《函数的极大值与极小值》

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,函数的极值,一,、,知识回顾,：,一般地,设函数,y=f(x),在某个区间内可导，则函数在该区间上,如果,f,(x)0,如果,f,(x,)0,则,f(x,),为,增,函数,;,则,f(x,),为,减,函数,.,f,(x)0,对,x,（,a,b,）恒成立,.,若,f,(x,),在,(,a,b,),上递,增,若函数,y=,f,(x,),在区间,(,a,b,),内可导,则,f,(x,),0,是,f,(x,),在,(,a,b,),上,递,增的,_,条件,.,充分不必要,若,f,(x,),在（,a,b,）上递,减,f,(x)0,对,x,（,a,b,）恒成立,.,a,函数的极大值与极小值,一、函数的极值定义,设函数,f(x),在点,x,0,附近有定义，,如果对,X,0,附近的所有点，都有,f(x)f(x,0,),则,f(x,0,),是函数,f(x),的一个极小值，记作,y,极小值,= f(x,0,),；,函数的,极大值,与,极小值,统称,为,极值,.,使函数取得极值的点,x,0,称为,极值点,函数的,极值,与函数的,导数,有怎样的关系呢？,a,左正右,负极大,左负右,正极小,左右同号无极值,(2),由负变正,那么 是极小值点,;,(3),不变号,那么 不是极值点。,(1),由正变负,那么 是极大值点,;,2.,极值的判定,练习,：,（天津卷）,函数,f(x,),的定义域为开区间,(,a,b,),，,导函数,f(x,),在,(,a,b,),内的图象如图所示，,则函数,f(x,),在开区间,(,a,b,),内极值点有（,）,极小值点有（ ）,A,1,个,B,2,个,C,3,个,D,4,个,A,C,x,1,x,2,x,3,注：若,f,（,x,）可导，则,f(x,0,)=0,是,x,0,为极值点的,必要不充分条件,（三）、例题分析,例：,求,f,（,x,）,x,x,的极值,.,解：,求函数,f(x),的极值的步骤,:,(1),求定义域和导数,f,(x,);,(2),求方程,f,(x)=0,的根；,(3),列表,:,判断,f (x),在,上述根的左右两侧的符号,确定极大值与极小值,.,口诀：,左负右正为极小，左正右负为极大,。,(4),结论,解：,当,x,变化时，,y,，,y,的变化情况如下表,例：,求 的极值,令,y=0,，,解得,x,1,=,2,，,x,2,=2,x,(-,-2),-2,(-2,2),2,(2,+),+,0,0,+,极大值,极小值,当,x=,2,时，,y,有极大值且,y,极大值,=,当,x=2,时，,y,有极小值且,y,极小值,=,练习,.,求函数 的极值,解,:,令,解得：,x,1,=0,x,2,=2,列表如下：,f(x,),x,(-,0),0,(0,2),2,(2,+),0,+,0,极小值,f(0),极大值,f(2),所以，函数,f(x,),的极小值为,f(0)=0,函数,f(x,),的极大值为,f(2)=,例,3.,函数,y=alnx+bx,2,+x,在,x=1,和,x=2,处有极值，,(1),求,a,、,b,的值,(2),求出极值并指出是极大值还是极小值,解：,由题意,在,x=1,和,x=2,处,导数为,0,a=2.,练习、,函数 在,处具有极值，求,a,的值,分析：,f(x),在,处有极值，根据一点是极值点的必要条件可知， 可求出,a,的值,.,解：, ，,已知函数 在,x=,3,时取得极值,则实数,a=_.,5,变：已知函数,在,x=1,时取得极值,则实数,a=_.,错解,：由,有,又,f(,x,),在,x,=1,时取极值，,所以,得,a,=1,或,a,=,-,1/2,正解：,(,接上,),当,a,=1,时，,f(x,),在,R,上单调递增，不合题意；,由 得 或 ，,列表如下：,极大值,极小值,+,0,0,+,1,当,a,=-1/2,时，,在,x=1,时取极小值，符合题意,综上,a=,-,1/2,四、课堂练习,1,、,下列说法正确的是,( ),A.,函数在闭区间上的极大值一定比,极小值大,B.,函数在闭区间上的最大值一定是,极大值,C.,对于,f(x)=x,3,+px,2,+2x+1,，若,|p|,，,则,f(x),无极值,D.,函数,f(x),在区间,(a,，,b),上一定存在最值,C,2:,下列函数中，,x=0,是极值点的函数,是,( ),A.y,=,x,3,B.,y,=x,2,C.y,=x,2,x,D.y,=1/x,B,3.,求函数,y=x,3,-x,2,-5x+1,的极值,.,4.,求函数,y=x,2,e,x,的极值,.,求函数,f(x),的极值的步骤,:,(1),求定义域和导数,f,(x,);,(2),求方程,f,(x)=0,的根；,(3),列表,:,判断,f (x),在,上述根的左右两侧的符号,确定极大值与极小值,.,口诀：,左负右正为极小，左正右负为极大,。,(4),结论,五、课堂小结,例,4,求函数,的极值,.,解,（,1,）求定义域,：,（,2,）,求导,：,令,得驻点,当,时，导数不存在,.,（,3,）列表讨论：,x,0,（,0,，,1,）,1,极小值,+,不存在,0,+,极大值,0,极大值与极小值,