线性连续系统的能观性

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,目录(1/1),目 录,概述,4.1,线性连续系统的能控性,4.2,线性连续系统的能观性,4.3,线性定常离散系统的能控性和能观性,4.4,对偶性原理,4.5,线性系统的结构性分解和零极点相消,4.6,能控规范形和能观规范形,4.7,实现问题,4.8 Matlab,问题,本章小结,线性连续系统的能观性(1/2),4.2,线性连续系统的能观性,本节主要讨论线性定常连续系统的状态能观性问题。,关键问题,:,1. 基本概念,:,状态能观性,2. 基本方法,:,状态能观性的判别方法,3. 状态能观性的物理意义和在状态空间中的几何意义,线性连续系统的能观性(2/2),本节首先从物理直观性来讨论状态能观性的基本含义,然后再引出状态能观性的定义。,下面将看到,这种从直观到抽象的讨论,对于理解能观性严格定义的确切含义是有益的。,本节讲授顺序为,:,能观性的直观讨论,状态能观性的定义,线性定常连续系统的状态能观性判据,能观性的直观讨论,(1,/14),4.2.1,能观性的直观讨论,状态能观性反映系统外部可直接或间接测量的输出,y,(,t,),和输入,u,(,t,),来确定或识别系统状态的能力。,如果系统的任何内部运动状态变化都可由系统的外部输出和输入唯一地确定,那么称系统是能观的,或者更确切地说,是状态能观的。,否则,就称系统为状态不完全能观的。,下面通过几个例子来说明能观性的意义。,能观性的直观讨论,(2,/14),例,考虑,右图所示的,电网络系统由输出变量的值确定状态变量值的能力问题。,当电阻,R,1,=,R,2,电感,L,1,=,L,2,输入电压,u,(,t,)=0,以及,两个状态变量的初始状态,x,1,(,t,0,)=,x,2,(,t,0,),且为任意值时,必定有,i,3,(,t,)=0,即输出变量,y,(,t,),恒为零。,因此,由恒为零的输出,y,(,t,),显然不能确定通过两个电感的电流值,i,1,(,t,),和,i,2,(,t,),即由输出,y,(,t,),不能确定状态变量,x,1,(,t,),和,x,2,(,t,),的值。,该电网络模型中,u,(,t,),为输入电压,y,(,t,),=,i,3,(,t,),为输出变量,通过两电感的电流,i,1,(,t,),和,i,2,(,t,),分别为状态变量,x,1,(,t,),和,x,2,(,t,)。,图,4-4,电网络,能观性的直观讨论,(3,/14),但当电阻,R,1,R,2,或电感,L,1,L,2,时,则上述由输出,y,(,t,),不能确定状态变量,x,1,(,t,),和,x,2,(,t,),的值的特性可能不成立。,这种能由输出变量值确定状态变,量值的特性称为状态能观,若由输出变量值不能唯一确定出状态变量值的特性则称为状态不能观。,能观性的直观讨论,(,4/14),从状态空间模型上看，,当选择,两电感的电流,i,1,(,t,),和,i,2,(,t,),分别为状态变量,x,1,(,t,),和,x,2,(,t,)时，状态空间模型为,能观性的直观讨论,(,5/14),当电路中电阻值,R,1,=,R,2,=,R,电感值,L,1,=,L,2,=,L,时,若输入电压,u,(,t,),突然短路,即,u,(,t,)=0,则状态方程为,显然,当状态变量的初始状态为,x,1,(,t,0,)=,x,2,(,t,0,),且为任意值时,上述状态方程的解必有,x,1,(,t,)=,x,2,(,t,),故有,y,(,t,)=,i,3,(,t,)=0,即输出变量,y,(,t,),恒为零。