直线与圆的位置关系--切线长定理

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,直线与圆的位置关系,切线长定理,问题,1,、经过平面上一个已知点，作已知圆的切线会有怎样的情形？,O,50,2、这样的切线能,画出几条？,如下左图，,借助三角板，我们可以画出,PA是O的切线,。,3,、如果,P=50,求,AOB,的度数,130,问题,2,、,1,、经过圆外一点,P,，如何作已知,O,的,切线？,O,。,A,B,P,课外补充,思考,：已画出切线,PA,、,PB,，,A,、,B,为切点，则,OAP= ,连接,OP,，可知,A,、,B,除了在,O,上，还在怎样的圆上,?,90,如何用圆规和直尺作出这两条切线呢？,尺规作图：,过,O,外一点作,O,的切线,O,P,A,B,O,请跟我做,在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做,这点到圆的切线长,O,P,A,B,切线,与,切线长,是一回事吗？,切线长概念,它们有什么区别与联系呢？,切线和切线长是两个不同的概念：,1,、切线是一条与圆相切的直线，,不能度量,；,2,、切线长是,线段,的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点,，,可以度量,。,切线和切线长,O,P,A,B,比一比,O,A,B,P,思考,：,已知,O,切线,PA,、,PB,，,A,、,B,为切点，把圆沿着直线,OP,对折,你能发现什么,?,1,2,折一折,请证明你所发现的结论。,A,P,O,B,PA = PB,OPA=OPB,证明：,PA,，,PB,与,O,相切，点,A,，,B,是切点,OAPA,，,OBPB,即,OAP=OBP=90, OA=OB,，,OP=OP,RtAOPRtBOP(HL),PA = PB OPA=OPB,试用文字语言叙述你所发现的结论,证一证,PA,、,PB,分别切,O,于,A,、,B,PA = PB,OPA=OPB,从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。,几何语言,:,反思,：切线长定理为证明,线段相等,、,角相等,提供新的方法,O,P,A,B,切线长定理,A,P,O,B,若连结两切点,A,、,B,，,AB,交,OP,于点,M.,你又能得出什么新的结论,?,并给出证明,.,OP,垂直平分,AB,证明：,PA,，,PB,是,O,的切线,点,A,，,B,是切点,PA = PB OPA=OPB,PAB,是等腰三角形,，,PM,为,顶角,的平分线,OP,垂直平分,AB,M,试一试,A,P,O,。,B,若延长,PO,交,O,于点,C,，连结,CA,、,CB,，,你又能得出什么新的结论,?,并给出证明,.,CA=CB,证明：,PA,，,PB,是,O,的切线,点,A,，,B,是切点,PA = PB OPA=OPB,PC=PC,PCA PCB,AC=BC,C,。,P,B,A,O,（,3,）连结圆心和圆外一点,（,2,）连结两切点,（,1,）分别连结圆心和切点,反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。,想一想,探究：,PA,、,PB,是,O,的两条切线，,A,、,B,为切点，直线,OP,交于,O,于点,D,、,E,，交,AB,于,C,。,B,A,P,O,C,E,D,（,1,）写出图中所有的垂直关系,OAPA,，,OB PB,，,AB OP,（,3,）写出图中所有的全等三角形,AOP BOP,， ,AOC BOC,， ,ACP BCP,（,4,）写出图中所有的等腰三角形,ABP AOB,（,2,）写出图中与,OAC,相等的角,OAC=OBC=APC=BPC,例,1,、已知：,P,为,O,外一点，,PA,、,PB,为,O,的,切线，,A,、,B,为切点，,BC,是直径。,求证：,ACOP,P,A,C,B,D,O,例题讲解,练习,1.,（口答）如图所示,PA,、,PB,分别切,圆,O,于,A,、,B,，并与圆,O,的切线分别相交于,C,、,D,，已知,PA=7cm,，,(1),求,PCD,的周长,(2),如果,P=46,求,COD,的度数,C,O,P,B,D,A,E,切线长定理,从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两 条切线的夹角,。,A,P,O,。,B,E,C,D,PA,、,PB,分别切,O,于,A,、,B,PA = PB ,OPA=OPB,OP,垂直平分,AB,切线长定理为证明,线段相等，角相等，弧相等，垂直关系,提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。,我们学过的切线，常有 五个 性质：,1,、切线和圆只有一个公共点；,2,、切线和圆心的距离等于圆的半径；,3,、切线垂直于过切点的半径；,4,、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；,5,、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。,6,、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。,六个,思考：如何在三角形的铁皮上作一个面积最大的圆呢？,O,E,B,D,C,A,F,阅读课本,97,页，思考：,1,、什么是三角形的内切圆？,2,、什么是三角形的内心？,明确,1.,一个三角形有且只有一个内切圆；,2.,一个圆有无数个外切三角形；,3.,三角形的内心就是三角形三条内角平,分线的交点；,4.,三角形的内心到三角形三边的距离相等。,o,外切圆圆心：,三角形三边垂直平分线的交点,。,外切圆的半径：,交点到三角形任意一个定点的距离。,三角形外接圆,三角形内切圆,o,内切圆圆心：,三角形三个内角平分线的交点。,内切圆的半径：,交点到三角形任意一边的垂直距离。,A,A,B,B,C,C,例,3,、如图，,ABC,中,C =90 ,它的,内切圆,O,分别与边,AB,、,BC,、,CA,相切,于点,D,、,E,、,F,，且,BD=12,，,AD=8,，,求,O,的半径,r.,O,E,B,D,C,A,F,例,1,ABC,的内切圆,O,与,BC,、,CA,、,AB,分别相切于,点,D,、,E,、,F,，且,AB=9cm,，,BC=14cm,，,CA=13cm,，,求,AF,、,BD,、,CE,的长,.,解,:,设,AF=x(cm), BD=y(cm),CE,z(cm,), AF=4(cm), BD=5(cm), CE=9(cm).,O,与,ABC,的三边都相切,AF,AE,BD,BF,CE,CD,则有,x,y,9,y,z,14,x,z,13,解得,x,4,y,5,z,9,例,4,、如图，四边形,ABCD,的边,AB,、,BC,、,CD,、,DA,和圆,O,分别相切于点,L,、,M,、,N,、,P,，,求证：,AD+BC=AB+CD,D,L,M,N,A,B,C,O,P,证明：由切线长定理得,AL=AP,，,LB=MB,NC=MC,，,DN=DP,AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP,即,AB+CD=AD+BC,补充：,圆的外切四边形的两组对边的和相等,练习,2.,如图，,AB,是,O,的直径，,AD,、,DC,、,BC,是切线，点,A,、,E,、,B,为切点，,(1),求证：,OD,OC,(2),若,BC=9,，,AD=4,，求,OB,的长,.,O,A,B,C,D,E, O,A,B,C,D,E,F,O,A,B,C,D,E,选做题：如图，,AB,是,O,的直径，,AD,、,DC,、,BC,是切线，点,A,、,E,、,B,为切点，若,BC=9,，,AD=4,，求,OE,的长,.,衷心感谢您的参与！,再见！,