高考数学研创新——以函数为背景的创新题型课件

专题,3,函数与导数,第,11,练研创新,以函数为,背,景,的创新题型,在近几年的高考命题中，以函数为背景的创新题型时有出现,.,主要以新定义、新运算或新规定等形式给出问题，通过判断、运算解决新问题,.,这种题难度一般为中档，多出现在填空题中，考查频率虽然不是很高，但失分率较高,.,通过研究命题特点及应对策略，可以做到有备无患,.,题型,分析,高考,展望,体验,高考,高考必会题型,高考题型精练,栏目索引,体验高考,1,2,3,对于任意不相等的实数,x,1,，,x,2,，都有,m,0,；,对于任意的,a,及任意不相等的实数,x,1,，,x,2,，都有,n,0,；,对于任意的,a,，存在不相等的实数,x,1,，,x,2,，使得,m,n,；,对于任意的,a,，存在不相等的实数,x,1,，,x,2,，使得,m,n,.,其中的真命题有,_.(,写出所有真命题的序号,),解析,1,2,3,解析,设,A,(,x,1,，,f,(,x,1,),，,B,(,x,2,，,f,(,x,2,),，,C,(,x,1,，,g,(,x,1,),，,D,(,x,2,，,g,(,x,2,).,对于,，从,y,2,x,的图象可看出，,m,k,AB,0,恒成立，故,正确；,对于,，直线,CD,的斜率可为负，即存在,n,0,的情形，故,不正确；,对于,，由,m,n,得,f,(,x,1,),f,(,x,2,),g,(,x,1,),g,(,x,2,),，,即,f,(,x,1,),g,(,x,1,),f,(,x,2,),g,(,x,2,),，,令,h,(,x,),f,(,x,),g,(,x,),2,x,x,2,ax,，,则,h,(,x,),2,x,ln 2,2,x,a,.,由,h,(,x,),0,，得,2,x,ln 2,2,x,a,，,(*),结合图象知,，,当,a,很小时，方程,(*),无解,，,函数,h,(,x,),不一定有极值点，就不一定存在,x,1,，,x,2,使,f,(,x,1,),g,(,x,1,),f,(,x,2,),g,(,x,2,),，不一定存在,x,1,，,x,2,使得,m,n,，故,不正确,；,解析,1,2,3,对于,，由,m,n,，得,f,(,x,1,),f,(,x,2,),g,(,x,2,),g,(,x,1,),，,即,f,(,x,1,),g,(,x,1,),f,(,x,2,),g,(,x,2,),，,令,F,(,x,),f,(,x,),g,(,x,),2,x,x,2,ax,，则,F,(,x,),2,x,ln 2,2,x,a,.,由,F,(,x,),0,，得,2,x,ln 2,2,x,a,，,结合如图所示图象可知，该方程有解,，,即,F,(,x,),必有极值点，,存在,x,1,，,x,2,，使,F,(,x,1,),F,(,x,2,),，使,m,n,，,故,正确,.,故,正确,.,1,2,3,2.(2015,福建,),一个二元码是由,0,和,1,组成的数字串,x,1,x,2,x,n,(,n,N,*,),，其中,x,k,(,k,1,2,，,，,n,),称为第,k,位码元,.,二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误,(,即码元由,0,变为,1,，或者由,1,变为,0).,已知,某种二元码,x,1,x,2,x,7,的码元满足如下校验方程组：,其中运算,定义为,0,0,0,0,1,1,1,0,1,1,1,0.,现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第,k,位发生码元错误后变成了,1101101,，那么利用上述校验方程组可判定,k,等于,_.,解析,答案,5,1,2,3,解析,(1),x,4,x,5,x,6,x,7,1,1,0,1,1,，,(,2),x,2,x,3,x,6,x,7,1,0,0,1,0,；,(,3),x,1,x,3,x,5,x,7,1,0,1,1,1,.,由,(1)(3),知,x,5,，,x,7,有一个错误，,(2),中没有错误，,x,5,错误，故,k,等于,5.,1,2,3,若点,A,的,“,伴随点,”,是点,A,，则点,A,的,“,伴随点,”,是点,A,；,单位圆的,“,伴随曲线,”,是它自身；,若曲线,C,关于,x,轴对称，则其,“,伴随曲线,”,C,关于,y,轴对称；,一条直线的,“,伴随曲线,”,是一条直线,.,其中的真命题是,_.