,因此,由观测到的恒为零的输出变量,y,(,t,),不能确定状态变量,x,1,(,t,),和,x,2,(,t,),的值,即由输出,i,3,(,t,),不能确定通过两个电感的电流值,i,1,(,t,),和,i,2,(,t,),。,能观性的直观讨论,(,6/14),但当电路中电阻值,R,1,R,2,或电感值,L,1,L,2,时,则上述由输出,y,(,t,),不能确定状态变量,x,1,(,t,),和,x,2,(,t,),的值的特性可能不成立。,这种由可测量的输出变量的值能惟一确定状态变量的值的特性称为状态能观,若不能惟一确定则称为状态不能观。,能观性的直观讨论,(,7/14),补充例,1,右图所示的电网络中,电源电压,u,(,t,),为输入,电压,y,(,t,),为输出,并分别取电容电压,u,C,(,t,),和电感电流,i,L,(,t,),为状态变量,x,1,(,t,),和,x,2,(,t,)。,因此,由输出变量,y,(,t,),显然不能确定电压值,u,C,(,t,),即由输出,y,(,t,),不能确定状态变量,x,1,(,t,),的值。,故,该电网络在开关,K,断开后,是状态不能观的。,当开关,K,在,t,0,时刻断开后,显然电容,C,和电阻,R,1,构成一阶衰减电路,电容电压,u,C,(,t,),的变化只与初始状态,u,C,(,t,0,),有关,与衰减电路外其他信号无关。,能观性的直观讨论,(,8/14),例,考虑间歇化学反应器的由输出变量的值确定状态变量的值的能力问题。,设间歇化学反应器内进行如下常见的化学反应,式中，,k,1,和,k,2,为反应速率常数。,上述化学反应式可代表一大类化工操作,通常希望中间产物,B,的产量尽可能大,副产品,C,尽可能小,因而要求防止后面的反应继续进行下去。,能观性的直观讨论,(,9/14),设上述化学反应式中的第,1,步反应是二级反应,第,2,步反应是一级反应。,这样,可得如下间歇化学反应器内的物料平衡方程,(,状态方程,),和输出方程,式中，,C,1,(,t,),、,C,2,(,t,),和,C,3,(,t,),分别是,A,、,B,和,C,的浓度。,能观性的直观讨论,(,10/14),由上述物料平衡的动态方程可知,副产品,C,的浓度,C,3,(,t,),的值不仅决定于产品,B,的浓度,C,2,(,t,),而且还决定于,C,3,(,t,),在初始时刻,t,0,的值,C,3,(,t,0,),。,因此,若在生产过程中,能直接检测到的输出量为产品,B,的浓度,C,2,(,t,),则副产品,C,的浓度,C,3,(,t,),的值是不可知的,即为不能观的。,若选择,C,1,(,t,),C,2,(,t,),和,C,3,(,t,),为状态变量,则上述化学反应过程为状态不完全能观的。,上面用实际系统初步说明了能控性的基本含义,能控性在系统状态空间模型上的反映可由如下两个例子说明。,能观性的直观讨论,(,11/14),补充例,给定系统的状态空间模型与结构图分别为,本例中,输出变量,y,(,t,),即为状态变量,x,1,(,t,)。,因此,由,y,(,t,),的测量值可直接得到,x,1,(,t,),的值,即状态变量,x,1,(,t,),可由输出唯一确定。,1/s,-2,-2,1/s,能观性的直观讨论,(,12/14),而由状态变量,x,2,(,t,),所满足的状态方程及其运动状态的解可知,x,2,(,t,),的运动轨迹由,x,2,(,t,),的初始状态,x,2,(,t,0,),x,1,(,t,),和输入,u,(t),三者共同决定。,因此,由测量到的输出,y,(,t,),和输入,u,(t),并不能唯一确定出状态变量,x,2,(,t,),的值,即状态,x,2,(,t,),是状态不能观的。,因此,整个系统的状态是不完全能观的。