应力状态广义胡克定律

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,TSINGHUA UNIVERSITY,应力状态,应力状态,7.1 应力状态概述,7.3 二向应力状态分析解析法,7.4,二向应力状态分析图解法,7.2 二向和三向应力状态实例,7.5 三向应力状态,7.8 广义胡克定律,7.9 复杂应力状态的应变能密度,7-1 应力状态的基本概念,一、,什么,是,应力状态？,三、,如何描述,一点的应力状态?,二、,为什么,要研究应力状态?,一、什么是,应力状态？,应力的点的概念:,各不相同;,同一截面上不同点的应力,横截面上的正应力分布,F,Q,同一面上不同点的应力各不相同，即,应力的点的概念,。,横截面上的切应力分布,结果表明：,轴向拉压,同一横截面上各点应力相等：,F,F,同一点在斜截面上时：,应力的面的概念,应力的面的概念,各不相同；,过同一点不同方向面上的应力,F,P,F,P,受轴向拉力作用的杆件，受力之前,表面的正方形,受拉后，正方形变成了矩形，直角没有改变。,横截面上没有切应力；,受拉之前,表面斜置的正方形,受力之前,在其表面斜置的正方形在受拉后，正方形变成了菱形。,这表明：拉杆的斜截面上存在切应力。,F,P,F,P,应力的面的概念,受扭之前,，,圆轴表面,的,圆,轴扭转时，其斜截面上存在着正应力。,M,x,M,x,受扭后，变为一斜置椭圆，长轴方向伸长，短轴方向缩短。,这是为什么？,应力的面的概念,拉中有切,根据微元的局部平衡,切中有拉,根据微元的局部平衡,M,x,M,x,即使同一点,不同方向面上,的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。,微元平衡分析结果表明：,不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力。,应 力,指明,哪一个面上,？,哪一点,？,哪一点,？,哪个方向面,？,应力的点的概念与面的概念,应力状态:,过同一点不同方向面上应力的集合，称为这一点的应力状态；,请看下列实验现象,：,低碳钢和铸铁的拉伸实验,低碳钢和铸铁的扭转实验,二、为什么要研究,应力状态？,低碳钢拉伸,塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？,铸铁拉伸,两种材料的拉伸试验,为什么脆性材料扭转时沿45螺旋面断开？,低碳钢扭转,铸铁扭转,两种材料的扭转试验,试件的破坏不只在,横截面,，,有时也沿,斜截面,发生破坏；,为什么要研究,应力状态,不仅要研究横截面上的应力，,而且也要研究斜截面上的应力。,d,x,d,y,d,z,微元,三、如何描述一点的应力状态,微元及其各面上的应力来,描述一点,的,应力状态。,约定:,微元体的体积为无穷小；,相对面上的应力等值、反向、共线;,三个相互垂直面上的应力；,一般空间应力状态,y,x,z,一般平面应力状态,x,y,xy,yx,x,y,x,y,单向应力状态,纯剪应力状态,一般单向应力状态或纯剪切应力状态,三向应力状态,平面应力状态,单向应力状态,纯剪应力状态,特例,特例,一点的应力状态,主单元体,主平面,主应力,常用术语,单元体的某个面上切应力等于零时的正应力;,约定：,空间（,三向,）应力状态：,平面（二向）应力状态：,单向应力状态：,应力状态,三个主应力均不为零；,两个主应力不为零；,一个主应力不为零;,提取危险点处应力状态；,本章难点,应力状态是一切应力分析的基础；,1 提取,拉压变形,杆件危险点的应力状态,单向应力状态,F,F,2 提取,拉压变形,杆件任一点沿,斜截面,的应力状态,3 提取,扭转变形,杆件危险点的应力状态,纯剪切应力状态,4 提取,横力弯曲,变形杆件,下边缘一点,的应力状态,单向应力状态,5 提取,横力弯曲,变形杆件任意一点的应力状态,平面应力状态,6 