资源描述
单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,教学目的,1.,讲解极大似然估计法；,2.,讲解评价估计量优劣的三个标准。,教学内容,：, 6.1-2,；, 6.2,。,。,第十九讲,极大似然估计法、,估计量优劣的标准,1,极大似然估计法,思想方法,：一次试验就出现的,事件有较大的概率,例如,:,有两外形相同的箱子,各装,100,个球,一箱,99,个白球,1,个红球,一箱,1,个白球,99,个红球,现从两箱中任取一箱,并从箱中任取一球,结果所取得的球是白球,.,答,:,第一箱,.,问,:,所取的球来自哪一箱？,2,例,6,设总体,X,服从,0-1,分布,且,P,(,X =,1) =,p,用极大似然法求,p,的估计值,.,解,总体,X,的概率分布为,设,x,1,x,2,x,n,为总体样本,X,1,X,2,X,n,的样本值,则,3,对于不同的,p , L,(,p,),不同,见右下图,现经过一次试验，,发生了，,事件,则,p,的取值应使这个事件发生,的概率最大,.,4,在容许范围内选择,p,，使,L,(,p,),最大,注意到，,ln,L,(,p,),是,L,的单调增函数,故若,某个,p,使,ln,L,(,p,),最大,则这个,p,必使,L,(,p,),最大。,所以,为所求,p,的估计值,.,5,一般,设,X,为离散型随机变量,其分布律为,则样本,X,1,X,2,X,n,的概率分布为,或,称,L,( ),为样本的,似然函数,6,称这样得到的,为参数,的,极大似然估计值,称统计量,为参数,的,极大似然估计量,选择适当的,= ,使,取最大值,即,L,( ),极大似然法的思想,简记,简记,7,若,X,连续,取,f,(,x,i,),为,X,i,的密度函数,似然函数为,注,1,注,2,未知参数可以不止一个,如,1,k,设,X,的密度,(,或分布,),为,则定义似然函数为,8,若,关于,1, ,k,可微,则称,为,似然方程组,若对于某组给定的样本值,x,1,x,2,x,n,，,参数 使似然函数取得最大值,即,则称,为,1,k,的,极大似然估计值,9,显然，,称统计量,为,1,2,k,的,极大似然估计量,10,例,7,设总体,X N,(,2,),x,1,x,2,x,n,是,X,的样本值,求,2,的极大似然估计,.,解,11,2,的极大似然估计量分别为,似然,方程,组为,12,极大似然估计方法,1,） 写出似然函数,L,2,）求出,使得,13,可得未知参数的极大似然估计值,然后,再求得极大似然估计量,.,L,是 的可微函数,解似然方程组,若,L,不是 的可微函数,需用其它,方法求极大似然估计值,.,请看下例：,若,14,例,8,设,X U,(,a,b,),x,1,x,2,x,n,是,X,的一个,样本值,求,a , b,的极大似然估计值与极大,似然估计量,.,解,X,的密度函数为,似然函数为,15,似然函数只有当,a x,i, b, i =,1,2,n,时,才能获得最大值,且,a,越大,b,越小,L,越大,.,令,x,min,= min ,x,1,x,2,x,n,x,max,= max ,x,1,x,2,x,n,取,则对满足,的一切,a ,1) .,(1),不是,D,(,X,),的无偏估量,;,(2),是,D,(,X,),的无偏估计量,.,证,前已证,证明,26,因而,故 证毕,.,27,例,3,设,是总体,X,的一个样本,XB,(,n, p,),n, 1 ,求,p,2,的无偏估计量,.,解,由于样本矩是总体矩的无偏估计量以及数学期望的线性性质,只要将未知参数表示成总体矩的线性函数,然后用样本矩作为总体矩的估计量,这样得到的未知参数的估计量即为无偏估计量,.,令,28,因此,p,2,的无偏估计量为,故,29,例,4,设总体,X,的密度函数为,为常数,为,X,的一个样本,证明,与,都是,的无偏,估计量,证,故,是,的无偏估计量,.,30,令,即,故,n Z,是,的无偏估计量,.,31,都是总体参数,的无偏估计量,且,则称 比 更有效,.,定义,设,有效性,32,所以,比,更有效,.,是,的无偏估计量,问哪个估计量更有效？,由例,4,可知,与 都,为常数,例,5,设总体,X,的密度函数为,解,，,33,例,6,设总体,X,，且,E,(,X,)=, ,D,(,X,)=,2,为总体,X,的一个样本,证明,是,的无偏估计量,(2),证明,比,更有效,证,(1),(1),设常数,34,(2),结论,算术均值比加权均值更有效,.,而,35,例如,X,N,(,2,) , (,X,1,X,2,),是一样本,.,都是,的,无偏估计量,由例,6(2),知,最有效,.,36,定义,设 是总体参数,则称,是总体参数,的一致,(,或相合,),估计量,.,的估计量,.,若对于任意的, ,当,n, ,时,一致性,依概率收敛于,即,一致性估计量仅在样本容量,n,足够大时,才显示其优越性,.,一致,37,关于一致性的两个常用结论,1.,样本,k,阶矩是总体,k,阶矩的一致性估计量,.,是,的一致估计量,.,由大数定律证明,用切贝雪夫不,等式证明,矩法得到的估计量一般为一致估计量,在一定条件下,极大似然估计具有一致性,2.,设 是,的无偏估计,量,且,则,38,例,8,为常数,则 是,的无偏、有效、一致估计量,.,证,由例,7,知 是,的无偏、有效估计量,.,所以 是,的一致估计量,证毕,.,39,作业,P.192-193,习题六,9 11,习题,40,
展开阅读全文