,能观性的直观讨论,(,13/14),补充例,给定系统的状态空间模型为,由状态方程可知,:,状态变量,x,1,(,t,),和,x,2,(,t,),可分别由初始状态,x,1,(,t,0,),和,x,2,(,t,0,),唯一决定,并可表示为,x,i,(,t,)=e,-,t,x,i,(0),i,=1,2,能观性的直观讨论,(,14/14),因此,输出变量,y,(,t,),可表示为,y,(,t,)=e,-,t,x,1,(0),+,x,2,(0),由,y,(,t,),的解可知,由,y,(,t,),并不能唯一地分别确定初始状态,x,1,(,t,0,),和,x,2,(,t,0,),进而唯一地确定状态变量,x,1,(,t,),和,x,2,(,t,),即,x,1,(,t,),和,x,2,(,t,),是状态不能观的,整个系统的状态是不完全能观的。,前面几个例子,可通过直观分析来讨论系统的状态能观性,但对维数更高、更复杂的系统,直观判断能观性是困难的。,下面将通过给出状态能观性的严格定义,来导出判定状态能观性的充要条件。,状态能观性的定义,(1/6),4.2.2,状态能观性的定义,对线性系统而言,状态能观性只与系统的输出,y,(,t,),以及系统矩阵,A,和输出矩阵,C,有关,与系统的输入,u,(,t,),和输入矩阵,B,无关,即讨论状态能观性时,只需考虑系统的自由运动即可。,上述结论可证明如下,:,对线性定常系统,(,A,B,C,),其状态和输出的解分别为,简单否?,状态能观性的定义,(2/6),因为矩阵,A,B,C,和,输入,u,(,t,)均,已知,故上式的右边第二项可以计算出来,也是已知项。故可以定义如下辅助输出,:,研究状态能观性问题,即为上式对任意的初始状态,x,(,t,0,),能否由辅助输出,y,-,(,t,),来唯一确定的问题。,所以线性系统状态能观性仅与输出,y,(,t,),以及系统矩阵,A,和输出矩阵,C,有关,与输入矩阵,B,和输入,u,(,t,),无关。,也就是说,分析线性系统的能观性时,只需考虑齐次状态方程和输出方程即可。,因此,我们有如下线性系统状态能观性的定义。,对线性连续系统,我们有如下状态能观性定义。,状态能观性的定义,(3/6)能观性定义,定义,4-3,若线性连续系统,对初始时刻,t,0,(,t,0,T,T,为时间定义域)和初始状态,x,(,t,0,),存在另一有限时刻,t,1,(,t,1,t,0,t,1,T,),根据在有限时间区间,t,0,t,1,内量测到的输出,y,(,t,),能够唯一地确定系统在,t,0,时刻的初始状态,x,(,t,0,),则称在,t,0,时刻的状态,x,(,t,0,),能观;,若对,t,0,时刻的状态空间中的所有状态都能观,则称系统在,t,0,时刻状态完全能观;,状态能观性的定义,(4/6)能观性定义,若系统在所有时刻状态完全能观,则称系统状态完全能观,简称为系统能观。,即,若逻辑关系式,为真,则称系统状态完全能观。,若存在某个状态,x,(,t,0,),不满足上述条件,称此系统是状态不完全能观的,简称系统为状态不能观。 ,状态能观性的定义,(5/6),对上述状态能观性的定义有如下注记。,1.,对于线性定常系统,由于系统矩阵,A,(,t,),和输出矩阵,C,(,t,),都为常数矩阵,与时间无关,因此不必在定义中强调“在所有时刻状态完全能观”,而为“某一时刻状态完全能观,则系统状态完全能观”。,即,若逻辑关系式,为真,则称线性定常连续系统,(,A,C,),状态完全能观。,状态能观性的定义,(6/6),2.,上述定义中的输出观测时间为,t,0,t,1,并要求,t,0,t,0,。,这是因为,输出变量,y,(,t,),的维数,m,一般总是小于状态变量,x,(,t,),的维数,n,。