线性系统的稳定性分析

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,目录(1/1),目 录,概述,5.1,李雅普诺夫稳定性的定义,5.2,李雅普诺夫稳定性的基本定理,5.3,线性系统的稳定性分析,5.4,非线性系统的稳定性分析,5.5 Matlab,问题,本章小结,5.3,线性系统的稳定性分析,本节主要研究李雅普诺夫方法在线性系统中的应用。,讨论的主要问题有:,基本方法,: 线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析,矩阵李雅普诺夫方程的求解,线性时变连续系统的李雅普诺夫稳定性分析,线性定常离散系统的李雅普诺夫稳定性定理及稳定性分析,李雅普诺夫方法在,线性系统的应用,(1/2),由上节知,李雅普诺夫第二法是分析动态系统的稳定性的有效方法,但具体运用时将涉及到如何选取适宜的李雅普诺夫函数来分析系统的稳定性。,由于各类系统的复杂性,在应用李雅普诺夫第二法时,难于建立统一的定义李雅普诺夫函数的方法。,目前的处理方法是,针对系统的不同分类和特性,分别寻找建立李雅普诺夫函数的方法。,李雅普诺夫方法在,线性系统的应用,(,2/2),本节将讨论对线性系统,包括,线性定常连续系统,、,线性时变连续系统,和,线性定常离散系统,如何利用李雅普诺夫第二法及如何选取李雅普诺夫函数来分析该线性系统的稳定性。,李雅普诺夫方法在线性,系统的应用,(,3/2),5.3.1,线性定常连续系统的稳定性分析,设线性定常连续系统的状态方程为,x,=,A,x,这样的线性系统具有如下特点:,1),当系统矩阵,A,为非奇异时,系统有且仅有一个平衡态,x,e,=0,即为状态空间原点;,2),若该系统在平衡态,x,e,=0,的某个邻域上是渐近稳定的,则一定是大范围渐近稳定的;,3),对于该线性系统,其李雅普诺夫函数一定可以选取为二次型函数的形式。,线性,定常连续系统的李雅普诺夫稳定性,分析,(1,/21),上述第(3)点可由如下定理中得到说明。,定理,5-7,线性定常连续系统,x,=,A,x,的平衡态,x,e,=0,为渐近稳定的充要条件为:,对任意给定的一个正定矩阵,Q,都存在一个正定矩阵,P,为矩阵方程,PA,+,A,P,=-,Q,的解,并且正定函数,V,(,x,)=,x,P,x,即为系统的一个李雅普诺夫函数。,线性定常连续,系统的李雅普诺夫稳定性,分析,(2,/21),定理,5-7,证明,(1) 先证充分性。,即证明,若对任意的正定矩阵,Q,存在正定矩阵,P,满足方程,PA,+,A,P,=-,Q,则平衡态,x,e,=0,是渐近稳定的。,证明思路：,线性定常连续,系统的李雅普诺夫稳定性,分析,(3,/21),由于,P,正定,选,择正定函数,V,(,x,)=,x,P,x,为李,雅普诺夫函数,计算李雅普诺夫函数,V,(,x,)对时间,t,的,全导数,V,(,x,),通过判定,V,(,x,)的定号性来判定平衡态,x,e,的稳定性,线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性,分析,(4,/21),证明过程为：,已知满足矩阵方程,PA,+,A,P,=-,Q,的正定矩阵,P,存在,故令,V,(,x,)=,x,P,x,.,由于,V,(,x,),为正定函数,而且,V,(,x,),沿轨线对时间,t,的全导数为,V,(,x,)=,(,x,P,x,),=,x,P,x,+,x,P,x,=(,A,x,),P,x,+,x,P,a,x,=,x,(,A,P,+,P,A,),x,=-,x,Q,x,而,Q,为正定矩阵,故,V,(,x,),为负定函数,根据,渐近稳定性定理,(,定理,5-4,),即证明了系统的平衡态,x,e,=0,是渐近稳定的,于是充分性得证。,(2) 再证必要性。,即证明:若系统在,x,e,=0,处是渐近稳定的,则对任意给定的正定矩阵,Q,必存在正定矩阵,P,满足矩阵方程,PA,+,A,P,=-,Q,证明思路：,由正定矩阵,Q,构造满足,矩阵方程,PA,+,A,P,=-,Q,的正定矩阵,P,。,线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性,分析,(5,/21),证明过程为,：,对任意给定的正定矩阵,Q,构造,矩阵,P,如下,线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性,分析,(6,/21),由矩阵指数函数,e,At,的定义和性质知,上述被积矩阵函数的各元素一定是具有,t,k,e,t,形式的诸项之和,其,是,A,的特征值。,因为系统是渐近稳定的,则矩阵,A,的所有特征值,的实部一定小于零,因此上述积分一定存在,即,P,为有限对称矩阵。,线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性,分析,(7,/21),又由于,Q,正定,矩阵指数函数,e,At,可逆,则由方程(,5-15),可知,P,为有限的正定矩阵。,因此,P,为正定矩阵。,线性定常,连续系统的李雅普诺夫稳定性分析,(8,/21),将矩阵,P,的表达式(,5-15),代入矩阵方程,PA,+,A,P,=-,Q,可得:,因此,必要性得证。,线性定常,连续系统的李雅普诺夫稳定性分析,(9,/21),上述定理给出了一个判别线性定常连续系统渐近稳定性的简便方法,该方法,不需寻找李雅普诺夫函数,不需求解系统矩阵,A,的特征值,只需解一个矩阵代数方程即可,计算简便。,该矩阵方程又称为李雅普诺夫矩阵代数方程。,由上述定理,可得如下关于正定矩阵,P,是李雅普诺夫矩阵方程的唯一解的推论。