弯曲变形-积分法

第六章,弯曲变形,6-1 工程中的弯曲问题 挠度和转角,一、度量弯曲变形的物理量,A,B,C,C,B,y,P,y,x,1、,挠曲线,：,梁变形后的轴线,2、挠度：,轴线上各点在垂直于变形前轴线方向的线位移,挠曲线方程,3、转角：,各横截面绕着各自的中性轴转动的角度,转角方程,4、挠度和转角的关系：,因为是小变形,挠曲线在某处的一阶导数就等于梁对应截面的转角,5、挠度和转角的符号：,以梁的左端点为原点；,X,轴水平向右为正；,Y,轴竖直向上为正；,坐标系的选取：,挠度：向上为正；向下为负,转角：从变形前到变形后，,逆时针转动为正；顺时针转动为负,二、梁挠曲线的近似微分方程,（纯弯曲）,（,横力弯曲,）,中性层的曲率半径,若挠曲线作为一条平面曲线已确定，其曲率半径为：,由于轴线就在中性层上，,所以挠曲线的曲率半径和挠曲线的曲率半径相等,M,M,M 0,y 0,y,x,M 0,y b,时，极值点在,AC,段：,a=b,时，极值点在,C,点,注意：可以证明，当载荷,P,向某一支座靠近时，梁内最大挠度的位置趋近于,L/3,=,0.577L,，,很接近,梁中点位置。,因此，工程中可近似用,梁中点位置的挠度代替最大挠度。,5）计算最大转角和挠度,最大转角,应发生在两端截面；,最大挠度,应发生在转角等于0的截面；,例：具有中间铰链约束的悬臂简支梁,边界条件,q,a,b,A,C,B,连续条件,分析：需要分成两部分，因此有4个待定的积分常数,l,计算图示悬臂梁自由端截面的挠度和转角。,解：1)梁的弯矩方程,AC,段：,CB,段：,2)梁的近似挠曲线微分方程,AC段,CB段,3)由积分定解条件确定积分常数：,边界条件:,连续条件:,4)计算自由端的挠度转角：,l,解：1)梁的弯矩方程,AC,段：,2)梁的近似挠曲线微分方程,3)由边界条件确定积分常数：,5)计算,C,截面挠度转角：,4）,AC,段：,6)计算自由端的挠度转角：,用这种方法求变形时，先求大小，再判断符号；,积分法求解变形的优点：,对于整个梁，我们可以求解处完整的转角方程和挠曲线方程，利用这两个方程可以求解任一截面的转角和挠度；,积分法求解变形的缺点：,如果梁上的载荷或支座比较复杂，列弯矩方程时就要分若干段，每一段积分出现2个积分常数，则积分常数的确定就是一件非常繁琐的工作；,7-4 用叠加法求弯曲变形,P,2,A,B,P,1,A,B,P,1,P,2,A,B,=,+,在,小变形,和,材料满足胡克定律,的前提下,挠曲线的近似微分方程是,线性方程,微分方程的解可以,叠加,梁在几种载荷共同作用下引起的总变形就等于,梁在每种载荷分别单独作用下引起的变形的代数和；,在计算每种载荷单独作用引起的变形时，可以查书,P200,页的表格,解：,例1 求梁的挠度和转角，,y,c,A,。,a,a,P =,q a,A,B,q,C,a,a,A,B,q,C,a,a,A,B,C,P,=,+,在查书,P200,的表格时，一定要保证题中梁的种类与载荷的种类与表中的对应情况一致，,而且还要注意必要的符号判断；,作业,：,6-2（,a）（c）（d）,6-4,6-6,在分段的交界处，由于连续性，两段方程在,一截面的挠度和转角相等,。,R,A,R,B,l,a,b,P,A,C,B,连续条件,例4：简支梁,例,7-1 求下列各梁的挠曲线方程及最大挠度和转角,解：,弯矩方程,边界条件,：,q,l,EI,z,x,小结：,y,x,P,A,B,y,挠曲线，,y= y(x),拉压变形：,l,扭转变形：,弯曲变形,截面形心的竖向位移,y,挠度,转角,截面绕中性轴转过的角度,y,(,x,),挠曲线方程,(,x,),转角方程,弯曲变形：,1、梁变形的特征,公式应用的条件:,1)材料服从虎克定律；,2)小变形，忽略剪力对挠度的影响；,小结：,2、挠曲线近似微分方程,