,否则,若,m,=,n,且输出矩阵,C,(,t,),可逆,则,x,(,t,)=,C,-1,(,t,),y,(,t,),即状态变量,x,(,t,)可直接由输出,y,(,t,)确定,。由于,m,n,为了能唯一地求出状态变量的值,不得不依靠在一定区间内测量得的连续(或有限几组)输出值以确定系统状态。,3.,在定义中把能观性定义为对初始状态的确定,这是因为,一旦确定初始状态,便可根据状态方程的解表达式,由初始状态和输入,计算出系统各时刻的状态值。,线性定常连续系统的状态能观性判据,(1/1),4.2.3,线性定常连续系统的状态能观性判据,线性定常连续系统的状态能观性判据有许多不同形式,下面分别讨论,代数判据,和,模态判据,。,代数判据,(1/13),1.,代数判据,定理,4-7,(,线性定常离散系统能控性秩判据,),线性定常连续系统,(,A,C,),状态完全能观的充要条件为下述条件之一成立,:,1.,矩阵函数,C,e,At,的各列函数线性独立,即不存在非零常数向量,f,R,n,使得,C,e,At,f,0,2.,如下定义的能观性矩阵,满秩,即,rank,Qo,=,n,比较一下能控性矩阵,代数判据,(2/13)-代数判据定理证明,rank,Q,o,=,n,证明,对于线性定常系统,由能观性定义可知,其状态能观性与初始时刻无关。,因此,不失一般性,可设初始时刻,t,0,为0。,根据第,3,章中输出方程解的表达式,有,y,(,t,)=,C,e,At,x,(0),由能观性的定义可知,线性定常连续系统的状态是否完全能观,等价于上述方程是否有,x,(0),的唯一解问题。,下面将利用上述方程分别证明判别状态能观性的上述两个充要条件。,代数判据,(3/13),(1) 证明条件1。 先证充分性(条件,结论)。,即证明,若,C,e,At,的各列函数线性独立,则系统状态能观,。,用反证法证明,:,设状态不能观,但,C,e,At,的各列函数线性独立。,充分性反证法证明的思路,状态不能观,存在两个不同的初始状态,x,1,(0),和,x,2,(0)所,对应的输出完全一致,由输出的解的表达可得,:,C,e,At,的各列函数线性相关,与假设矛盾,充分性得证,证明过程,:,代数判据,(4/13),状态不能观,则意味着存在某一初始状态,x,(0),由,有限时间区间,t,0,t,1,内,观测到的输出,y,(,t,),由方程,y,(,t,)=,C,e,At,x,(0),得不到,x,(0),的唯一解。,设,x,1,(0),和,x,2,(0),分别是由方程,y,(,t,)=,C,e,At,x,(0),确定出的两个不同初始状态,即,x,1,(0),和,x,2,(0),分别满足,y,(,t,)=,C,e,At,x,1,(0),t,0,y,(,t,)=,C,e,At,x,2,(0),t,0,将上述两式相减,可得,0,=,C,e,At,x,1,(0)-,x,2,(0),t,0,而,x,1,(0)-,x,2,(0),为非零向量,因此上式恒成立的条件为,C,e,At,的各列函数线性相关。这与前面的推论产生矛盾,故原假定系统状态不能观,但,C,e,At,的各列函数线性独立是不成立的。,代数判据,(5/13),因此,充分性得证。,再证必要性(结论,条件)。,即证明,若系统状态能观,则,C,e,At,的各列函数线性独立。,用反证法证明,。,设,C,e,At,的各列函数线性相关,但状态能观。,必要性的反证法证明思路,:,C,e,At,的各列函数线性相关,存在某非零初始状态,f,与零初始状态的输出均为0,由0输出不能确定初始状态是为零或者为,f,状态不完全能观,与假设矛盾,必要性得证,代数判据,(6/13),证明过程,:,C,e,At,的各列函数线性相关,即存在非零向量,f,R,n,使得,C,e,At,f,0,因此,若,x,(0)=,f,则有,y,(,t,)=,C,e,At,x,(0)=0,t,0,而当,x,(0)=0,时,系统输出亦恒为零。