提取,横力弯曲,变形杆件中性层上一点的应力状态,纯剪切应力状态,F,P,l/2,l/2,S,平面,7提取工字形截面梁上一点的应力状态,1,2,3,S,平面,5,5,4,4,3,3,2,2,1,1,4,5,F,P,l,a,S,7,提取直角拐固定端截面上一点的应力状态,M=F,P,L,T=F,P,a,判定变形,铅锤面内弯曲,x,z,y,4,3,2,1,S,平面,y,x,z,M,z,F,Q,y,M,x,4,3,2,1,1,4,3,F,F,S平面,1,1,8 同一点的应力状态可以有各种各样的描述方式.,1,F,F,S平面,1,n,练习1,提取危险点的应力状态,P,M,2,提取点的应力状态,P,M,M,2,M,1,3,提取危险点处应力状态,M,P,P,M,2,M,1,4,提取 点的应力状态,P,L/2,L/4,5,提取 各点的应力状态,L/6,P,L/3,P,L/3,6,提取危险点处应力状态,h,b,P,2,P,1,L/2,7,提取危险点处应力状态,P,1,P,2,8,提取危险点处应力状态,P,M,q,9,提取危险点处应力状态,b,h,P,10 1、2、3、4的应力状态中，哪一个是错误的？,1,2,3,4,1,2,3,4,圆柱型压力容器,7-2 二向和三向应力状态实例,球型压力容器,一、承受内压圆柱型薄壁容器任意点的应力状态,（壁厚为t，内直径为D，tD，内压为p）,L,圆柱型薄壁容器任意点的应力状态,t,D,t,D,p,x,s,轴线方向的应力,横向应力,x,s,y,s,x,s,y,s,承受内压圆柱型薄壁容器任意点的应力状态:,二向不等值拉伸应力状态,二、承受内压球型薄壁容器任意点的应力状态,（壁厚为t，内直径为D，t,2,3,0,）的应力状态。,过一点所有方向面中的最大切应力,x,=,3,y,=,2,，,xy,0,这就是,组方向面内的最大切应力,。,在平行于主应力,1,方向的任意方向面上，正应力和剪应力都与,1,无关。因此，当研究平行于,1,的这一组方向面上的应力时，所研究的应力状态可视为一平面应力状态：,过一点所有方向面中的最大切应力,在平行于主应力,2,方向的任意方向面,上，正应力和剪应力都与,2,无关。因此，当研究平行于,2,的这一组方向面上的应力时，所研究的应力状态可视为一平面应力状态：,x,=,1,y,=,3,，,xy,0,。,组方向面内的最大切应力,；,过一点所有方向面中的最大剪应力,x,=,1,y,=,2,，,xy,0,；,在平行于主应力,3,方向的任意方向面,上，正应力和剪应力都与,3,无关。因此，当研究平行于,3,的这一组方向面上的应力时，所研究的应力状态可视为一平面应力状态：,组方向面内的最大切应力,。,过一点所有方向面中的最大剪应力,一点应力状态中的最大剪应力，必然是上述三者中最大的；,过一点所有方向面中的最大剪应力,例 1,薄壁圆管受扭转和拉伸同时作用,（,如图所示,）,。已知圆管的平均直径,D,50 mm，,壁厚,2 mm,。外加力偶的力偶矩,M,e,600 Nm,，轴向载荷,F,P,20 kN,。薄壁管截面的扭转截面系数可近似取为,求：,1圆管表面上过,D,点与圆管母线夹角为30的斜截,面上的应力；,2.,D,点主应力和最大剪应力。,2、确定微元各个面上的应力,1,取微元：,围绕,D,点用横截面、纵截面和圆柱面截取微元。,3,求斜截面上的应力,x,63.7 MPa,，,y,0,，,xy,一76.4 MPa，,120,。,三维投影成二维,求斜截面上的应力,3,确定主应力与最大剪应力,确定主应力与最大剪应力,D,点的最大切应力为,例 2,已知:,应力状态如图所示。,试：,1写出主应力,1,、,2,、,3,的表达式；,2若已知,x,63.7 MPa，,xy,=76.4 MPa，,当坐标 轴,x、y,反时针方向旋转,=120,后至,x,、,y ,，求:,、,。