线性插值与二次插值公式)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,插值计算引例,代数多项式插值问题,线性插值与二次插值公式,Lagrange,插值公式,第四章 数据插值方法,误差函数,x,0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 2.5000 3.0000,y,0 0.5205 0.8427 0.9661 0.9953 0.9996 1.0000,当,x,(0.5, 1),时,当,x,(1, 1.5),时,实际问题中遇到的函数,f,(,x,),有的表达式复杂，有的只提供了离散点上的函数值或导数值。为了进一步分析问题的性质和变化规律，自然希望找到一种简单函数,p,(,x,),，能近似描述函数,f,(,x,),的变化规律，又便于处理。把这个函数,p,(,x,),称作,f,(,x,),的,近似函数,。,近似函数,p,(,x,),可以是代数多项式或三角多项式，也可以是有理分式等等。,p,(,x,),选不同类型的函数，近似的效果不同，由于代数多项式结构简单，常取,p,(,x,),为代数多项式。,如果要求近似函数,p,(,x,),取给定的离散数据，则称,p,(,x,),为,f,(,x,),的,插值函数,。,多项式插值问题的一般提法,设,f,(,x,),C,a,b,已经点,x,i,a,b,上的函数值,f,(,x,i,), (,i,=,p,0,p,1,p,n,),和点,x,j,上的导数值,f,(,kj,),(,x,j,), (,j,=,q,0,q,1,q,m,),，其中,k,j,为小于或等于,n,+,m,+1,的任意正整数。,要求：作一个次数不超过,n,+,m,+1,的代数多项式,p,(,x,),P,(,x,)=,a,0,+,a,1,x,+,a,n+m+,1,x,n+m+,1,使,P,(,x,i,)=,f,(,x,i,),(,i,=,p,0,p,1,p,n,),P,(,kj,),(,x,j,)=,f,(,kj,),(,x,j,), (,j,=,q,0,q,1,q,n,),成立,则称,P,(,x,),为,f,(,x,),的,插值函数,。,x,i,和,x,j,称作,插值节点,a,b,为,插值区间,。,上述问题称作代数多项式插值问题,已知,f,(,x,),在点,x,i,上的函数值,y,i,=,f,(,x,i,), (,i,=0,1,2,n,),，,求一个次数不超过,n,的插值多项式。,则称,(4.1),为满足插值条件,(4.2),的,拉格朗日插值,。,L,n,(,x,)=,a,0,+,a,1,x,+,a,n,x,n,(4.1),满足,:,L,n,(,x,i,)=,y,i,(,k,= 0,1,n,),(4.2),设,f,(,x,),C,a,b,取点,a,x,0,x,1,x,n,b,拉格朗日插值,拉格朗日插值及其存在唯一性,点,则满足插值条件,L,n,(,x,i,)=,y,i,(,k,= 0,1,n,),的,n,次插值多项式,L,n,(,x,)=,a,0,+,a,1,x,+,a,n,x,n,存在而且是唯一,的。,证明,由插值条件,L,(,x,0,)=,y,0,L,(,x,1,)=,y,1,L,(,x,n,)=,y,n,定理,4.1,若插值结点,x,0,x,1,x,n,是,(,n,+1),个互异,方程组系数矩阵取行列式,这是范德蒙行列式且不等于,0,。故方程组有唯一解,.,从而插值多项式,P,(,x,),存在而且是唯一的,.,例,4.2,已知误差函数在四个点处函数值,x,00.60001.20001.8000,Erf,(,x,),00.60390.91030.9891,构造,3,次多项式,L,3,(,x,),逼近,Erf,(,x,),设,L,3,(,x,)=,a,0,+,a,1,x,+,a,2,x,2,+,a,3,x,3,令,L,3,(,x,i,)=,Erf,(,x,i,),得,求,解,得,a,0,=0,a,1,=1.293,a,2,= -0.5099,a,3,=0.0538,所以,L,3,(,x,)=1.293,x,0.5099,x,2,+ 