因此,当系统输出恒为零时,由方程,y,(,t,)=,C,e,At,x,(0),不能确定出初始状态,x,(0)=,f,或0,即有部分状态不能观。这与前面的假设矛盾,故原假定,C,e,At,的各列函数线性相关,但状态能观是不成立的。,因此,必要性得证。,代数判据,(7/13),(2) 下面通过证明,C,e,At,的各列函数线性相关等价于能观性矩阵,Q,o,非满秩来证明定理中的条件(2)。即证明,(结论,A),若,C,e,At,的各列函数线性相关,则能观性矩阵,Q,o,非满秩,以及,(结论,B),若能观性矩阵,Q,o,非满秩,则,C,e,At,的各列函数线性相关,。,下面分别加以证明。,代数判据,(8/13),先证结论,A,。,即需证明,:,若,C,e,At,的各列函数线性相关,则能观性矩阵,Q,o,非满秩。,若,C,e,At,的各列函数线性相关,则存在非零向量,f,使得,C,e,At,f,0,由于,C,e,At,连续并有无穷阶导数,因此,若上式对任意时间,t,恒成立,则对该方程的两边求任意阶导数方程依然成立,即,CA,e,At,f,0,CA,2,e,At,f,0,CA,n,-1,e,At,f,0,代数判据,(9/13),令上述两式的,t,=0,则有,因此,若,C,e,At,的各列函数线性相关,则能观性矩阵,Q,o,非满秩,即,结论,A,成立。,代数判据,(10/13),再证结论,B,。,即需证明,:,若则能观性矩阵,Q,o,非满秩,C,e,At,的各列函数线性相关。,若能观性矩阵,Q,o,非满秩,即式(,4-26),式成立,则存在非零向量,f,使得,成立。由凯莱-哈密顿定理,有,代数判据,(11/13),因此有,即,若能观性矩阵,Q,o,非满秩,则,C,e,At,的各列函数线性相关。因此,结论,B,得证。,综合上述过程,则证明了,C,e,At,的各列函数线性相关等价于能观性矩阵,Q,o,非满秩。,故由定理的条件(1)可知,能观性矩阵,Q,o,满秩亦为线性定常连续系统状态能观的充要条件。,代数判据,(12/13),定理,4-7,给出的是线性定常连续系统状态能观性充要的两个判据,可直接用于能观性判定。,由于检验,C,e,At,的各列是否函数线性独立相对困难一些,因此实际应用中通常用定理,4-7,的条件(2)。,条件(2)我们亦称为线性定常连续系统状态能观性的代数判据。,代数判据,(13/13)例,7,例,4-7,试判断如下系统的状态能观性,解,由状态能观性的代数判据有,而系统的状态变量的维数,n,=2,所以系统状态不完全能观。,模态判据(1,/12),2.,模态判据,在给出线性定常连续系统的状态能观性模态判据之前,先讨论状态能观性的如下性质,:,线性定常系统经线性变换后状态能观性保持不变,。,下面对该结论作简单证明。设线性变换阵为,P,则系统,(,A,C,),经线性变换 后为,并有,模态判据(2,/12),因此系统,的状态能观性等价于,(,A,C,),的状态能观性,即线性变换不改变状态能观性。,基于上述结论,可利用线性变换将一般状态空间模型变换成约旦规范形,(,对角线规范形为其特例,),通过分析约旦规范形的能观性来分析原状态空间模型的能观性。,下面讨论线性定常连续系统约旦规范形的状态能观性模态判据。,2.模态判据(3,/12),定理,4-8,对为约旦规范形的线性定常连续系统,(,A,C,),有,:,1.,若,A,为每个特征值都只有一个约旦块的约旦矩阵,则系统能观的充要条件为,对应,A,的每个约旦块的,C,的分块的第一列都不全为零,;,2.,若,A,为某个特征值有多于一个约旦块的约旦矩阵,则系统能观的充要条件为,对应,A,的每个特征值的所有约旦块的,C,的分块的第一列线性无关,。