,1.,确定主应力,应用平面应力状态主应力公式,因为,y,0,，所以有,又因为是平面应力状态，故有,+,-,=,2,2,3,4,2,1,2,xy,x,x,t,s,s,s,s,=,2,0,s,s,+,+,=,2,2,1,4,2,1,2,xy,x,x,t,s,s,s,s,2.,计算方向面法线旋转后的应力分量,x,63.7 MPa，,y,0；,xy,yx,=76.4 MPa，,=120,试求,（1）, 斜面上的应力；,（2）主应力、主平面；,（3）绘出主应力单元体。,例题3：一点处的应力状态如图。,已知,（1）, 斜面上的应力,=-30,（2）主应力、主平面,主平面的方位：,代入 表达式可知,主应力 方向：,主应力 方向：,（3）主应力单元体：,1、求下列主单元体的方位、主应力的大小、最大剪应力（应力单位取MP）,40,60,50,70,70,50,20,2、求下列主单元体的方位、主应力的大小、最大剪应力（应力单位取MP）,40,20,40,3、求主应力的大小及方向,60,1.414P,1.414P,2P,2P,4、图示中单元体，求,30,30,150,120,80,5、,x,+,y,=120MPa，,=50MPa，求单元体的三个主应力及最大剪应力,x,=80,60,xy,y,6、等腰直角三角形单元体上，二直边上只有剪应力，那么斜边表示的截面上的正应力、剪应力各有多大？,7-4 二向应力状态分析-图解法,一、,应力圆方程,二、,应力圆的画法,三、,应力圆的应用,四、,三向应力状态的应力圆,一、,应力圆方程,R,O,C,半径转过的角度是方向面法线旋转角度的两倍；,半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；,应力圆上某,一点的坐标值,对应着微元某一,方向面,上的正应力和剪应力；,二、,应力圆的画法,1、点面对应,2、转向对应,3、二倍角对应,点面对应,C,E,e,C,D,e,n,E,2,转向对应,二倍角对应,与二倍角对应,x,d,O,C,D,(,s,x,t,xy,),D,(,s,y,t,yx,),建立坐标系,由面找点,确定圆心和半径,A,B,具体作圆步骤,A,B,O,C,D,(,s,x,t,xy,),B,B,D,(,s,y,t,yx,),建立坐标系,由面找点,确定圆心和半径,A,B,A,A,B,B,再将上述过程重复一次,在应用过程中，应当将应力圆作为思考、分析问题的工具，而不是计算工具。,三、,应力圆的应用,信息源,t,xy,s,x,s,y,t,yx,t,s,o,D,A,B,E点的横、纵坐标即位该任意斜截面上的正应力和切应力。,C,1 从应力圆上确定任意斜截面上的应力,n,E,2,D,t,xy,s,x,s,y,t,yx,t,s,o,D,D,A,B,应力圆和横轴交点的横坐标值。,C,b,e,2 从应力圆上确定主应力大小,max,min,s,x,s,y,t,yx,A,B,t,xy,0,E,0,B,s,t,s,o,D,D,C,b,e,s,s,3 从应力圆上确定主平面方位,2,0,主应力排序：,s,1,s,2,s,3,t,s,o,c,2,0,a,d,t,s,o,t,s,o,有几个主应力,？,t,s,o,a,d,C,b,e,s,s,t,s,o,a,d,C,b,e,s,s,a,d,C,b,e,s,s,a,d,C,b,e,s,s,确定下列应力圆的主应力,t,s,o,C,s,s,4 从应力圆上确定面内最大切应力,应力圆上的最高点的纵坐标对应 “ 面内最大切应力” 。,max,与主应力的夹角为45度。,s,x,s,x,t,s,o,245,245,b,e,A,B,D,D,C,b,e,45,45,例1：轴向拉伸的最大正应力和最大切应力,e,b,s,x,s,x,轴向拉伸时,45,方向面上既有正应力又有切应力，但正应力不是最大值，切应力却最大。,轴向拉伸的最大正应力和最大切应力,最大正应力所在的面上切应力一定是零；,o,t,s,245,245,-45,t,s,45,t,b,e,t,t,D,(,0,-,t,),C,D,(,0,t,),e,b,例2：纯剪切状态的主应力,A,B,s,-45,t,45,t,b,e,B,A,t,t,纯剪切状态的主单元体,s,-45,t,45,t,b,e,在纯剪应力状态下，45,方向面上只有正应力没有剪应力，而且正应力为最大值。