(,写出所有真命题的序号,),解析,返回,1,2,3,同理可得纵坐标为,y,，故,A,(,x,，,y,),，,错误；,解析,设单位圆上的点,P,的坐标为,(cos,，,sin,),，,则,P,的,“,伴随点,”,的坐标为,P,(sin,，,cos,),，,1,2,3,则有,sin,2,(,cos,),2,1,，,所以,P,也在单位圆上，即单位圆的,“,伴随曲线,”,是它自身，,正确；,解析,1,2,3,反例：例如,y,1,这条直线，则,A,(0,1),，,B,(1,1),，,C,(2,1),，,设点,P,(,x,，,y,),在直线,l,：,Ax,By,C,0,上，,P,点的,“,伴随点,”,为,P,(,x,0,，,y,0,),，,解析,1,2,3,所以一条直线的,“,伴随曲线,”,不一定是一条直线，,错误,.,综上，真命题是,.,返回,高考,必会题型,题型一与新定义有关的创新题型,解析,答案,点评,点评,点评,解答这类题目的关键在于解读新定义，利用定义的规定去判断和求解是这类题目的主要解法,.,变式训练,1,若函数,y,f,(,x,),在定义域内给定区间,a,，,b,上存在,x,0,(,a,x,0,b,),，满足,f,(,x,0,),，,则称函数,y,f,(,x,),是,a,，,b,上的,“,平均值,函数,”,，,x,0,是它的一个均值点,.,例如,y,|,x,|,是,2,，,2,上的,“,平均值函数,”,，,0,就是它的均值点,.,若函数,f,(,x,),x,2,mx,1,是,1,1,上的,“,平均值函数,”,，则实数,m,的取值范围是,_.,解析,答案,(0,2),解析,因为函数,f,(,x,),x,2,mx,1,是,1,1,上的,“,平均值函数,”,，,所以,关于,x,的方程,x,2,mx,1,在,区间,(,1,1),内有实数根,，,即,x,2,mx,1,m,在区间,(,1,1),内有实数根,，,即,x,2,mx,m,1,0,，解得,x,m,1,或,x,1,.,又,1,不属于,(,1,1),，所以,x,m,1,必为均值点,，,即,1,m,1,1,，即,0,m,2,，,所以,实数,m,的取值范围是,(0,2).,题型二综合型函数创新题,例,2,以,A,表示值域为,R,的函数组成的集合，,B,表示具有如下性质的函数,(,x,),组成的集合：对于函数,(,x,),，存在一个正数,M,，使得函数,(,x,),的值域包含于区间,M,，,M,.,例如，当,1,(,x,),x,3,，,2,(,x,),sin,x,时，,1,(,x,),A,，,2,(,x,),B,.,现有如下命题：,设函数,f,(,x,),的定义域为,D,，则,“,f,(,x,),A,”,的充要条件是,“,b,R,，,a,D,，,f,(,a,),b,”,；,函数,f,(,x,),B,的充要条件是,f,(,x,),有最大值和最小值；,若函数,f,(,x,),，,g,(,x,),的定义域相同，且,f,(,x,),A,，,g,(,x,),B,，则,f,(,x,),g,(,x,),B,；,其中的真命题是,_.(,写出所有真命题的序号,),点评,解析,解析,因为,f,(,x,),A,，所以函数,f,(,x,),的值域是,R,，,所以,满足,b,R,，,a,D,，,f,(,a,),b,，,同时,若,b,R,，,a,D,，,f,(,a,),b,，,则,说明函数,f,(,x,),的值域是,R,，则,f,(,x,),A,，所以,正确；,取,M,1,，则,f,(,x,),1,1,，,但是,f,(,x,),没有最大值，所以,错误；,因为,f,(,x,),A,，,g,(,x,),B,且它们的定义域相同,(,设为,m,，,n,),，,所以,存在区间,a,，,b,m,，,n,，,点评,解析,点评,使得,f,(,x,),在区间,a,，,b,上的值域与,g,(,x,),的值域相同,，,所以,存在,x,0,a,，,b,，使得,f,(,x,0,),的值接近无穷,，,所以,f,(,x,),g,(,x,),B,，所以,正确；,因为当,x,2,时，函数,y,ln(,x,2),的值域是,R,，,所以,函数,f,(,x,),若有最大值，则,a,0,，,此类题目包含了与函数有关的较多的概念、性质及对基本问题的处理方法,.,解答这类题目，一是要细心，读题看清要求；二是要熟练掌握函数的基本性质及其判断应用的方法，掌握基本函数的图象与性质等,.,点评,变式训练,2,如果,y,f,(,x,),的定义域为,R,，对于定义域内的任意,x,，存在实数,a,使得,f,(,x,a,),f,(,x,),成立，则称此函数具有,“,P,(,a,),性质,”.,给出下列命题：,函数,y,sin,x,具有,“,P,(,a,),性质,”,；,若奇函数,y,f,(,x,),具有,“,P,(2),性质,”,，且,f,(1),1,，则,f,(2 015),1,；,若函数,y,f,(,x,),具有,“,P,(4),性质,”,，图象关于点,(1,0),成中心对称，且在,(,1,0),上单调递减，则,y,f,(,x,),在,(,2,，,1),上单调递减，在,(1,2),上单调递增；,若不恒为零的函数,y,f,(,x,),同时具有,“,P,(0),性质,”,和,“,P,(3),性质,”,，则函数,y,f,(,x,),是周期函数,.,其中正确的是,_.