,2.模态判据(4,/12),定理,4-8,的证明可直接由定理,4-7,而得。,对定理,4-8,作两点说明,:,状态能观性模态判据讨论的是约旦规范形。,若系统的状态空间模型不为约旦规范形,则可根据线性变换不改变状态能观性的性质,先将状态空间模型变换成约旦规范形,然后再利用定理,4-8,来判别状态能观性;,定理,4-8,不仅可判别出状态能观性,而且更进一步地指出是系统的哪一模态(特征值或极点)和哪一状态不能观。,这对于进行系统分析、状态观测器和反馈校正是非常有帮助的。,2.模态判据(5,/12),例,8,例,4-8,试判断如下系统的状态能观性。,解,由定理,4-8,可知,A,为特征值互异的对角线矩阵,但,C,中的第2列全为零,故该系统的状态,x,2,不能观,则系统状态不完全能观。,状态空间,x,1,-x,2,不完全能观,状态变量,x,1,完全能观,状态变量,x,2,完全不能观,模态判据(6,/12),例15,解,由于,A,为每个特征值都只有一个约旦块,且对应于各约旦块的,C,的分块的第一列都不全为零,故系统状态完全能观。,模态判据(7,/12),例15,解,由于,A,中特征值-4的两个约旦块所对应的,C,的分块的第一列线性相关,该系统的状态,x,1,x,2,和,x,3,不完全能观,则系统状态不完全能观。,状态空间,x,1,-x,2,-x,3,-x,4,不完全能观,状态变量,x,1,-x,2,-x,4,不完全能观,状态变量,x,3,完全能观,还能再分解否？,模态判据(8,/12),由定理,4-8,的结论(,2),对单输出系统的状态能观性,有如下推论。,推论,4-2,若单输出线性定常连续系统,(,A,C,),的约旦规范形的系统矩阵为某个特征值有多于一个约旦块的约旦矩阵,则该系统状态不完全能观。,定理,4-8,所给出的状态能观性的模态判据在应用时需将一般的状态空间模型变换成约旦规范形,属于一种间接方法。,下面我们给出另一种形式的状态能观性模态判据,称为,PBH,秩判据。,该判据属于一种直接法。,模态判据(9,/12),推论,4-2,与定理,4-9,定理,4-9,线性定常连续系统,(,A,C,),状态完全能观的充要条件为,:,对于所有的,下式成立,:,该定理的证明可由定理,4-8,直接得到。,对于所有的,直接检验定理,4-9,的条件较困难。,可以证明,定理,4-9,的条件式对于所有的,成立等价于其对,A,的所有特征值成立。,因此,应用定理,4-9,时,只需将,A,的所有特征值代入定理,4-9,的条件式,检验其成立与否即可。,模态判据(10,/12),例,9,例,4-9,试判断如下系统的状态能观性。,解,由方程|,I,-,A,|=0,可解得矩阵,A,的特征值分别为-1,-2,和-3。对特征值,1,=-1,有,列,3=,列,2-,列,1,模态判据(11,/12),例16,由定理,4-9,知,因为对应于特征值-1,定理,4-9,的条件不成立,故该系统状态不完全能观。,模态判据,(12,/12),能观性判据小结,判定方法,特点,判据,矩阵指数函数判据,代数判据,模态判据1,模态判据2,矩阵函数,C,e,At,的各列函数线性独立,能观性矩阵,Q,o,满秩,约旦标准形中同一特征值对应的,C,矩阵分块的第一列线性无关,对于所有特征值,rank,I,-,A,C,=,n,需要求矩阵指数函数并判定函数相关,计算复杂,计算简便可行。,缺点为不知道状态空间中哪些变量(特征值/极点)能观,易于分析状态空间中哪些变量(特征值/极点)能观。,缺点为需变换成约旦标准形,易于分析哪些特征值(极点)能观。,缺点为需求系统的特征值,清楚了吗?,