,例3：一点处的平面应力状态如图所示。已知,试求,（1）,斜面上的应力；,（2）主应力、主平面；,（3）绘出主单元体。,o,t,s,c,d,f,e,主应力单元体：,例4：一点处的平面应力状态如图所示。已知,求（1）主应力；（2）绘出主单元体。,120,o,t,s,a,120,（1）作应力圆,（2）确定主应力,120,o,t,s,a,120,b,半径,因此主应力为：,（3）绘出主单元体。,120,o,t,s,a,120,b,s,1,s,2,讨论：,1、本题可用解析法求解吗？,2、在某些情况下，单元体可以不取立方体，如平面应,力状态问题，零应力面可以取矩形、三角形等，只要,已知和零应力面垂直的任意两个面上的应力，就可以,求出其它任意斜截面上的应力以及主应力。,4、一点处的应力状态有不同的表示方法，而用主应力表示最为重要。,o,t,s,a,3、已知任意两个斜面上的应力，确定主应力,四、,三向应力状态的应力圆,只能画出主单元体的应力圆草图,t,s,由,s,2,、,s,3,可作出应力圆,I,s,3,s,2,I,I,s,1,s,2,s,3,由,s,1,、,s,3,可作出应力圆II,II,s,1,s,3,II,I,s,2,s,3,t,s,O,s,2,s,3,s,1,II,I,t,s,O,s,3,由,s,1,、,s,2,可作出应力圆,III,III,s,2,s,1,III,s,2,s,1,s,3,s,1,II,I,s,3,III,s,2,O,t,s,微元任意方向面上的应力对应着三个应力圆之间某一点的坐标。,o,b,a,t,max,200,300,50,(MPa),1、求：,平面应力状态的主应力,1,、,2,、,3,和最大切应 力,t,max,。,A,B,O,b,200,50,300,50,(MPa),t,max,2 求：,平面应力状态的主应力,1,、,2,、,3,和最大剪应力,t,max,。,a,A,B,O,300,100,(MPa),t,max,3求：,平面应力状态的主应力,1,、,2,、,3,和最大切应力,t,max,。,a,b,A,B,应力的点的概念;,应力的面的概念;,应力状态的概念.,变形体力学,基 础,一、关于应力状态的几点重要结论,结论与讨论,A,A,关于,A,点的应力状态有多种答案，请用平衡的概念分析哪一种是正确的？,二、平衡方法是分析应力状态最重要、最基本的方法,怎样确定,C,点处的主应力,2,s,2,s,A,B,60,o,三、怎样将应力圆作为思考和分析问题的,重要工具，求解复杂的应力状态问题,请分析图示四种应力状态中，哪几种是等价的?,t,0,45,t,0,t,0,t,0,t,0,45,t,0,t,0,四、关于应力状态的不同的表示方法,五、注意区分两种最大切应力,注意区分面内最大切应力;,所有方向面中的最大切应力,一点处的最大切应力,;,最大切应力,t,xy,s,x,o,a,d,c,b,e,2,0,s,1,s,2,max,已知:,三向应力状态如图所示，图中应力的单位为MPa。,例 题,试,求,：,主应力及微元内的最大切应力。, 7-5,三向应力状态解析法,作应力圆草图,所给的应力状态中有一个主应力是已知的；,x,=,20 MPa,，,xy,=,40 MPa,。,微元内的最大切应力,三个主应力,MPa,23,51,3,.,-,=,s,MPa,23,31,2,.,=,s,MPa,60,1,=,s,1、求下列单元体的三个主应力,40,30,30,40,50,25,30,20,50,2、求下列单元体的三个主应力,3、求下列单元体的三个主应力，并作应力圆草图,40,30,30,40,50,a,4、杆件内某点的应力状态如图，求主应力；最大剪应力；画出该点的应力圆草图。,80,40,60,100,5、杆件内某点的应力状态如图，E200Gpa,u=0.25求主应力；最大剪应力； 最大线应变；画出该点的应力圆草图。,60,70,50,1. 