿轮为四孔辐板式结构，其结构尺寸如,图,2-43,所示，图中,1,=280mm,，,2,=320mm,。,实例,1,单级直齿圆柱齿轮传动减速器的优化设计,图,2-43,单级直齿圆柱齿轮减速器结构图,(a),传动图；,(b),小齿轮；,(C),大齿轮,解：,1.,建立数学模型,：,(1),齿轮几何计算公式,，,，,于是,该减速器,的,齿轮与轴的体积之和,则为,从上述,计算,齿轮减速器体积,（,简化为齿轮和轴的体积,）,的,基本,公式,中可知，,体积,V,取决于：,齿轮宽度,B,、小齿轮齿数,z,1,、模数,m,、轴的支承跨距 、,主动轴直径,、从动轴直径,和传动比,等,7,个参数。,其中,传动比,为,常量,，由已知条件给定。,(2),确定设计变量,所以，,该优化设计问题,可取,设计变量,为,以齿轮减速器的,重量最轻,为优化目标，而此,减速器的重量,可以,一对齿轮,和,两根轴,的,重量之和,近似求出。,由此，,减速器的重量,，,因钢的,密度,为常数，,所以可取,减速器的体积,为,目标函数,。,将,设计变量,代入减速器的,体积公式,，经整理后得,目标函数,为：,(3),建立目标函数,1,）为,避免发生根切,，小齿轮的齿数 不应小于最小齿数 ，,即 ，于是得,约束条件,2,）,传递动力,的齿轮，要求,齿轮模数,一般应大于,2mm,，故得,本问题,的,约束条件,，由,强度条件,、,刚度条件,、,结构工艺条件,和,参数限制条件,等组成。,(4),确定约束条件,3,）根据设计经验，主、从动轴的,直径范围,取：,则,轴直径约束,为,4,）为了保证齿轮承载能力，且,避免载荷沿齿宽分布严重不均,，,要求 ，由此得,5,）根据,工艺装备条件,，要求,大齿轮直径,不得超过,1500mm,，,若,i,=5,，则,小齿轮直径,不能超过,300 mm,，即 ，,写成,约束条件,为,6,）按齿轮的齿面接触强度条件，有,式中，,。,将以上各参数代入上式，,整理后,可得,接触应力约束条件,7,）按齿轮的齿根弯曲疲劳强度条件，有,若取,若大、小齿轮齿形系数 分别按下面,二式计算,，即,；,则得,小齿轮,和,大齿轮,的,弯曲疲劳强度条件,为,8,）根据,轴的刚度,计算公式,：,得,主动轴,的,刚度约束条件,为,式中：,。,9,）主、从动轴的弯曲强度条件,对主动轴,：轴所受弯矩 ；,扭矩校正系数,；,得,主动轴弯曲强度约束,为,对实心轴,：,若取：,。,对,从动轴,：,。,10,）轴的支承跨距按,结构关系,和,设计经验,取,式中， 为箱体内壁到轴承中心线的距离，现取 ，,则有 ，写成,约束条件,为,可得,从动轴,弯曲强度约束,：,即,本优化问题,是,一个具有,16,个不等式约束条件的,6,维约束优化问题,。,综上所述，可得,该优化问题,的,数学模型,为,2.,选择优化方法及优化结果,对,本优化问题,，现选用,内点罚函数法,求解。,可构造,惩罚函数,为,(5),写出优化数学模型,参考,同类齿轮减速器的设计参数，,现取,原设计方案,为,初始点,，即,则,该点的目标函数值,为： 。,采用,鲍威尔法,求解,惩罚函数,的极小点，,取惩罚因子递减系数,C,= 0.5,，其中一维搜索选用,二次插值法,，,收敛精度 ；鲍威尔法及罚函数法的,收敛精度,都取 ；,得,最优解,：,该方案,比,原方案的体积,(,按目标函数简化计算的部分,),下降了,59.4%,。,上述,最优解,并不能直接作为减速器的设计方案，,根据几何参数的标准化，要进行,圆整,，最后得：,可以验证，,圆整后的设计方案,满足所有,约束条件,，,其,最优方案,较原设计方案的,减速器体积,下降了,53.9,。,实例,2,圆柱螺旋压缩弹簧的优化设计,现设计一内燃机用的,汽门弹簧,，如,图,2-47,所示。,具体设计要求是,：,在工作载荷,P=700N,作用下，,弹簧生产,10mm,的变形量，,要求,:,弹簧的压并高度,50mm,，,弹簧内径,D,1,16mm,，,在满足强度条件的前提下，,使,设计出,的弹簧,具有,最轻的重量,。,图,2-47,圆柱螺旋压缩弹簧,的几何参数,解：,1.,建立数学模型,1),确定设计变量,由机械零件弹簧设计可知，圆柱螺旋压缩弹簧的基本参数,(,见,图,2-47,),主要有：,弹簧中径,D,，,弹簧丝直径,d,，,弹簧总圈数,n,，,旋绕比,c,(,c,=,D,/,d,),，,许用剪应力,等。,由于在,c,，,D,和,d,中，只有两个是,独立变量,，,另外考虑到材料供应的限制，,也不宜作为,设计变量,。,由此，,该优化问题,的,设计变量,可取为,2),建立目标函数,该问题的,设计目标,是要求,弹簧的重量最轻,，故应将,弹簧重量,W,做为,目标函数,，,W,的计算公式,为,由此，,极小化目标函数,为,式中 ， 弹簧材料的比重，取,。,弹簧的变形量要求,弹簧结构要求的边界约束,规定设计变量的变化范围：,10mm ,D,50mm,1mm ,d,20mm,1,圈 ,n,20,圈,3),确定约束条件,根据设计要求，,该优化问题,的,约束条件,主要有：,弹簧的压并高度要求,弹簧的内径要求,弹簧的旋绕比范围,弹簧的强度要求,其中,取值,：弹簧材料的剪切模量 ；,弹簧丝的许用剪切应力 ；,弹簧支承圈数,n,2,=1.75,；,弹簧终端类型系数 。,4),该优化问题数学模型,综上所述，得,该优化问题,的,数学模型,为,2.,选用的优化方法及计算结果,本优化问题,是一个具有,11,个不等式约束和,1,个等约束,的,三维优化,问题,，是一个约束非线性优化设计问题。,经采用,复合形法,对该问题进行优化求解，得,最佳设计方案,为,此时，,(,弹簧重量,),，它比,常规设计方案,减轻重量,1.22N,。,上述结果，再按,标准圆整,后，可得,或,D,= 20mm,，,d,= 4.5mm,，,n,= 9.98,D,= 20mm,，,d,= 5mm,，,n,= 9.98,本章作业,：,习题,4-1,、,4-3,、,4-5,、,4-6,、,4-7,、,4-8,、,4-9,、,4-10,、,4-11,、,4-12,本章结束,Thank You,！,