0.0538,x,3,MATLAB,计算程序,x=0:.6:1.8; y=,erf(x,);,x=x;y=y;,A=ones(4,1) x x.2 x.3;,p=Ay;,a0=p(1);a1=p(2);,a2=p(3);a3=p(4);,t=0:.2:2;,u=a0+a1*t+a2*t.2+a3*t.3;,plot(x,y,o,t,u),由过两点直线方程,得,化为等价形式,求满足,:,L,1,(,x,0,)=,y,0,L,1,(,x,1,)=,y,1,的线性插值多项式,L,1,(,x,),n,=1,线性插值问题,已知函数表,x,x,0,x,1,f,(,x,),y,0,y,1,拉格朗日插值的基函数构造法,记,当,x,0,x,x,1,时，,0,l,0,(,x,)1, 0,l,1,(,x,)1,x,x,0,x,1,l,0,(,x,) 1 0,l,1,(,x,) 0 1,y,0,y,1, = 1 0,y,0,+ 0 1,y,1,把,l,0,(,x,),、,l,1,(,x,),称作,线性插值基函数,n,=2,二次插值问题,x,x,0,x,1,x,2,f,(,x,),y,0,y,1,y,2,已知函数表,求二次插值,(,抛物插值,),多项式,L,2,(,x,)=,a,0,+,a,1,x,+,a,2,x,2,满足,:,L,2,(,x,0,)=,y,0,L,2,(,x,1,)=,y,1,L,2,(,x,2,)=,y,2,y,0,y,1,y,2, = 1 0 0,y,0,+ 0 1 0,y,1,+ 0 0 1,y,2,仿照线性插值的基函数构造法，可令,L,2,(,x,)=,l,0,(,x,),y,0,+,l,1,(,x,),y,1,+,l,2,(,x,),y,2,二次插值函数,:,L,(,x,)=,l,0,(,x,),y,0,+,l,1,(,x,),y,1,+,l,2,(,x,),y,2,，,xx,0,x,1,x,2,l,0,(,x,) 1 0 0,l,0,(,x,) 100,l,1,(,x,) 010,l,2,(,x,) 0 0 1,L,2,(x),y,0,y,1,y,2,xx,0,x,1,x,2,把,l,0,(,x,),、,l,1,(,x,),、,l,2,(,x,),称作,二次插值基函数,Lagrange,插值公式,插值条件,:,L,n,(,x,i,)=,y,i,(,i,= 0,1,n,),其中,第,i,(,i,=0,1,，,n,),个插值基函数,即,:,两点,线性插值,定义误差余项,:,R,1,(,x,) =,f,(,x,) ,L,1,(,x,),由插值,条件,令,R,1,(,x,)=,C,(,x,) (,x x,0,)(,x x,1,),即,f,(,x,) ,L,1,(,x,) =,C,(,x,) (,x x,0,)(,x x,1,),C,(,x,) = ?,Lagrange,插值的误差余项,a,x,0,x,1,x,n,b,则对任何,x,a , b,满足,L,n,(,x,i,) =,f,(,x,i,),的,n,次插值多项式,L,n,(,x,),的,误差,其中,且与,x,有关,定理,5.2,设,f,(,x,),C,a,b,且,f,(,x,),在,(,a, b,),内具有,n+,1,阶导数,取插值结点,证,记,n+,1,(,x,) =(,x x,0,)(,x x,1,)(,x ,x,n,),R,n,(,x,),f,(,x,) ,L,n,(,x,)=,C,(,x,),n+,1,(,x,),取定,x,(,a,b,),设,t,(,a,b,).,构造函数,显然,F,(,x,) = 0,F,(,x,j,) = 0, (,j,= 0,1,n,),由插值条件,L,n,(,x,i,) =,f,(,x,i,) (,k,= 0,1,n,),存在,C,(,x,),，令,F,(,t,),有,(,n,+2),个相异零点,.,根据,Rolle,定理,F,(,t,),在区间,(,a, b,),内至少有,(,n,+1),个相异零点,.,依此类推,F,(,n+,1),(,t,),在区间,(,a, b,),内至少有,一个零点。故存在,(,a, b),使,F,(,n+,1),(,)=0,如果 存在，则,