基本变形的胡克定律,y,x,1）轴向拉压胡克定律,横向线应变,2）纯剪切胡克定律, 7-8 广义胡克定律,纵向线应变,2、三向应力状态的广义胡克定律,叠加法,3、广义胡克定律的一般形式,各向同性、线弹性材料,；,适用性,y,z,x,4 平面应力状态的广义胡克定律,5、三个弹性常数之间的关系,讨论,1、,即,2、当 时，即为二向应力状态：,3、当 时，即为单向应力状态；,即最大与最小主应变分别发生在最大、最小主应力方向。,一般的二向应力状态的广义胡克定律,请判断下列论述的正确性：,有应力一定有应变,有应力不一定有应变,有应变不一定有应力,有应变一定有应力,正确应用广义胡克定律,45,某一方向的正应变不仅与这一方向的正应力有关。,承受内压的容器，怎样从表面一点处某一方向的正应变推知其所受之内压，或间接测试其壁厚。,例1：,已知一圆轴承受轴向拉伸及扭转的联合作用。为了,测定拉力F和力矩m，可沿轴向及与轴向成45方向测出,线应变。现测得轴向应变 ， 45方向的应变,为 。若轴的直径D=100mm,弹性模量E=200,Gpa,泊松比,=0.3。试求,F和m的值。,F,m,m,F,k,u,u,45,（1）提取应变片处的应力状态,K,（2）应用,广义胡克定律,（3）计算外力偶,m.,3 为测量容器所承受的内压力值，在容器表面用电阻应变片测得环向应变,=350e,-6,。若已知容器平均直径,D,500 mm，壁厚,10 mm，容器材料的,E,210 GPa，,0.25。,试求：,容器所受的内压力。,容器表面各点均承受二向拉伸应力状态。所测得的环向应变不仅与环向应力有关，而且与纵向应力有关。,t,m,1、60毫米90毫米的矩形截面外伸梁，竖放。材料的弹性模量为E200GPa，泊松比为u=0.3。测得A点处,-45,20010,-6,。若已知P,1,80KN，求P,2,？,1m,2m,P,1,P,2,A,60,90,2、圆轴的直径为D10毫米，材料的弹性模量为E100GP，泊松比0.25，载荷P=2KN，外力偶M=PD/10。求圆轴表面上一点与轴线成30度角的线应变。,30,A,P,MPD/10,3、等截面圆杆受力如图，抗弯截面系数为W,Z,=6000mm,3,，材料的弹性模量为E200GP，泊松比0.25，a=0.5m，测得A、B二点的线应变分别为,A,410,4,，,B,3.7510,4,。求外载荷P、M。,P,P,M,P,P,a,a,A,B,45,A,B,4、圆截面直角拐的直径为D10毫米，材料的弹性模量为E200GP，泊松比0.3。测K点与轴线成45度角的线应变为3.910,4,，求力P？,P,31.4cm,31.4cm,K,K,5、等截面圆杆受力如图，直径为D30毫米，材料的弹性模量为E200GP，泊松比0.3，测得A点沿轴向的线应变为,A,510,4,，B点与轴线成45度角的线应变为,B,4.2610,4,。求外载荷M,1,、M,2,。,A,B,M,1,M,2,6、大体积刚块上有一圆孔，孔的直径为D5.001厘米。孔内放一直径为5厘米的圆柱，圆柱上承受P300KN的压力，圆柱材料的弹性模量为E200GP，泊松比0.3。求圆柱内的三个主应力。,P,7、薄壁圆筒的内径为D60毫米，壁厚1.5毫米。承受的内压为6MP，力偶为M1KN。材料的弹性模量为E200GP，泊松比0.3。求A点与轴线成45度角的线应变。,M,45,A,8、直径为D20毫米的实心轴，受力偶M126N的作用。测定A点与轴线成45度角的线应变为,A,510,4,，材料的泊松比0.25。求材料的弹性模量E与剪变模量G。,M,45,A,9、已知矩形截面简支梁的横截面尺寸宽60毫米，高100毫米。梁的跨度为L3米，载荷F作用在梁的中点。图示中K点的两个主应变为,1,510,4,，,2,1.6510,4,。材料的弹性模量为E200GP，泊松比0.3。求主应力,1,、,2,、及力F,F,1m,K,30,b,h,K,10、已知矩形截面杆宽b=40mm，高h=2b。材料的弹性模量为E200GP，泊松比0.3。测定A、B二点沿轴向的线应变分别为,A,10010,6,，,B,30010,6,。