,推论,5-1,如果线性定常系统,x,=,A,x,在平衡态,x,e,=0,是渐近稳定的,那么李雅普诺夫代数方程,PA,+,A,P,=-,Q,对给定的任意正定矩阵,Q,存在唯一的正定矩阵解,P。,证明,用反证法证明,。,即需证明: 李雅普诺夫代数方程由两个正定矩阵解,但该系统是渐近稳定的。,设李雅普诺夫代数方程由两个正定矩阵解,P,1,和,P,2,则将,P,1,和,P,2,代入该方程后有,P,1,A,+,A,P,1,=-,Q,P,2,A,+,A,P,2,=-,Q,线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性,分析,(10,/21),推论1,两式相减,可得,(,P,1,-,P,2,),A,+,A,(,P,1,-,P,2,)=0,因此,有,线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性,分析,(11,/21),所以,对任意的,t,下式均成立:,令,t,=0,和,t,=,T,(,0),则有,推论,5-1,如果线性定常系统,x,=,A,x,在平衡态,x,e,=0,是渐近稳定的,那么李雅普诺夫代数方程,PA,+,A,P,=-,Q,对给定的任意正定矩阵,Q,存在唯一的正定矩阵解,P。,由,定理,5-7,可知,当,P,1,和,P,2,为满足李雅普诺夫方程的正定矩阵时,则系统为渐近稳定的。,故系统矩阵,A,为渐近稳定的矩阵,矩阵指数函数,e,AT,将随着,T,而趋于零矩阵,即,P,1,-,P,2,=0,或,P,1,=,P,2,线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性,分析,(12,/21),在应用上述基本定理和推论时,还应注意下面几点:,如果,V,(,x,t,)=-,x,Q,x,沿任意一条状态轨线不恒为零,那么,Q,可取为非负定矩阵,而系统在原点渐近稳定的充要条件为:,存在正定矩阵,P,满足李雅普诺夫代数方程。,Q,矩阵只要选成正定的或根据上述情况选为非负定的,那么最终的判定结果将与,Q,的不同选择无关。,由,定理,5-7,及其,推论,5-1,可知,运用此方法判定系统的渐近稳定性时,最方便的是选取,Q,为单位矩阵,即,Q,=,I,。,于是,矩阵,P,的元素可按如下李雅普诺夫代数方程:,PA,+,A,P,=-,I,求解,然后根据,P,的正定性来判定系统的渐近稳定性。,线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性,分析,(13,/21),下面通过一个例题来说明如何通过求解矩阵李雅普诺夫方程来判定线性定常系统的稳定性。,例,5-9,试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳定性。,线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性,分析,(14,/21),例,5-9,解,设选取的李雅普诺夫函数为,V,(,x,)=,x,P,x,由,定理,5-7,可知,上式中的正定矩阵,P,满足李雅普诺夫方程,PA,+,A,P,=-,I,.,线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性,分析,(15,/21),例,5-9,于是,令对称矩阵,P,为,将,P,代入李雅普诺夫方程,可得,展开后得,有:,线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性,分析,(16,/21),因此,得如下联立方程组:,解出,p,11,p,12,和,p,22,得,为了验证对称矩阵,P,的正定性,用合同变换法检验如下:,线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性,分析,(17,/21),由于变换后的对角线矩阵的对角线上的元素都大于零,故矩阵,P,为正定的。因此,系统为大范围渐近稳定的。,此时,系统的李雅普诺夫函数和它沿状态轨线对时间,t,的全导数分别为,线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性,分析,(1,8/21),例,5-10,例,5-10,控制系统方块图如下图所示。,要求系统渐近稳定,试确定增益的取值范围。,解,由图可写出系统的状态方程为,线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性,分析,(1,9/21),例,5-10,不难看出,原点为系统的平衡状态。,选取,Q,为非负定实对称矩阵,则,由于为非正定,且只在原点处才恒为零,其他非零状态轨迹不恒为零。,因此,对上述非负定的,Q,李雅普诺夫代数方程和相应结论依然成立。,线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性,分析,(,20/21),例,5-10,设,P,为实对称矩阵并代入李雅普诺夫方程,可得,求得,为使原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的,矩阵,P,须为正定。,线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性,分析,(,21/21),例,5-10,采用合同变换法,有,从而得到,P,为正定矩阵的条件,即,0,k,6,由上例可知,选择,Q,为某些非负定矩阵，也可以判断系统稳定性,益处是可使数学运算得到简化。,