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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一节 微分方程的概念,一,.,实例,例,1.,曲线过,(0,1),且曲线上每个点处的切线斜率等于该点的横坐,标,求此曲线方程,.,设曲线方程为,y = y(x),则,例,2.,质量为,m,的物体自由落下,t =0,时,初始位移和初速度分别为,求物体的运动规律,.,则,设运动方程为,S=S(t),两次积分分别得出,:,条件代入,:,二,.,概念,1.,微分方程,:,含有未知函数的导数或微分的方程,.,未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程,.(,前例,),未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程,.,本章内容,2.,阶,:,未知函数的最高阶导数的阶数,.,例,1,是一阶微分方程,例,2,是二阶微分方程,.,n,阶方程一般形式,:,必须出现,3.,解,:,如果将函数,y=y(x),代入方程后恒等,则称其为方程的解,.,如果解中含有任意常数,且个数与阶数相同,通解,不含任意常数的解,特解,必须独立,n,阶方程通解一般形式,:,4.,定解条件,:,确定通解中任意常数值的条件,.,定解条件的个数要和阶数相同,才能确定唯一特解,;,定解条件中自变量取相同值时,叫做初始条件,.,5.,几何意义,:,通解,积分曲线族,特解,积分曲线,例,:,验证 是 的通解,对 用隐函数求导法得,:,故 是方程的解,且含有一个任意常数,.,通解,第二节 一阶微分方程,本节介绍一阶微分方程的基本类型和常见类型,.,一阶微分方程一般形式,:,我们研究其基本形式,:,如果可化成,:,(,1),则,(1),称为,可分离变量的方程,.,解法,:,1.,分离变量,:,2.,两边积分,:,3.,得出通解,:,只写一个任意常数,一、可分离变量的方程,例,:,任意常数,记为,C,绝对值号可省略,定解条件代入,:,C=2,故特解为,:,二,.,齐次方程的解法,如果方程,(1),可化成,:,齐次方程,解法,:,令 化成可分离变量方程,.,例,:,三,.,一阶线性方程微分方程,一般形式,:,(2),(,3),一阶线性齐次方程,一阶线性非齐次方程,自由项,方程,(3),是可分离变量方程,其通解为,:,方程,(2),的通解,常数变易法,设,(2),的通解,:,代入方程,(2):,则方程,(2),的通解,:,(,4),注,:,1.,一阶线性非齐次方程的通解可用常数变易法或公式,(4),计算皆可,;.,2.,公式,(4),中不定积分只求一个原函数即可,;,3.,非齐次方程的特解,齐次方程的通解,非齐次方程,解的结构,例,:,例,:,求方程 满足初始条件 的特解,.,将,y,视为自变量,可以变成关于,x,的线性方程,:,由 得,:,故所求特解为,:,四,.,伯努利方程,一般形式为,:,当,n= 0,或,1,时,这是线性方程,.,当 时,可以化成线性方程,:,两端同除以,令,则,关于,z,的线性方程,求出通解后再还原回,y,的方程称为伯努利方程,例,:,两端同除以,令,代入,通解为,五,.,全微分方程,对于微分方程,则通解为,全微分方程,注,:,(,1).,当,P(x,y),Q(x,y),在单连域,D,内具有一阶连续偏导数,且,时,上述方程为全微分方程,.,(,2).,(,3).,对于非全微分方程,有时可以找到函数,使得,全微分方程,积分因子,(,4).,观察法往往很实用,.,例,:,因为,全微分方程,取,解法一,:,解法二,:,例,:,非全微分方程,由于,则 是积分因子,同乘以积分因子并积分得通解,:,易知,也是积分因子,例,:,非全微分方程,变形,则 是积分因子,精品课件,！,精品课件,！,注意,:,其他类型的微分方程往往可以化成上述类型,例,:,视,x,为,y,函数,可化成线性方程,通解为,:,
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