(,写出所有正确命题的编号,),解析,返回,解析,因为,sin (,x,),sin,x,sin (,x,),，,所以函数,y,sin,x,具有,“,P,(,a,),性质,”,，,所以,正确；,因为奇函数,y,f,(,x,),具有,“,P,(2),性质,”,，,所以,f,(,x,2),f,(,x,),f,(,x,),，,所以,f,(,x,4),f,(,x,),，周期为,4,，,因为,f,(1),1,，所以,f,(2 015),f,(3),f,(1),1.,所以,不正确；,因为函数,y,f,(,x,),具有,“,P,(4),性质,”,，,所以,f,(,x,4),f,(,x,),，,解析,所以,f,(,x,),的图象关于直线,x,2,对称,，即,f,(2,x,),f,(2,x,).,因为图象关于点,(1,0),成中心对称，,所以,f,(2,x,),f,(,x,),，即,f,(2,x,),f,(,x,),，,所以得出,f,(,x,),f,(,x,),，,f,(,x,),为偶函数,.,因为,f,(,x,),的图象关于点,(1,0),成中心对称，且在,(,1,0),上单调递减，,所以,f,(,x,),的图象也关于点,(,1,0),成中心对称，且在,(,2,，,1),上单调递减，,根据偶函数的对称性得出,f,(,x,),在,(1,2),上单调递增，故,正确；,因为具有,“,P,(0),性质,”,和,“,P,(3),性质,”,，,所以,f,(,x,),f,(,x,),，,f,(,x,3),f,(,x,),f,(,x,),，,所以,f,(,x,),为偶函数，且周期为,3,，故,正确,.,返回,高考,题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解析答案,1.,若集合,A,1,2,3,，,k,，,B,4,7,，,a,4,，,a,2,3,a,，其中,a,N,*,，,k,N,*,，,f,：,x,y,3,x,1,，,x,A,，,y,B,是从定义域,A,到值域,B,的一个函数，则,a,k,_.,解析,由对应法则知,1,4,2,7,3,10,，,k,3,k,1,，,又,a,N,*,，,a,4,10,，,a,2,3,a,10,，,解,得,a,2(,舍去,a,5),，,所以,a,4,16,，于是,3,k,1,16,，,k,5.,a,k,7.,7,13,14,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,解析,因为函数,f,(,x,),ln(e,x,t,),为,“,倍缩函数,”,，所以存在,a,，,b,D,，,因为函数,f,(,x,),ln(e,x,t,),为增函数，,所以,a,，,b,是方程,的,两个根，,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,令,则,k,2,k,t,0,，,即方程,k,2,k,t,0,有两个不等的正根,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,解析,答案,8 062,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,两式相加得,2,S,4,4 031,，所以,S,8 062.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,f,(,x,),在,1,3,上的图象是连续不断的；,若,f,(,x,),在,x,2,处取得最大值,1,，则,f,(,x,),1,，,x,1,3,；,其中真命题的序号是,_.,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,但,f,(,x,),在,1,3,上的图象不连续，故,不正确；,令,f,(,x,),x,，则,f,(,x,),在,1,3,上具有性质,P,，,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,对于,，假设存在,x,0,1,3,，使得,f,(,x,0,),1,，,因为,f,(,x,),max,f,(2),1,，,x,1,3,，所以,f,(,x,0,)1.,又当,1,x,0,3,时，有,1,4,x,0,3,，,由,f,(,x,),在,1,3,上具有性质,P,，,由于,f,(,x,0,)1,，,f,(4,x,0,),1,，与上式矛盾,.,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,即对,x,1,3,，有,f,(,x,),1,，故,正确,.,综上，真命题的序号是,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,5.,已知函数,f,(,x,),1,|2,x,1|,，,x,0,1.,定义：,f,1,(,x,),f,(,x,),，,f,2,(,x,),f,f,1,(,x,),，,，,f,n,(,x,),f,f,n,1,(,x,),，,n,2,3,4,，,，满足,f,n,(,x,),x,的点,x,0,1,称为,f,(,x,),的,n,阶不动点,.,则,f,(,x,),的,n,阶不动点的个数是,_.,解析,答案,2,n,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