求外载荷P、M。,b,h,A,B,P,M,11、等截面圆轴的直径为D40毫米，材料的弹性模量为E200GP，泊松比0.25。测定A点与轴线成45,o,角的线应变分别为,45,-14610,6,，,-45,44610,6,。求外载荷P、M；如果构件的许用应力为120MP，校核强度。,P,M,A,A,11、矩形截面悬臂梁的截面宽50毫米，高100毫米。梁长L1米，P20KN。材料的弹性模量为E200GP，泊松比0.3。求K点与轴线成30度角方向上的线应变。,P,b,h,L/2,K,30,12、矩形截面简支梁跨度为L，在梁的中性层上贴应变片测得与轴线成角的线应变为，材料的弹性模量为E，泊松比，均已知。求载荷F,b,h,K,F,K,0.3L,0.5L,13、圆截面杆的直径为D，材料的弹性模量为E，泊松比，A处的两个主应变,1,、,3,已知。求力P,a,A,M=Pa,a,P,14、圆截面杆的直径为D20毫米，材料的弹性模量为E200GP，泊松比0.3。测的构件表面上一点A的三个方向的线应变分别为：轴线方向,a,32010,6,，与轴线垂直方向,b,9610,5,，与轴线成45度角方向,c,56510,6,，求外载荷P、M,A,M,A,P,a,b,c,15、255的矩形截面钢杆竖放，用应变片测得杆件的上、下表面轴向线应变分别为,a,=110,3,，,b,=0.410,3,，材料的弹性模量为E200GPa，绘制横截面上正应力的分布图求拉力P及偏心距离e。,a,b,P,e,1、广义虎克定律,i,=(,i,-u(,j,+,k,)/E 适用于,。,A：弹性体；,B：线弹性体；,C：各向同性弹性体；,D：各向同性线弹性体；,2、矩形板ABCD，在AD、BC上作用有均匀压力P,1,，在AB、CD上作用有均匀压力P,2,，欲使AD、BC二面的相对距离保持不变，那么P,1,/P,2,=?,A,B,C,D,P,1,P,2,3,3、材料的弹性模量E，泊松比已知，则最大线应变,1,=?,a,b,4、圆板在受力前画二个圆，受均匀载荷的作用，受力后二圆会变成什麽形状(圆、椭圆)？,5、受扭圆轴上贴三个应变片，实测时应变片的读数几乎是零？,1,2,3,6、工字形截面梁E200GP，在力偶M的作用下测定A处纵向线应变=310,-4,那么梁内最大的正应力,。,A：30MP ；B：60 MP；,C：120 MP D：180 MP,A,a,a,a,7、在下列说法中哪一个正确？,A：在有正应力的方向必有线应变；,B：无正应力的方向必无线应变；,C：线应变为零的方向正应力必为零；,D：正应力最大的方向线应变也最大；,8、已知单元体的,1,、,2,、E、,主应变,1,、,2,均已知，那么,3,？,A：-(,1,+,2,) B：-(,1,+,2,) /E,C：-(,1,+,2,) /E D：0,1,2,9、现有两个单元体，比较,x,与,y,：,。,A：,x,、,y,均相等； B：,x,、,y,均不等；,C：,x,相等、,y,不等； D：,x,不等、,y,相等。,x,y,x,y, 体应变,变形前单元体体积：,变形后单元体体积：,c,b,a,单位体积变形：,（体积应变）,利用广义胡克定律：,（体积弹性模量）,（平均正应力）,（体积变形,虎克定律）,讨论：,1、单位体积变形 只与三个主应力之和有关，与主应,力的大小比例无关。,2、因为 ，因此 与取轴方向无关，且三,个相互垂直面上的正应变之和不变。,例如,纯剪切应力状态,：,t,t,t,t,45,3、若 或 ，则 ，即体积不变。但,因此仅当 时，,结论：,纯剪切应力状态，具有体积不变性。说明体积,改变与剪应力,无关；,但形状有改变，即形状,改变与剪应力有,关。,1、微元应变能,d,y,d,x,d,z,7-9 复杂应力状态的,应变能密度,力与力的作用点的位移,U=d,W,=,应变能,2、应变比能,体积改变能密度,不改变形状，但改变体积,形状改变比能(畸变能密度),不改变体积，但改变形状,返回到本章目录,