微积分基本运算

微积分基本运算,（,Matlab,）,实验,3,边际、弹性、利润问题,求经济学上的边际、弹性、利润等问题实际上就是求函数的导数、极值、积分以及级数的部分和、常微分方程的数值解等问题。,二、实验目的,学会用,Matlab,软件求高等数学中的计算问题以及微分方程的数值解，并解决一些函数的作图问题。,一、问题,三、预备知识,1,、高等数学中函数的图形、函数的极限、导数、极值、不定积分、定积分、广义积分、无穷级数以及常微分方程的数值解等有关知识。,（,1,）常用的创建符号命令：,sym var,；,%,创建单个符号变量,syms var1 var2 ,；,%,创建多个符号变量,f=sym(,符号表达式,),；,%,创建符号表达式，赋予,f, equ=sym(equation,),；,%,创建符号方程,limit(,表达式,var,a);,%,求当,vara,表达式极限,2,、本实验中所用,Matlab,命令提示：,diff(f,var,n),；,%,求函数,f,对,var,的,n,阶导数,Y=diff(X),；,%,计算,X,相邻两元素的差分,int(f,var,); %,求函数,f,的不定积分,int(f,var,积分下限，积分上限,);,%,求函数,f,的定积分或广义积分,dsolve,；,%,求解常微分方程,(,组,),命令,symsum(fn,n1,n2),；,%fn,是求和的通项，记为,taylor(f,n,x,0,);%f,在,x,0,的泰勒展开式,n,是项数,(2),求函数的极值点,:,Xmin,fmin(,f,x1, x2),；,(3),绘图命令：绘制二维图形的调用格式：,plot,（,X,轴变量，,Y,轴变量，选项）,绘制三维图形的调用格式：,plot3d,（,X,轴变,量，,Y,轴变量，,Z,轴变量，选项）。,(4),控制循环语句：,while(,条件式,),循环体语句组,end,区间范围,四、实验内容与要求,1.,设一个整值寿命为,K,的投保人所付年缴保费,现值之和在他得到赔付时为：,（其中：,每年所缴保费为,P=1,单位。）,求：当,i=0.05,，,K=80,时，,y,1,=,？,称为贴现因子,i,为年利率,2.,求极限,3.,设成本函数,C(x)=1000+7x+50,，求边际成本函数,4.,已知边际需求为,5.,已知边际收益函数,为,6.,求微分方程满足所给初始条件的,特解，作出解曲线的图形,8.,将,f=e,x,在,x,0,=0,点作,5,阶泰勒展开，,x,0,=1,点作,4,阶泰勒展开。,，求需求量,Q,与价格,P,的函数关系式,，求生产,x,单位时总收益,R(x),7.,同第一题，当,k=80,和等于无穷时的值。,五、操作提示,(1),计算过程：,sum=sum=1+(1/1.05)+(1/1.05)2+(1/1.05)80;,disp(sum),sum=0;i=0;,while(i=80),sum=sum+(1/1.05)i;,i=i+1;,end,sum,(1),计算结果：,sum=1+(1/1.05)+(1/1.05)2+(1/1.05)80,sum =20.5965,（单位）,(2),计算过程：,syms x a,y2=limit(3*x-5)/(x3*sin(1/x2),x,inf),y3=limit(tan(x)-tan(a)/(x-a),x,a),(2),计算结果：,y2 =3,y3 =1+tan(a)2,(3),计算过程：,sym x,c=sym(1000+7*x+50*sqrt(x),diff(c,x),(3),计算结果：,ans =x,c =1000+7*x+50*sqrt(x),ans =7+25/x(1/2),（为边际成本函数）,(4),计算过程：,syms p,int(-1000*log(3)*(1/3)p,p),(4),计算结果：,ans = 6095/549755813888/log(3)*(1/3)p,(5),计算过程：,sym x,r=int(200-x/50,x,0,x),(5),计算结果：,ans =x,r =200*x-1/100*x2,（为生产,x,单位时总收益,R(x),）,(6),计算过程：,y=dsolve(Dy+y=0,y(0)=10,x),x=0:0.2:10; y =10*exp(-x);,plot(x,y,+r),(6),计算结果：,y =,10*exp(-x),(7),计算过程：,syms n,fn=(1/1.05)n;,s80=symsum(fn,n,0,80);,sinf=symsum(fn,n,0,inf);,s80,sinf,(7),计算结果：,s80 =,123446973969937819248546127921599161477881149285816447754621562545601,（约等于,20.596485,，效果与第一题接近）,sinf = 21,(8),计算过程：,syms x,f=exp(x);,p5=taylor(f,5,0);,p4=taylor(f,4,1);,p5,p4,（,8,）计算结果：,p5 =,1+x+1/2*x2+1/6*x3+1/24*x4,p4 =,exp(1)+exp(1)*(x-1)+1/2*exp(1)*(x-1)2+1/ 6*exp(1)*(x-1)3,六、上机练习,求导数：,2.,求积分：,3.,求函数的极值：,f(x)=,4.,求,的二阶特解。,x-5,5,并作图,上机练习参考答案,（,1,）,f =exp(-2*x)*cos(3*x(1/2),ans =-2*exp(-2*x)*cos(3*x(1/2)-3/2*exp(-2*x)*,sin(3*x(1/2)/x(1/2),g =g(x,y),f =f(x,y,g(x,y),ans =D1,1(f)(x,y,g(x,y)+D1,3(f)(x,y,g(x,y)*,diff(g(x,y),x)+(D1,3(f)(x,y,g(x,y)+,D3,3(f)(x,y,g(x,y)*diff(g(x,y),x)*,diff(g(x,y),x)+D3(f)(x,y,g(x,y)*,diff(g(x,y),$(x,2),（,1,）,syms x y,f=sym(exp(-2*x)*cos(3*x(1/2),diff(f,x),g=sym(g(x,y) %,建立抽象函数,f=sym(f(x,y,g(x,y) %,建立复合抽象函数,diff(f,x,2),上机练习参考答案,（,2,）,y4 =-cos(x*y+z),y5 =1/2*atan(2(1/2)*2(1/2)-1/2*atan(1/2*2(1/2)*,2(1/2),y6 =72913/481984*2(1/2)*pi(1/2),(,注,: 72913/481984*2(1/2)*,pi(1/2)0.9999999),或：,ans=pi*(1/2),（,2,）,syms x y z,y4=int(sin(x*y+z),z),y5=int(1/(3+2*x+x2),x,0,1),y6=int(1./(2*pi)(1./2)*exp(-x.2./2),-inf,inf),或：,syms x; f=exp(-x2); int(f,x,-inf,inf),上机练习参考答案,（,3,）,建立,a7.m,函数文件：,function y=a7(x),y=2.*x.3-6.*x.2-18.*x+7;,运行：,xmin=fminbnd(a7,-5,5),x1=xmin;,miny7=a7(x1),a71=-2*x3+6*x2+18*x-7;,xmax=fminbnd(a71,-5,5),x2=xmax;,maxy7=a7(x2),x=-5:0.1:5;,y=2*x.3-6*x.2-18*x+7;,plot(x,y),(File,New M-File,键入函数文件 保存,;,然后在工作区运行命令,),（,3,）,xmin = -5,miny7 = -303,xmax = 5,maxy7 =17,上机练习参考答案,（,4,）,y =,cos(a*t),上机练习参考答案,（,4,）,y=dsolve(D2y=-a2*y,y(0)=1,Dy(pi/a)=0),