,f,1,(,x,),的,1,阶不动点的个数为,2.,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,f,2,(,x,),的,2,阶不动点的个数为,2,2,，,以此类推，,f,(,x,),的,n,阶不动点的个数是,2,n,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,6.,设,x,表示不大于,x,的最大整数，则对任意实数,x,，,y,有下列四种说法：,x,x,；,2,x,2,x,；,x,y,x,y,；,x,y,x,y,.,其中正确的是,_.,解析,特殊值法,.,令,x,1.5,，,1.5,2,，,1.5,1,，故,错,；,2,1.5,3,2,1.5,2,，故,错,；,令,x,1.5,，,y,0.5,，,x,y,2,，,x,y,1,0,1,，故,错,.,故,正确的是,.,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,解析,由已知,x,1,f,(,x,1,),x,2,f,(,x,2,),x,1,f,(,x,2,),x,2,f,(,x,1,),得,(,x,1,x,2,),f,(,x,1,),f,(,x,2,),0,，,所以,函数,f,(,x,),在,R,上是增函数,.,对于,，,y,x,2,在,(,，,0),上为减函数，在,(0,，,),上为增函数,，,其,不是,“,H,函数,”,；,对于,，,y,e,x,1,在,R,上为增函数，所以其为,“,H,函数,”,；,对于,，由于,y,2,cos,x,0,恒成立,，,所以,y,2,x,sin,x,是增函数，所以其为,“,H,函数,”,；,对于,，由于其为偶函数，所以其不可能在,R,上是增函数,，,所以,不是,“,H,函数,”.,综,上知，是,“,H,函数,”,的序号为,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,作出函数,f,(,x,),的图象，如图所示,.,f,(,x,),m,(,m,R,),恰有三个互不相等的实数根,x,1,，,x,2,，,x,3,.,不妨设,x,1,x,2,0,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,解析,答案,(1,2),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,即,3,a,3,b,4,a,4,，又,0,b,a,1,，所以,3,a,3,b,a,1,，得,1,a,2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,解析答案,10.,设,f,(,x,),是定义在,(0,，,),上的函数，且,f,(,x,),0,，对任意,a,0,，,b,0,，若经过点,(,a,，,f,(,a,),，,(,b,，,f,(,b,),的直线与,x,轴的交点为,(,c,0),，则称,c,为,a,，,b,关于函数,f,(,x,),的平均数，记为,M,f,(,a,，,b,).,例如，当,f,(,x,),1(,x,0),时，可得,M,f,(,a,，,b,),c,，,即,M,f,(,a,，,b,),为,a,，,b,的算术平均数,.,(1),当,f,(,x,),_(,x,0),时，,M,f,(,a,，,b,),为,a,，,b,的几何平均数；,解析,设,A,(,a,，,f,(,a,),，,B,(,b,，,f,(,b,),，,C,(,c,0),，则三点共线,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,故可以选择,f,(,x,),x,(,x,0).,解析答案,x,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,解析,据已知定义，所谓的,“,稳定区间,”,即函数在区间,a,，,b,内的定义域与值域相等,.,问题可转化为已知函数,y,f,(,x,),的图象与直线,y,x,是否相交，若相交则两交点所在区间即为函数的,“,稳定区间,”.,数,形结合依次判断，,均符合条件，而,不符合条件,.,综上可知，,均为存在,“,稳定区间,”,的函数,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,因为,x,(0,1,，所以,ln,x,0,，即,F,(,x,),0,在,(0,1,上恒成立，,f,(,x,),在,(0,1,上不是,“,非完美增函数,”.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,解析答案,(2),若,g,(,x,),在,1,，,),上是,“,非完美增函数,”,，求实数,a,的取值范围,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,解析答案,所以,h,(,x,),在,1,，,),上单调递减，,h,(,x,),max,h,(1),0,，所以,a,0.,若,G,(,x,),在,1,，,),上单调递减,，,即,4,ax,ax,ln,x,0,在,1,，,),上恒成立,.,令,t,(,x,),4,ax,ax,ln,x,，,x,1,，,),，,因为,t,(,x,),a,ln,x,，由,知,a,0,，所以,t,(,x,),0,恒成立,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,所以,t,(,x,),4,ax,ax,ln,x,在,1,，,),上单调递减,，,则,t,(,x,),max,t,(1),a,4,.,要,使,t,(,x,),4,ax,ax,ln,x,0,在,1,，,),上恒成立，,综合,知，实数,a,的取值范围为,0,4.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,解析答案,(1),判断,y,f,(,x,),的图象是否关于点,(,a,，,1),成中心对称；,由定义可知,y,f,(,x,),的图象关于点,(,a,，,1),成中心对称,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,解析答案,所以,f,(,x,),在,(,，,a,),上是增函数,.,可知,f,(,x,),在,a,2,，,a,1,上是增函数，,当,x,a,2,，,a,1,时，,f,(,x,),f,(,a,2),，,f,(,a,1),，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,解析答案,(3),对于给定的,x,i,A,，设计构造过程：,x,2,f,(,x,1,),，,x,3,f,(,x,2,),，,，,x,n,1,f,(,x,n,).,如果,x,i,A,(,i,2,3,4,，,),，构造过程将继续下去；如果,x,i,A,，构造过程将停止,.,若对任意,x,i,A,，构造过程可以无限进行下去，求,a,的值,.,解,因为构造过程可以无限进行下去，,即方程,(,a,1),x,a,2,a,1,无解或有唯一解,x,a,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,解析答案,14.,已知函数,f,(,x,),ax,ln,x,，,g,(,x,),e,x,.,(1),当,a,0,时，求,f,(,x,),的单调区间；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,解,f,(,x,),的定义域是,(0,，,),，,当,a,0,时，,f,(,x,),0,，,f,(,x,),在,(0,，,),上单调递增；,综上，当,a,0,时，,f,(,x,),在,(0,，,),上单调递增；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,故,h,(,x,),在,(0,，,),上单调递减,.,h,(,x,),h,(0),0,，故,m,0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,解析答案,(3),定义：对于函数,y,f,(,x,),和,y,g,(,x,),在其公共定义域内的任意实数,x,0,，称,|,f,(,x,0,),g,(,x,0,)|,的值为两函数在,x,0,处的差值,.,证明：当,a,0,时，函数,y,f,(,x,),和,y,g,(,x,),在其公共定义域内的所有差值都大于,2.,返回,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,解析答案,证明,当,a,0,时，,f,(,x,),ln,x,，,f,(,x,),与,g,(,x,),的公共定义域为,(0,，,),，,|,f,(,x,),g,(,x,)|,|ln,x,e,x,|,e,x,ln,x,e,x,x,(ln,x,x,).,设,m,(,x,),e,x,x,0,，则,m,(,x,),e,x,1,0,，,x,(0,，,),，,m,(,x,),在,(0,，,),上单调递增，,m,(,x,),m,(0),1.,当,x,(0,1),时，,n,(,x,),0,，,n,(,x,),单调递增，,当,x,(1,，,),时，,n,(,x,),0,，,n,(,x,),单调递减,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,所以,x,1,为,n,(,x,),的极大值点，即,n,(,x,),n,(1),1,，,故,|,f,(,x,),g,(,x,)|,m,(,x,),n,(,x,),1,(,1),2.,即公共定义域内任一点差值都大于,2.,返回,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,